第二章　什麼是數學力？

◎任何人都具備的數學力

每次用問卷統計小學生最喜歡的科目，數學和體育總是榜上有名。然而對象如果換成高中生的話，喜歡數學的人的比例絕對不高。反而永遠穩坐最討厭科目的第一名（淚）。說起來實在可惜，但各位是不是也跟我一樣，切身感受到世界上真的有很多討厭數學的人呢？

明明小學時數學這麼受歡迎，為什麼升上高中就反倒成了一個如此討人厭的科目

了呢？

用典型解法破解典型問題的小學數學，就像依照攻略本的指示玩遊戲一樣。讀了電玩遊戲攻略本上寫的「往右邊走有寶物」，按照指示就能獲得寶物，當下的喜悅確實是可以理解的事。再者，遊戲玩得好並不會獲得大人的讚賞，而只要按照課堂上學到的方式在數學考試中取得高分，就能獲得父母或老師的嘉獎。所以這當然是一件很開心的事。

然而升上國中後，狀況可就不一樣了。即使像小學一樣，用同樣的原則背誦解法，一旦真正上了考場，分數也始終不見起色。因為國中數學有太多題目是無法光靠死記就能解決的，而且這種現象會隨著年級的增加愈來愈明顯。其實最後會對數學感到厭倦的人，一開始也曾經做過一番努力。練習題做了兩遍，成績還是未見起色的話，下一次就做三遍吧。做了三遍還是不行的話，下次就做四遍……可是成績遲遲無法進步，努力沒有得到回報。另一方面，不管是英文還是歷史等科目，通常只要努力就會獲得一定的成果。碰到這種情況，任誰都會心想：

「我就是沒有數學的天分吧 ……」

到最後會對數學感到厭倦，似乎也是無可奈何的事。

過去二十年來，我累積了許多一對一指導數學的經驗。對象大多是無法經由大班授課提高成績的學生。簡而言之，就是不擅長數學的人。就這一層意義上而言，我過去的指導經驗可說是每天在與不擅長數學的學生格鬥（？）。而這樣的我必須在此肯定地說一句：數學力是任何人都擁有的能力。數學不好的人，並不是因為沒有數學天分，而是因為用了學習算術的方式來學習數學。事實上，在我的補習班裡，很多一開始在班上吊車尾的學生，後來都在短時間內進步到班上的前幾名（抱歉，我無意在此幫我的補習班做宣傳）。

為什麼會發生這種事呢？因為我的指導很厲害嗎？不不不，絕對沒有這種事。我所做的純粹只有讓學生停止背誦解法，嘗試理解各單元的內容、公式和解法的意思，然後練習如何用稍微有別於以往的視角俯瞰數學而已。如此一來，學生（尤其是國文能力優秀的學生）就會發現，解數學問題並不需要特別的天分，只要使用自己原本就具備的能力即可。

我會在第一章用閱讀測驗示範如何以「數學式」的方式解題，就是為了讓各位讀者注意到你本身其實早已具備了數學力。

◎提升數學力的祕訣就是「停止背誦」

我因為工作的關係，時常被人問到這樣的問題：

「如何才能把數學學好呢？」

這種時候我都會回答：

「不要死記任何東西。」

下一秒鐘，對話一定會進入一段很奇妙的空白（笑）。畢竟對那些不擅長數學的學生來說，幾乎所有人都認為學習數學就是死記公式和解法，所以這也是無可厚非的事。但從我過去的指導經驗中，我很確定學習數學的訣竅，絕對是擺脫死記的學習模式。愈是嘗試背誦公式或解法，愈是無法學好數學。然後就會覺得數學很無聊，最後開始討厭數學。

為什麼會這樣呢？

正如前文所述，我們學習數學的目的在於培養邏輯力。數學當中出現的函數、方程式、向量和數列等，都只是用來培養邏輯力的工具而已。而邏輯力的鍛鍊只能靠我們用自己的頭腦思考。對於似懂非懂的學問，如果從頭到尾只打算死記的話，等於是在拒絕思考。我想不用說也知道，這絕對是養成邏輯力的一大阻礙。

容我再囉唆一次，為了達成數學最初的目的「鍛鍊邏輯力」，最重要的一點就是不要死記任何東西。

好了，看到這裡，你或許會心想：

「現在說這些都已經為時已晚了。」

或者應該也有人絕望地認為：

「從現在開始重新學數學恐怕有一段很長的路要走吧。」

不過別擔心，本書並不會要求你重新學習數學。我希望盡量透過文字而非算式，讓你瞭解在國中、高中階段的數學中，究竟真正學到了什麼東西，如果用前文介紹的愛因斯坦的話來說，就是你在忘記所有數學的內容之後，留下來的數學式思考究竟是一種什麼樣的能力。

「如果是這樣的話，一開始就別學什麼數學不就好了嗎？」

我總覺得有人會講這樣的話。確實是這樣沒錯。可是為了讓人生經驗不足、尚未有足夠語彙能力的學生培養邏輯力，學好數學絕對是最快速而有效的方法。

我假設本書的讀者都已經是在社會上打滾，能夠獨當一面的大人了。因為是以人生經驗豐富、語彙能力充足、善於以抽象概念思考事情的大人為對象，所以我才敢假設這樣大膽的嘗試有成功的可能性。

請善用大人特有的優勢，有效地將數學力化為你的助力吧。

◎讓靈光一閃成為必然的現象

剛才我在前文中提到，「靈光一閃」跟數學力毫無關聯。不過前述的「靈光一閃」指的是搞不清楚從何而來、真正意義上的靈光一閃。但是，一旦我們開始注意並清楚意識到沉睡在體內的數學力，過去那些只有在「狀況好的時候」才想得到的好主意或事情的解決方法，就算狀況再怎麼不好，也會自然而然迸發出來。換言之，那些在無意識時讓人感覺

只是靈光一閃的念頭，將會成為一種必然的現象。反過來說，其實一般人所謂的「靈光一閃」，對有意識地使用數學力的人來說，幾乎都是理所當然的聯想。每當福爾摩斯推理出意料之外的犯人時，周圍的人都會大吃一驚。對旁人來說，能夠擁有自己所沒有的直覺，肯定會忍不住肅然起敬，認為「福爾摩斯真是天才」吧。但福爾摩斯都是根據一項一項的證據，進行邏輯性的思考後，才一步一腳印地追查出真正的犯人。「數學力」所賦予人們的邏輯力，就是擁有這麼強大的功用。

好了，那麼從下一章開始，我將從七個面向剖析數學力的本質。請放鬆你的肩膀，保持愉快的心情跟我一起進入下個單元吧！

第二章　什麼是數學力？

◎任何人都具備的數學力

每次用問卷統計小學生最喜歡的科目，數學和體育總是榜上有名。然而對象如果換成高中生的話，喜歡數學的人的比例絕對不高。反而永遠穩坐最討厭科目的第一名（淚）。說起來實在可惜，但各位是不是也跟我一樣，切身感受到世界上真的有很多討厭數學的人呢？

明明小學時數學這麼受歡迎，為什麼升上高中就反倒成了一個如此討人厭的科目

了呢？

用典型解法破解典型問題的小學數學，就像依照攻略本的指示玩遊戲一樣。讀了電玩遊戲攻略本上寫的「往右邊走有寶物」，按照指示就能獲得寶物，當下...

前言

◎你自認數學不夠好嗎？

　我因為工作的關係，時常有學生前來諮詢未來的升學方向，但有一件事始終讓我耿耿於懷，就是很多人會「因為數學（理科）不好」而選擇文組，或「因為國文（文科）不好」而選擇理組。歸根究柢，區分文組、理組的用意是在於區分出個人有興趣的領域，而不是為了把個人不擅長的特定領域強化為一項既定的事實。我在提供升學意見時，一定會問學生：

　「你的夢想是什麼？你喜歡什麼科目？」

　然後再根據學生的回答，一起思考哪一所大學、什麼科系比較適合他，盡量不讓選擇文組或理組這件事情干擾到他的升學方向。

　你的情況又是如何呢？

　如果你是以將來的夢想或喜歡的科目為基準而選擇文組，那麼數學好不好基本上不會左右你的升學方向。或許數學這個科目根本就難不倒你。總之，至少你不會因為自己是文組，就對數學懷抱著自卑感。如果你是這種名副其實的「文組」學生的話，那這本書恐怕對你的幫助會少一些（話雖如此，若你願意撥冗一讀，我還是會很高興的！）。

　但是，如果你是因為想逃避數學才選擇文組的話，就另當別論了。過去你在自稱「文組」學生的時候，是否下意識地認為：「因為我是文組，所以數學不好」呢？

　另一方面，你會願意翻閱這本書，也是因為覺得「如果能夠以數學的邏輯來思考，似乎對工作或生活有幫助」，對吧？利用數學來思考事情，確實能讓人生更方便、更合乎邏輯，而且更有創造力。如果你明明嗅出了這樣的味道，卻因為

「反正我沒那個天分 ……」

這麼想而放棄的話就太可惜了。不過現在你可以放心了，因為本書就是為了這樣的你而存在的！在這本書的一開始，我想先強調一件事－－

以數學的邏輯來思考事情並不需要任何「天分」。

除非你的目標是成為全世界首屈一指的數學家，否則把數學活用在日常生活

中，根本不需要什麼特別的天分。

　接下來，只要讀完這本書，你一定能學會如何以數學的邏輯來思考事情。同時你也會明白，「因為我是文組，所以數學不好。」這句話的「因為……所以…… 」之間其實毫無因果關係。從此以後，你不再是那個「因為數學不好」而選擇文組的人，你大可堂堂正正地告訴別人：「因為我想鑽研的科目是文科，所以我選擇文組。」

◎學習數學的意義

　我想所有對數學感到頭痛的人，求學期間應該都曾痛不欲生地心想：「為什麼要逼我學數學呢？」換作是國文或英語等科目，即使再怎麼棘手，也很少有人會去懷疑學習這些科目的目的，但數學對許多學生來說，或許是個無法理解「學習意義」的科目。在此，我想向各位分享一句我經常引用的愛因斯坦（ Albert Einstein）的名言：

　「教育就是當一個人把在學校所學全部忘光之後剩下的東西。透過這股力量

培養出能夠獨立思考、行動的人，並解決社會面臨的各種問題。」

　大部分的人出了社會以後，應該就很少有機會解一元二次方程式、計算向量內積或是微分吧。如果學習數學的目的，只是為了熟習這些計算技術，那麼對大多數人來說，學習數學的確是沒什麼意義的事。一開始就只要針對那些工作上需要用到這些專業技術的人授課即可。然而實際上，幾乎所有已開發國家，都把數學納入義務教育的一環。

　這是為什麼呢？

　因為學習數學是一種培養邏輯思考能力的方式。一元二次方程式或向量都只是用來鍛鍊邏輯力的工具而已。「邏輯思考能力」是一種不分文組、理組，所有人都應該具備的能力，這一點我想應該不會有人有異議。在這個早已邁入國際化、資訊化社會的時代，想要不說話就達到「心有靈犀一點通」的境界，幾乎已是一種幻想。當一群成長環境不同、想法不同的人聚在一起，試圖解決各種以往未曾碰過的問題時，自然而然必須具備理解他人想法、用自己的想法說服他人的表達能力，以及任何情況下都能將問題抽絲剝繭、解疑釋結的能力。邏輯力就是實現這一切的基礎能力，因此為了鍛鍊邏輯力，所有人都必須學習數學。

◎語文能力才是數學能力的基礎

　在我的補習班，所有數學不好卻能在短期間內克服的學生，都有一個共通點，就是具備優異的語文能力。尤其是能夠按照清楚的條理建構文章，或是能夠將別人的話轉換成自己的方式表達的人。由於他們本身在邏輯思考方面，早已具備最基礎的能力，因此能夠迅速吸收我所傳授的正確讀書技巧，並且在短時間內提升數學能力。反之，那些語文能力不佳的學生大多不見成效。不用說也知道，人類在思考事情時，使用的工具正是語言。如果缺乏一定程度的語文能力，自然無法建構出強而有力的邏輯思維。

　在此稍微岔題一下，我個人對於數學的早期教育或提前學習之必要性是充滿懷疑的。

就算比別人早一點學會微分，又有什麼意義呢？如果不曉得牛頓(Sir Isaac Newton)或萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)是在何種動力驅使下推導出微分的概念，而這項概念又是多麼無人能及的貢獻，那麼學習微分是沒有任何意義的。與其盲目地讓學齡前兒童提早學習算術或練習數學計算題，我個人強烈建議鼓勵孩子多讀書、累積各式各樣的經驗，藉以培養好奇心並提升整體的「國文能力」。能夠用自己的語言進行完整的思考分析，不但對將來大有助益，也是培養數學能力的基礎。如果將來想讓自己的孩子考上東京大學，我希望你能將孩子培養成一個能夠清楚向他人解釋「為什麼想進東大」、「考上東大以後想做什麼」的孩子。如此一來，他自然而然會具備應有的學習能力。

　本書特別是為了那些自認數學不好的「標準文組生」所寫的。這是因為我一向認為，擅長閱讀或寫作卻不擅長數學是一件矛盾的事。不過我也深知那些討厭數學的人，對於數學算式是多麼地感冒，因此本書盡可能減少使用數學算式的頻率，連排版都乾脆採取直書的形式。雖然相關的數學內容，若必須以數學算式說明時會採橫書排版（真的很少！），但橫書的部分即使跳過不讀，也不至於影響你對通篇文章的理解。儘管不用數字或算式來傳授數學思考的訣竅難度頗高，但為了證明扎實的國文能力是數學能力的泉源，同時也為了讓你瞭解學習數學的用意和意義，我認為這是一件相當值得挑戰的事情。

　另外，通常不擅長數學的人，只要一聽到「數學」，就會聯想到複雜、困難，但數學其實是一門講求簡單與明快的學問。如果本書介紹的思考術能讓覺得「其實數學出乎意料地簡單嘛 .」，那麼我將感到無比欣慰。

◎本書的使用方法

　這是一本替覺得自己數學不行的人，喚醒與生俱來的數學力和邏輯思考力的書。本書最大且唯一的目標，就是讓你在讀完本書時，發現

「哇，原來我也有數學思考力啊！」

從而意識到運用數學來進行思考的過程。

我在本書中，將「數學思考術」從七個面向進行彙整。

※整理

※順序概念

※轉換

※抽象化

※具體化

※逆向思考

※對數學的美感

　如何？其中至少有幾項會讓你心想

　「啊，這種思考方式好像平常就在使用了」

　對吧？我想再強調一次，數學並非專屬於那些有「天分」的人。運用數學邏輯進行思考是任何人都做得到的事。甚至有許多人早已在無意識之間運用數學邏輯進行思考了。但是能不能「有意識地」運用數學邏輯進行思考，卻是南轅北轍的兩件事。在無意識的情況下，我們如果不依賴「靈光一閃」和「直覺」等，就沒有辦法解決問題，也無法想出什麼好主意，但如果能夠瞭解如何運用數學邏輯進行思考，並且明確意識到這件事的話，不但能夠順利解決問題，而且必然能夠開創出他人眼中的嶄新思維。同時你說出口的話會格外具有說服力，讓人想不側耳傾聽都難。

　在此誠摯希望本書能夠幫助你激發體內潛沉已久的數學力。

前言

◎你自認數學不夠好嗎？

　我因為工作的關係，時常有學生前來諮詢未來的升學方向，但有一件事始終讓我耿耿於懷，就是很多人會「因為數學（理科）不好」而選擇文組，或「因為國文（文科）不好」而選擇理組。歸根究柢，區分文組、理組的用意是在於區分出個人有興趣的領域，而不是為了把個人不擅長的特定領域強化為一項既定的事實。我在提供升學意見時，一定會問學生：

　「你的夢想是什麼？你喜歡什麼科目？」

　然後再根據學生的回答，一起思考哪一所大學、什麼科系比較適合他，盡量不讓選擇文組或理組這件事情干擾到他的升學方向...

【第一章、喚醒你的數學力】
數學式的文章解讀法
意識到數學力

【第二章、什麼是數學力？】
算術與數學是兩碼子事
任何人都具備的數學力
提升數學力的祕訣就是「停止背誦」
讓靈光一閃成為必然的現象

【第三章、數理性思維的七個面向】
瞭解七個面向，激發內在數學潛能！

面向1　整理
　透過分類推理出隱藏性質
　為什麼血型占卜這麼受歡迎？
　要學習「圖形的特性」的理由
　在科學史上留下重要足跡的「數學式」分類
　乘法式整理
　次元增加，世界就會變寬廣
　意願－能力（Will-Skill）矩陣
　準備一份高效率的檢查表
　ECRS 檢查表（改善四原則）

面向2　順序概念
　選擇時由大到小
　必要條件和充分條件
　合理選擇的原則
　關於「證明」
　正確的證明是由小到大
　「風一吹，木桶店就會賺錢」是真命題嗎？

面向3　轉換
　換句話說
　活用等價變換
　理解「函數」
　函數才是真正的因果關係
　①設想的「原因」是否為自變數
　②「原因」是否只對應到一種結果

面向4　抽象化
　抽象化＝推敲出本質
　歸納出共通的性質
　生活中隨處可見的抽象化
　抽象化的練習
　模型化
　圖論
　柯尼斯堡七橋問題
　圖論的應用

面向5　具體化
　提出具體實例
　「譬喻」是具體實例的進化形
　從名言當中學習如何創造貼切的譬喻
　往返於具體與抽象之間
演繹法和歸納法
　演繹法和歸納法的缺點
　什麼情況適用演繹法和歸納法？

面向6　逆向思考
　能平息怒火的「ABC理論」
　逆、否、對偶命題
　反證法
　阿基米德與王冠
　反證法的陷阱

面向7　培養數學的美感
　指揮家的練習
　古典音樂的特徵
　和弦與和弦記號
　數學和音樂的共通點
　講求合理性
　利用對稱性
　追求一致性

後記
參考文獻
作者資料

【第一章、喚醒你的數學力】
數學式的文章解讀法
意識到數學力

【第二章、什麼是數學力？】
算術與數學是兩碼子事
任何人都具備的數學力
提升數學力的祕訣就是「停止背誦」
讓靈光一閃成為必然的現象

【第三章、數理性思維的七個面向】
瞭解七個面向，激發內在數學潛能！

面向1　整理
　透過分類推理出隱藏性質
　為什麼血型占卜這麼受歡迎？
　要學習「圖形的特性」的理由
　在科學史上留下重要足跡的「數學式」分類
　乘法式整理
　次元增加，世界就會變寬廣
　意願－能力（Will-Skill）矩陣
　準備一份高效率的...