（01）數學是什麼？
很久很久以前有兩個死刑犯，一個是教數學的教授，另一個則是這位教授的學生。在臨刑前，典獄長決定讓他們兩人都各完成一個最後的心願──當然，「讓我活下去」可不包含在內。
教授說：「我的最後心願，就是讓我跟我這個學生上最後一堂數學課。」
典獄長點頭答應了，接著就問那學生最後的心願是什麼。
學生想了一下，說道：「我的最後心願，就是在教授跟我上數學課以前，先將我處死。」
這下典獄長頭大了：如果聽從了教授的心願，那就必須讓他跟學生上課，但這麼一來就違反了學生的心願；反過來說也是如此，不論誰的心願達成，另一個人的心願就必定落空──最後，典獄長不得不放棄將兩人處死。
數學是救命的學問
神話和數學
透過一些洞穴壁畫，我們可以推測出在史前時代就已經有了算數的方法。
下列的圖案就是出現在古埃及壁畫裡的象形文字，是算數用的文字，從中我們可以知道埃及人使用的是十進位法。 是棍子的形狀，表示「一」（1）； 是腳後跟的骨頭或疤痕，表示「十」（10）； 是彎曲的草繩，表示「百」（100）。
千（1,000）是用蓮花來表示，這是因為尼羅河上開滿了蓮花。
萬（10,000）的表示圖，有人說是食指、也有人說那是生長在尼羅河邊的紙莎草。紙莎草是類似蘆葦的植物，古代埃及人將之製成莎草紙，是當時人用的紙張。
十萬（100,000）用蝌蚪來表示，因為蝌蚪經常群聚在一起。
百萬（1,000,000）是個巨大的數字，所以用人驚訝時舉起雙手的樣子來代表。
千萬（10,000,000），是太陽的形狀，代表「神」的意思。表示這個數字是人力所無法企及的「無限大」。
除了古埃及，古希臘著名的「荷馬史詩」中，《奧德賽》（Odýsseia）所描寫的希臘神話裡，卓越智謀家奧德修斯（Odysseus，羅馬神話中則稱為「尤里西斯」Ulysses）的故事中，也提到了古代數學的計算方式：
奧德修斯在旅途中，將海神波塞頓和海仙女托俄薩的兒子──獨眼巨人波呂斐摩斯（Polyphemos）弄瞎，因此得以逃離他的居處而免於被吃掉的命運。從此，這個可憐的盲眼巨人為了知道自己放養的羊隻有沒有減少，每當一隻羊從洞穴出去的時候，就會放一顆石頭在洞口外頭；到了晚上每當一隻羊進入洞穴的時候，又會把一顆石頭放回洞裡面。
這是一種簡單的「一個對一個」的對應原理，從中我們看到了「數學計算」的最早紀錄。
當然，除了這個以外，還有很多關於一對一計算的故事。
印地安人是美洲的原住民，當時他們為了保護自己的領土而和白人打仗。他們證明自我價值與戰績的方式，就是藉由割下那些白人的頭皮的數量來誇耀自己的戰功；這不是殘忍，而是一種傳統，就像非洲土著會在脖子上掛著動物的臼齒一般，那是自己所抓住的動物的數字，藉此向族人昭示著自己的勇猛。
而非洲的馬賽族（Masai）女性，會帶著和自己年紀相當的黃銅項圈，這代表了她們的年紀。
英語片語中有「to chalk one up」這麼一句話，是「記錄」的意思，源自於古時候酒館主人用粉筆在石版上標示客人喝的杯數；無獨有偶地，西班牙人則用「echai chins」──「丟石子」來表示，這起源於以往酒館主人會依照客人喝掉的杯數，將碎石丟在客人的頭巾上來結算的傳統。
另外在《聖經》中，我們也可找到使用一對一對應原理計數的例子。舊約聖經中說，「諾亞方舟」在水上總共漂浮了49天──但49天這個精確的數字是從何而來的呢？原來諾亞的妻子利用將繩子打結的方式，每過一天就打上一個結，於是才能正確地計下經過的日子。
而既然提到了諾亞方舟，那麼就讓我們試著用數學的邏輯來審視這個神話故事。
首先，引發大洪水的雨，必定是從地表上的水蒸發後進到大氣中所生成的。所以我們可以利用計算大氣中的含水量來推測最大降雨量的可能，依氣象學，長、寬、高各一公尺（1m3）的正四方形空氣柱裡平均含水量為16公斤，最大也不超過25公斤；1公斤的水相近於1公升（1L＝1,000cm3），25公斤就相當於25,000cm3，而正四方形底的平面面積是1m2＝10,000cm2，因此25,000cm3÷10,000cm2＝2.5㎝。
換句話說，如果全世界大氣中的水份平均的降落於全球地表上，那麼所謂的「大洪水」最深也不過就2.5cm，而且這還沒考慮到水會滲透到地表下的可能。「淹沒」世界的2.5cm和世界第一高峰珠穋朗瑪峰（Everest）884,800cm的高度相比，可是相差了353,920倍之多！很明顯地，神話終究就只是神話，生活中每天都會用到的，卻是數學。
總的來說，一對一的計算是古代算數的基礎概念，這種算式到現在仍是隨處可見。例如小朋友們會將生日寫在日曆上，在生日到來前每天都打上一個叉來倒數計時──這就是基礎數學的應用。
與狼共舞
1950年獲得諾貝爾文學獎的英國數學家、哲學家伯特蘭．羅素（Bertrand Russell，1872～1970），對於「數」，他曾這麼說：「兩隻雞的『2』和兩天的『2』是一樣的，而人類卻花了數千年的時間才理解。」
是的，我們有太多「數量詞」來代表「2」這個數字了：Team（兩匹馬）、span（一對驢子）、yoke（兩頭牛）、pair（一雙鞋）……等等。這些林林總總的數詞，正是伴隨著數學千年來的發展而產生的，剛開人們單純地用「聲音」來記數，雖然聲音並無法記錄太大的數字，但對於當時的人，他們會用到的數字大概十隻手指頭就可以數完了。
用聲音來計數的例子，我們可以看看在澳洲和新幾內亞一帶的巴布亞（Papua）原住民，他們使用的數量詞如下：
1：烏拉碰（Urapun） 2：歐叩莎（Okosa）
並利用這兩個數量詞衍生出其他各種數量詞：
3：烏拉碰 歐叩莎 4：歐叩莎 歐叩莎
5：歐叩莎 歐叩莎 烏拉碰 6：歐叩莎 歐叩莎 歐叩莎
在電影「與狼共舞」中，我們可以發現到美洲原住民他們名字的特殊性。例如電影中的「站立舞拳（Stands With A Fist）」、「與狼共舞（Dances with Wolves）」、「踢鳥（Kicking Bird）」、「風中散髮（Wind In His Hair）」等，其名字皆是取自於現實生活中該人物的形象；數量詞也是如此，他們的意義便是從日常的體驗轉變而來。例如南美的卡馬尤拉（Kamayura）部落，其數量詞就是由「手」轉化而來：
1：尾根彎曲了（小指彎曲） 2：又有一根彎曲了（無名指彎曲）
3：中間彎曲了（中指彎曲） 4：只留下一個
5：我的一隻手都用掉了 10：我的雙手都用掉了
如果用這種方法表示「3月15日」，那就是「中間彎曲的月，我的雙手都用掉了我的一隻手都用掉了的日」。
除了以「聲音」表示「數」之外，當然還有其他各種方法，其中最複雜的一種是巴布亞（Papua）人的「肢體語言」的數。語言中雖然沒有數量詞，但他們利用身體姿勢來表現：
1：右手小指 2：右手無名指 3：右手中指 4：右手食指
5：右手拇指 6：右手手腕 7：右手手肘 8：右肩
9：右耳 10：右眼 11：左眼 12：鼻子
13：嘴巴 14：左耳 15：左肩 16：左手手肘
17：左手手腕 18：左手拇指 19：左手食指 20：左手中指
21：左手無名指 22：左手小指
「數學體系」隨著各式各樣的發展，陸續出現了「12進位法」（以12作為基本的時間計算法，例如將1年分成12個月份）、「60進位法」（將1個小時分成60分鐘）、「5進位法」（使用於德國的農曆）；在各種進位法當中最單純的「2進位法」，被廣泛的應用在現在的電腦運作中。實際上，這是源自於中國的「陰陽思想」，受到其影響的西方數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）從中發想出了2進位法。
而在眾多的進位法中，我們最熟悉的莫過於10進位法，或許這正是因為我們的10根手指頭。如果我們的手指頭是7根或9根，也許我們用的就會是7進位法或9進位法吧；不過古代巴比倫人所使用的卻是60進位法，甚至17世紀以前歐洲也經常使用。這是為什麼呢？為何他們不使用較為自然直覺的10進位法？
有人這麼推測，10這個數相較於60的融通性更低。因為10只有2和5這兩個因數，60卻有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30等10個因數；簡單來說，今天如果需要以4除（1/4，quarter），10就無法被四整除，但60卻可以。而實際的生活中，除以2、3、4、5等的情況其實非常常見，因此，60進位法比10進位法更能避開複雜的小數計算。
換句話說，對於不喜歡用小數來表達的古代人而言，60進位法可以用更多的「分數」形式來表現「小數」的概念。舉例來說，如果把1分成10等份，用小數來表示是：
0.1、 0.2、 0.3、……、0.9、1
再把每一等分的切割成10等分，可獲得如下的結果：
0.01、0.02、……、0.09、0.1
如果要用分數來表現這些小數，10進位法居然可憐地連1/3都做不到，因為3並不是他的因數：
10進位法分數：1/2、1/5、1/10、1/20、1/50、……
60進位法分數：1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/10、1/20、1/30、1/50、……
不過雖然如此，中國很早就開始使用了10進位法，數量詞的表示如下：
1：一 2：二 3：三 4：四 5：五
6：六 7：七 8：八 9：九 10：十
20：二十 30：三十 40：四十 50：五十
60：六十 70：七十 80：八十 90：九十
100：百 1,000：千
韓國則很早就向中國學習，而有了相似的數學體系：
일（一，1） 십（十，10） 백（百，102 ）
천（千，10³） 만（萬，104 ）
억（億，108 ）
조（兆，1012 ）
경（京，1016 ）
해（垓，1020 ）
자（仔，1024 ）
양（穰，1028 ）
구（溝，1032 ）
간（澗，1036 ）
정（正，1040 ）
재（載，1044 ）
극（極，1048 ）
항하사（恆河沙，1052 ）
아승기（阿僧祇，1056 ）
나유타（那由他，1060 ）
불가사의（不可思議，1064 ）
무량대수（無量大數，1068 ）
其中較大的數量詞其實都源自於佛教的經典，例如1052 是以印度的恆河來表示，恆河沙是指「多如恆河之沙」；阿僧祇則是代表「無數之劫」；不可思議的意思是指「無法思量」，已然超出人所能度量的範圍。
佛教的經典為何會提到這些超乎人類想像的巨大數字呢？其原意是為了點出人類的無知。人類和無窮大的宇宙比較起來根本不算什麼，我們所想出的數字再怎麼巨大，都絕對找得到比他更大的數！
和這些大數相對應，當然也有「小數」了：
분（分， 1/10=10-1 ）
리（釐，1/100=102 ）
호（毫，1/1000=103 ）
사（糸，1/10000=10-4 ）
홀（忽，10-5 ）
미（微，10-6 ）
섬（纖，10-7 ）
사（沙，10-8 ）
진（塵，10-9 ）
애（埃，10-10 ）
묘（渺，10-11 ）
막（莫，10-12 ）
모호（模糊，10-13 ）
준순（浚巡，10-14 ）
수유（須臾，10-15 ）
순식（瞬息，10-16 ）
탄지（彈指，10-17 ）
찰나（剎那，10-18 ）
육덕（六德，10-19 ）
공허（空虛，10-20 ）
청정（清淨，10-21 ）
和大數一樣，這些小數大多也都是從佛教經典中衍伸而來的：「塵」和「埃」都是灰塵的意思，在印度用來表示最少的量；「模糊」是指「像精神一樣茫然」的意思；「剎那」是指「眨眼的瞬間」之意；我們常說的「瞬息萬變」，「瞬息」也是小數的單位。
古代的韓國人就已經經常使用這些數量詞，朝鮮末期著名的詩人金炳淵，他就有這麼一首詩：
一峰二峰三四峰，五峰六峰七八峰；
須臾更作千萬峰，九萬長天都是峰。
一座、兩座、三座、四座山峰，五座、六座、七座、八座山峰；瞬間更化作千萬山巒，雲峰更疊，綿延至萬里長天。
以上的這些數量計算方式，其實都是10進位法，我們只要有0、1、2、……、9等共10個數字，就可以表示所有的數字。這種計數法從中國與印度開始使用，經阿拉伯再輾轉傳到歐洲。因此我們10進位所用的數字才又稱為「阿拉伯數字」。
今日西方常用的10進位法，是以三位數為一組，以逗點（,）作標記。是一種以每「千」為單位的「千進制」：
1,000 （千，Thousand）
1,000,000 （萬，Million）
1,000,000,000 （十億，Billion）
1,000,000,000,000 （兆，Trillion）
然而，東方常用的進位法卻是以萬為單位，屬於「萬進制」：
1,0000 萬
1,0000,0000 億
1,000,000,000,000 兆
1,0000,0000,0000,0000 京
因此，對東方人而言，每四個位數組成一組，以逗點（,）來表現，事實上更為直覺方便。例如，請試著直接閱讀這樣的數字：12,345,678,912
一般人在閱讀這樣的數字時，其實通常都要從個位數往前推算，只要失了神多半又要從頭看起。然而，如果是使用四個位數為區分：123,4567,8912
是不是比較容易閱讀了呢？
這個數字是：「一百二十三億四千五百六十七萬八千九百一十二」。
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