這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅

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「無論你受過什麼樣的數學教育，或是沒有上過數學課，你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請，浸淫在書裡散發出的數學感受中，並親自動手嘗試看看──不只是解題，更積極的，一面探索數學世界一面構思問題。」
──貝利‧馬祖爾（Barry Mazur )，哈佛大學校聘數學教授

「這本書是一首情歌，一篇哲學宣言，以及關於做數學的甘苦，但甘甜占了大多數。」
──史蒂芬•史特格茲（Steven Str...

真實與想像

現實世界有很多種。其中一種，當然是我們身處的實體世界。再來就是那些和實體世界非常類似的想像世界，譬如那個「一切如常而且我五年級那年並沒有尿在褲子上」的世界，或是「同車黑髮正妹轉頭跟我交談，最後我們墜入愛河」的那個世界。相信我，這種想像中的現實世界有一大堆，但這些與我的主題無關。
我想談一種完全不同的世界，我準備稱呼它「數學實在」（mathematical reality）。我的心智可以看到一種世界，美麗的幾何形狀與模式翱翔其間，做出讓我驚嘆的有趣行徑。這個世界很讚，我真的很喜歡。
問題是，實體世界是個災難。它太複雜，一切事物都不像表面上那樣。物體熱脹冷縮，原子不時飛舞。尤其是，沒有哪樣東西可以真正測量得出來。我們不知道一根草的精確長度。這個宇宙中的任何一個量測值，必定都是近似值。這沒什麼不好，宇宙的本質就是如此。在這裡，最小的斑點不是點，最細的絲線也不是線。
至於數學實在，則是一種假想的世界，我可以隨自己高興，把它想像成簡單又美好。我可以擁有現實生活裡不可能擁有的完美事物。我手裡不可能握著一個圓，但腦袋裡可以，甚至還能度量這個圓。數學實在，是我自創出來的美麗境地，我可以去探訪、思索，與朋友一起討論。
大家之所以對實體世界感興趣，有很多理由。天文學、生物學、化學和其他領域的專家，一直在設法了解這個宇宙的運作，試圖描述它。
我則是想描述數學實在，想做出模式，搞清楚這些模式如何運作。這正是像我這樣的數學家努力做的事。
重點是，我要設法兼顧實體世界與數學實在，因為兩者都充滿了美和樂趣（也令人敬畏三分）。實體世界很重要，因為我身處其中，數學實在也很重要，因為就存在我腦袋裡。我這輩子就在設法同時擁有這兩樣美好的東西，你也一樣。
我寫這本書的構想，是要設計出各種模式。我們會做出幾何形狀與運動的模式，然後試著理解並度量這些模式。最後我們將看到美麗的東西！
但我也不想騙你：這不會是輕鬆愉快的任務。數學實在，是無邊無際的叢林，藏滿迷人的奧祕，不輕易讓人看見。你要有奮戰的心理準備，這會是一場知性與創造性的奮戰。說老實話，我不知道還有哪一項知識活動，這麼需要想像力、直覺和創造力。但我還是選擇了它，因為太喜歡而難以自拔。這片叢林讓人魂牽夢縈，一旦踏進去過，你就永遠忘不掉。
所以，我要邀你參與一場值回票價的冒險！我當然期望你也會愛上這片叢林，為它的魔力折服。我企圖在這本書傳達數學給我的感受，向你展示幾個最美、最令人興奮的數學發現。你不會看到注腳、參考出處之類的學術附注。這是我個人的表述。我只希望自己能設法用容易理解且又有趣的方式，傳遞這些有深度的迷人概念。
不過，這會是一趟緩慢的旅程。我並不想一路呵護你，不讓你接受真理的考驗，我也不打算為你可能面對的困境表示歉意。遇到新的概念，不妨就花幾小時甚至幾天來沉澱──有的概念起初可能歷經幾百年，才讓人接受呢。
我假定你熱愛美的事物，願意花心力理解。這趟旅程中，你需要具備的只有常識和好奇心。請放輕鬆！藝術是供人享受的，而這本書就在談藝術。數學不是賽跑或競賽，而是跟自己的想像力玩耍。希望你玩得開心！

漫談數學問題

何謂數學問題？對數學家而言，問題就是一種試探──去檢驗數學實在，看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」，看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角，可能是幾何形狀的排列方式，或是數字模式之類的，想要進一步了解它背後的運作，於是我們戳它一下──只不過沒用手或是棍子，而是運用心智。
舉例來說，假設你在畫三角形，在這些三角形上進行各種實驗，譬如切割成小三角形，結果偶然發現了一件事：
你把各邊中點和它的對角連起來時，三條連線（中線）似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形，發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團！但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼，是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率，三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎，再放在顯微鏡下看，但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚，卻不會因此而更了解三角形。
真正的謎團，是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形，而我們想問的問題是：在數學實在中，這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。（在整本書我會一直強調這種區別，可能會到讓你嫌囉唆的地步。）我們該如何解決這樣的問題？對於這樣的假想物件，有任何已知的知識嗎？是哪種形式的知識？
在繼續檢視這些提問之前，我們先花點時間，欣賞一下這道問題，領略何謂「數學實在」的本質。
我們撞見了一個密謀，顯然暗中有某種（未知的）結構上的運作，使這種情況發生。我認為這很了不起，但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事，是我們所不知道的？想到有這麼多漂亮而深奧的真理，等著我們去發現並融會貫通，有時還真讓我有點忐忑不安。
這個謎團究竟是什麼？我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做？假如你是隨便把三根棍子丟到地上，棍子通常不會交疊在某一點，而是兩兩交叉，中間形成一個小三角形，不是嗎？
我們所尋找的是一種解釋。當然，倘若這現象根本不真確，我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願，或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」，所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了，被鉛筆屑擋住，我們看不到罷了。但另一方面，它當然也有可能為真；它具備了數學家會去尋找的很多元素：自然性、優雅、簡單，以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的，但問題同樣是：為什麼？
現在，學問來了。為了做出解釋，我們得創造某樣東西──要以某種方式建構一套論證或推理，可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是，若只是畫或做出一堆實體三角形，然後看它對不對，這樣是不夠的。這並不是在解釋，反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問，是個更為嚴肅的哲學問題。
如果不知道為什麼三中線交於一點，又怎麼知道它們真的相交呢？「數學實在」不像實體世界，沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域？重點是，什麼是真確的，其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。
我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材，來輔助直覺和想像。我們只需明白，這些東西並不是討論的主體，並不能告訴我們數學實在的真相。
所以，現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理，現在需要證明它。這就是數學家的工作，我希望你也樂在其中。
這件事做起來非常困難嗎？是很困難。有沒有撇步或方法可依循？並沒有。這是不折不扣的抽象藝術。藝術始終是一場奮戰。沒有什麼系統化的方法，可幫助你創作出充滿美感和意義的繪畫或雕塑作品，也沒有哪個方法可以讓你做出具備美感和意義的數學論證。很抱歉。數學是最難的藝術，這也是我喜愛它的原因之一。
所以對不起，我不能告訴你怎麼做，而且我不打算陪著你，或是在書末附上一堆提示或詳解。如果你打心底想畫一幅畫，畫布的背面也不會有畫帖讓你照著畫。假如你題目做到一半卡住了，苦思不得其解，那就歡迎你加入我們的行列。數學家也都不知道怎麼解自己的題目。如果能解開，就不叫做問題了！我們始終在未知的邊緣奮戰，我們總是陷入苦思，直到有所突破。我也希望你有很多突破，這感覺很棒。但是，做數學並沒有什麼特別的撇步，你必須多思考，希望靈感找上門。
不過我不會把你送進叢林之後就撒手不管。你必須帶著智慧和好奇心，這些都是你賴以求生的裝備，而我也許可以提供幾點普通的建議，替你指引方向。
我的第一個建議是：你自己訂的題目就是最好的題目。你是勇敢的心智探險家；這是你的腦袋和冒險。「數學實在」是你自己腦袋裡的產物，你想去探索就可以去。你的問題是什麼？目標在哪裡？我是很喜歡出題讓你思考，但這些僅只是拋磚引玉，讓你可以繼續自己栽種出叢林來。別怕解不開自己訂的題目──數學家經常如此。另外，盡量讓自己同時思考五或六個問題。假如你的頭反覆撞同一面牆，你會非常沮喪。（有五、六面牆輪流讓你撞，情況就好多了！）說正經的，一個問題做一段時間然後休息一下，總是有幫助的。
還有一個重要的建議是：互相幫忙。如果你有朋友也想要做數學，你們可以一起討論，分享當中的快樂和挫折，就像一起玩音樂一樣。有時候，我會耗六到八個小時與朋友研究一個題目，即使只有一丁點進展，我們還是會因為有另一個傻瓜作伴而感到很開心。
所以，難就難吧。盡量不要氣餒或是把失敗看得太嚴重。不只你無法理解數學實在，我們所有的人都跟你一樣。別擔心自己經驗不足或是「不夠格」。數學家的特質並不是學術技能或淵博知識，而是永不滿足的好奇心，以及對簡單之美的渴望。做自己，去你想去的地方。與其裹足不前、害怕挫折或是困惑，不如試著擁抱這份恐懼和神祕感，開開心心大玩特玩一番。是沒錯，你的想法會行不通，你的直覺會出錯，歡迎你加入我們的行列！我一天會有十幾個不成熟的想法，其他的數學家也都跟我一樣。

真實與想像

現實世界有很多種。其中一種，當然是我們身處的實體世界。再來就是那些和實體世界非常類似的想像世界，譬如那個「一切如常而且我五年級那年並沒有尿在褲子上」的世界，或是「同車黑髮正妹轉頭跟我交談，最後我們墜入愛河」的那個世界。相信我，這種想像中的現實世界有一大堆，但這些與我的主題無關。
我想談一種完全不同的世界，我準備稱呼它「數學實在」（mathematical reality）。我的心智可以看到一種世界，美麗的幾何形狀與模式翱翔其間，做出讓我驚嘆的有趣行徑。這個世界很讚，我真的很喜歡。
問題是，實體世界是個...

〔推薦序一〕從「測量」看數學與數學之美
游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校

測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？

讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。

這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。

這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。

作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。

作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。

數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。

我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙曲線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。

作者堅持只談數學本身，這也是不少數學家面對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，才能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。

但無論如何，作者努力向我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。

數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘了帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。


〔推薦序二〕去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立台灣師範大學數學系退休教授

何謂數學？保羅・拉克哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。

不過，想要回答此一問題，我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」

從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除了研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。

儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學家之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。

不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學家著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。因此，到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。

在最近的四十年間，數學家對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出，數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。

針對幾何學研究，拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做出量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然出自對比（量度）方法論的考量。請看拉克哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓面積時，還是指出古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不只是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看出一種模式，告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說，透露出某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」

對於拉克哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉克哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」

我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉克哈特就指出：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到了。

其實，拉克哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」

總之，本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過了什麼！

〔推薦序一〕從「測量」看數學與數學之美游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校

測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？

讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。

這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到...

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真實與想像
漫談數學問題

上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。

下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。

英中譯名對照

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對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。

下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。

英中譯名對照