本書的基本概念
我們所知道的，遠比我們自己認為的還要多。信不信由你，我們長年的經驗，其實早就讓我們具備看透數字的能力。而這就是本書的基本概念：我們不用讀者不熟悉的觀點來震懾讀者，反而是要讓他們看清楚自己已經知道多少，並善用這些知識來發掘數字背後的真相。

這本書所強調的原則，幾乎每個人在生活中都使用過，也熟諳其中道理。比方說，每個人都知道把波浪誤認為是潮汐，是一件完全沒有常識的人會做的蠢事，你可能不相信，只要擁有這種程度的知識，就能夠分辨測速照相機是否真的能夠挽救所有人的性命。

本書的目的，就是要幫大家運用自己身上的知識，來破解看似奧祕的數字，讓大家用日常生活的經驗，來了解那些數字的涵義。換言之，如果這本書確實達到我們當初設定的目標，那些以往在你眼裡有如無字天書般難解或嚇人的數字，將會變成通俗的白話文。接下來，就讓我們來看看幾個有趣的例子。

數字大不大？
只要數字到了千萬以上，對某些人來說，就變成有聽沒有懂的天文數字。你可以發現，只要遇到比普通年薪或一般貸款金額大的數字，很多人的腦袋立刻打結。無論是七百億，還是七兆，如果這些數字聽起來都一樣，在晚間新聞裡總是讓人看得一頭霧水，大概是因為它們沒被拆解，以人類尺度來看。只要記得一個小訣竅：把這些數字想成秒，一百萬秒約等於十一天半，十億秒則差不多是三十二年之久。運用這種邏輯，以人類尺度來看這些數字，它們就會變得比較和藹可親。

舉個例，二○○七年一月，英國政府大肆宣布將提撥一千萬英鎊的預算，「振興」小學的歌唱與音樂教育。一千萬英鎊，看起來好像很大，但這個數字應該附加下列說明：全英有大約一千萬個學童，幾乎有一半都在念小學，將一千萬英鎊平均分配給五百萬個小學生之後，這筆預算到底可以振興出什麼結果？

這就是破解天文數字的方法：讓數字變得有意義的最佳工具，就是以人類尺度來看。丟開腦中的刻板印象，不要再認為很多零就等於大，強迫自己做一些小小的運算，把數字除以相關人數，你會發現，這些以往看來有如天體般龐大的數字，霎時就變得微不足道。總之，判斷一個數字是大是小的時候，應該把它切成個人的等分，讓每個人都可以問：「如果只看我的這一份，數字還是很大嗎？」

一、二、三、四、五，如何算清楚？
統計有一項基本原則，那就是為了要產生數字，一定要先定義並確認計算項目，千萬別小看了細節可能造成的差距。首先，得同意要算什麼，這有什麼困難的？讓我們來看一個有趣的例子──牧場上的三隻綿羊：

我們要數什麼？
綿羊。
有幾隻？
三隻。
但其中一隻是小羊，牠算是一隻羊，還是半隻？此外，有一隻懷孕的母羊即將生產，牠算是一隻？兩隻？還是一隻半？（假設牠懷的不是多胞胎。）全部總共有幾隻？依我們對統計項目定義的不同，總數可能是二、二•五、三、三•五或四隻。對一個小數目來說，這個差距的範圍已經相當廣，其中有個答案居然可以大到是另一個答案的兩倍。在現實世界中，含混計算只會讓事實被扭曲。

我們可以暫時建立出一個簡單的數數規則：一個依照某種定義計算出來的數字，大多扭曲了部分事實。雖然這是非常古老的知識，但人們總是習慣遺忘這項規則。永遠別忘了問：「對於計算出來的結果，我是否感到滿意？」簡單地講，就是：一、二、三是 A ，四、五還算 A 嗎？

有沒有可能？那不是老虎
黑暗中，是誰鬼鬼祟祟地企圖想要毀滅一切？二○○三年十一月五日的營火之夜，接近午夜時分，西米德蘭衛修鎮外（Wishaw, West Midlands），有人意圖不軌，自認為替天行道。

不管肇事者是誰（從來也沒有人被起訴），總之有人帶來了繩索和搬運工具，在幾分鐘之內，把位於市郊賽馬訓練場和牧場之間，一座擁有十年歷史、二十三公尺高的行動基地台連根拔起，推倒在地上。基地台的訊號恰好在半夜十二點三十分停止，警察沒有找到任何目擊者，隔天早上，抗議人士包圍著倒下的基地台，拒絕讓業主 T Mobile 公司移走或更換基地台。抗議群眾的代表律師不准地主接近，因為那代表穿越別人的私人產業。抗爭行動很快就變成全天候的警戒，雙方都雇了保全公司沿界巡邏。

鎮民的激烈抗爭，起因於絕望，因為自從基地台設立了之後，周圍五百公尺內的二十戶人家，已經有九個人罹患癌症。他們一直到現在仍始終相信，這件事怎麼可能是偶然？除了基地台的電磁波之外，還有什麼原因可以解釋，一個地方為什麼會有這麼多的病例？

想知道為什麼？請站在地毯上（最好選一張毛不會太長的，並把吸塵器準備好），拿一袋米來打開袋子，然後……把米全部倒出來。你的目標是，把整包米拋向空中，讓米粒像雨點般落下。

這麼做，是為了看米粒在地毯上分布的機率。請你特別觀察米粒散落的方式，你會發現，它們大都不是平均地落下，而是偏重某個地方，所以常會造成某堆米特別高，和其他米不一樣：那堆米形成了一個群集。

只要是癌症發生率高的地方，人們都希望能夠有個合理的解釋。透過上述那包米，大家可以看出類似的形式，你可以把每顆米粒，想像成國內的一個癌症病例。從這包米可以看出，單純由機率造成的群集，是能夠被預期的。如果米粒均勻地散布成一層，那才是奇怪。同樣地，如果疾病的發生，在全國人口平均分布，那也很奇怪。

大家很容易就會相信，米粒的分布純屬機率，而疾病的發生，則一定事出有因，但這種想法是錯誤的。「機率」並不純屬偶然，有很多原因能夠影響米粒落下的位置，如：氣流、手勁、每粒米最初在袋中的位置等，而癌症在這方面（也只有在這方面），通常沒有什麼差異。雖然看起來好像有什麼意義，但除了偶然之外，真的別無其他涵義。

我們大家都是天生的直覺動物，下意識就會知道有哪些事是合理的，哪些事又與我們的想像相悖。一旦遇到這些「感覺」起來好像不那麼順的事時，我們本能地就會想要追根究柢。有人對此提出一個似乎還滿有道理的論點，認為只要外頭有任何的風吹草動，我們就會提心吊膽的原因，是人類進化的結果。為了延續生命，安全總比遺憾好，所以我們只要看到樹叢間投射出來的光線，以及樹葉飛舞的樣子，就會以為自己看到了老虎，然後拔腿就跑。

但這種根深蒂固、不求甚解的習慣，卻讓我們成了最差勁的統計員，隨隨便便就做出結論。模式通常是機率造成的結果，但我們很難說服自己去相信這個事實，所以我們會問：「老虎在哪？」統計員會說﹕「沒有老虎。不過又是機率這個騙子，在施展它的老把戲。」既然我們已經從叢林中進化出來了，我們就應該記住自己對於機率的經驗，並在重要時刻，迅速控制本能。

平均的真相
荷蘭經濟學家潘正（Jan Pen）有個很有名的比喻方式，他將全世界人的身高，比喻成他們擁有的財富（請注意他比喻的是「財富」，不是「收入」）。每個人的高度，都和其擁有的財富成正比，然後排成一列。一個擁有一般水準財富的人，其身高也會是一般高度。整支隊伍從最貧窮的（最矮的）人開始排，過了一個小時之後，隊伍末端是最有錢的（最高的）人。

開始排隊後的二十分鐘之內，我們還看不見半個人，因為此時排隊的，要不是財富為負值（負債比財產多），就是一無所有的人，所以他們的身高是零。直到整整三十分鐘後，才開始有六吋高的小矮人出現。然後，小矮人一個接著一個加入，直到第四十八分鐘，才會看到擁有平均身高（平均財富）的人出現，但此時，排隊的人口，已經超過全世界四分之三的人口。

是什麼延遲了平均值，讓它在大多數人口都加入隊伍之後才出現？答案是：那些排在更後面的人。潘正寫道：「最後幾分鐘，巨人們紛紛現形……不怎麼成功的律師，八英尺高。」當一個鐘頭快要結束的時候，排在隊伍後面的人，高到我們看不見他們的頭。潘正說，當時排在最後的是美國石油大亨約翰•保羅•蓋堤（John Paul Getty），當時比爾•蓋茲（Bill Gates）和華倫•巴菲特（Warren Buffett）的財產，還沒有達到全盛時期。蓋堤的身高令人屏息，可能有十英里高，也可能還要高上兩倍。

一個百萬富翁對於平均值的影響，遠大於成千上萬個貧民，而億萬富翁的影響力，則又大了一百倍。他們的影響力，大到讓全世界八○％人口的財富，低於平均值。在日常言論中，每每提到「平均」，往往代表了低下或鄙視。但對於薪資來說，平均值卻相當高。在問平均薪資時，也許我們不會想知道金字塔頂端的人收入有多少，只想了解普通人的狀況。重要的是，你得知道什麼該計算，什麼該剔除，確定自己已經完成了自己想要的組合。平均值是一個概略，有用，但所有的概略都是一個樣。如果你不知道它只是個摘要，就會被它誤導。

風險有多大？把它個人化
二○○五年一月，英國國家放射防護局（National Radiological Protection Board）局長宣布，一項針對手機的新醫學研究指出，為了降低風險，孩童應該避免使用手機。毫不意外地，這項宣布又引起各大媒體沸沸揚揚的報導。局長發表的建議，是引用瑞典卡洛林研究院（Karolinska Institute）的一篇論文，該文指出，長期使用手機與較高的腦瘤風險（稱為聽神經瘤）有關。但風險到底有多高？新聞中指出，手機會讓風險提高兩倍。

又來了，幾乎沒有一則報導提到風險基數，或是依照人類數數的直覺，去計算一下風險產生的病例數。在所有全國性報紙與電視新聞節目中，我們只找到唯一的例外，那就是英國廣播公司網路新聞的一則報導。風險提高兩倍聽起來好像很嚴重，可能吧！但就像跑步一樣，兩倍快也可能是烏龜賽跑。

關於手機與腦瘤，你可以先從認識這些腫瘤不是癌症開始。它們會長大，但只是有時候會，而且速度通常很慢，或是在大到某種程度就停止。這種腫瘤造成的問題之一是：當它們持續變大，壓迫到周圍的腦組織或是聽神經時，可能必須切除。該研究指出，這些腫瘤在一般使用手機的情況下，至少十年後才會出現。在你掌握了所有的資訊之後，記得問那個最簡單的問題：「這個數字大不大？」要了解比較的基準。

事件暴發幾天後，我們訪問了最初的研究人員之一──卡洛林研究院的瑪麗亞•費區廷（Maria Feychting）。她告訴我們基數是○•○○一％，也就是說每十萬人約有一人，這是一般不使用手機的人，會得到聽神經瘤的機率。在正常情況使用手機十年後，所謂的兩倍風險，就是○•○○二％，也就是說，每十萬人約有兩人有可能得到聽神經瘤（但如果測量比較常用來聽手機的那隻耳朵，機率可能會更高）。所以，定期使用手機，可能會讓使用者增加○•○○一％的風險，或是說手機族每十萬人當中，有一人可能會長瘤。

費區廷會不會禁止自己的小孩使用手機？並不會，她寧願知道他們身在何處，可以打電話給他們。她也提出警告，表示研究結果是暫定的，因為研究的規模很小，一旦擴大抽樣後，可能會產生不同的結果。她表示，事實經常如此，這類風險似乎會隨著更多證據，與更大型研究而縮小。

兩年以後，這個全球性研究團隊，再度調查無線對講機對健康的影響，卡洛林研究院也參與其中。這次研究提出了另一份報告，利用更多樣本取得新的結果，最後指出沒有證據顯示，聽神經瘤的風險會因為使用手機而提高，稍早研究結果的數據，純屬統計上的偶然，在這次較大型的研究中已不存在。

從我們看過的許多例子可知，疾病風險、犯罪率、車禍次數等各種機率，有很多數字的百分比升降，都有一樣的問題，深受蒐證方法的影響。因此往後我們再看到各種風險數字時，可以做出以下反應：把增加的百分比，當作是兩個人在比賽跑步，當人家告訴你風險提高時（其中一個跑者，以驚人的比例遙遙領先），一定要記得問，另一個跑者的速度有多快（也就是基數為何），不要被差異度所騙。最理想的情況是，報導風險應以人數的計算為依據，就像人類數數的直覺一樣，盡量少用百分比來表示，應該鼓勵新聞官員也一樣，然後我們就可以問：增加的風險，會在每百/千人中，影響到多少人？

本書包含的例子
本書能夠讓你們了解下列這些問題：有多少人賺錢，多少人欠錢？多少人是有錢人，多少人是窮光蛋？政府今年的支出，是否把錢花在刀口上？施政目標又讓幾家歡樂幾家愁？排行榜上的順位，是否映照出真實的情況？測速照相機到底救了多少條人命？在每四個英國青少年當中，是不是就真的有一個人犯罪？每位女性多喝一瓶酒精飲料，罹患乳癌的風險，是不是真的比同齡女性高出六％？

此外，通膨數字、伊拉克戰爭死亡人數、感染 HIV/AIDS 的人數、北海漁獲量、英國刺蝟量、判斷罹患癌症的準確率、英國能夠領到退休金的人數、健保局的赤字、讓孕婦空焦急的不準預產期、第三世界的外債、全球暖化的各項數字等，實際上到底又是怎麼一回事？

現在，幾乎沒有一個議題不會談到與尺寸、數量、預估值、排名、統計數、達成率等有關的數字。數字無所不在，而且常常引起爭議，如果我們對其中任何一個數字，稍微有點興趣的話，就應該試著把它們拆開來看，而這本書會告訴你該怎麼做。

本書的基本概念我們所知道的，遠比我們自己認為的還要多。信不信由你，我們長年的經驗，其實早就讓我們具備看透數字的能力。而這就是本書的基本概念：我們不用讀者不熟悉的觀點來震懾讀者，反而是要讓他們看清楚自己已經知道多少，並善用這些知識來發掘數字背後的真相。這本書所強調的原則，幾乎每個人在生活中都使用過，也熟諳其中道理。比方說，每個人都知道把波浪誤認為是潮汐，是一件完全沒有常識的人會做的蠢事，你可能不相信，只要擁有這種程度的知識，就能夠分辨測速照相機是否真的能夠挽救所有人的性命。本書的目的，就是要幫大家...