賭徒的難題—古典機率的誕生

十六世紀，在法國的一個小酒館中坐著兩個賭徒。時已夜深，周圍的人都已經回去了，但這兩個賭徒仍然沒有要回家的意思，這讓酒館的老闆很不高興，他催促著這兩個賭徒趕快回家，自己也好打烊休息。

但這兩個賭徒仍然沒有回家的意思。

賭徒們每人拿出七個金幣做為賭資，並制定好規則：一共玩七局紙牌，贏的局數多的人就可以拿走兩個人共十四個金幣。遊戲開始後賭徒甲的運氣不錯，他連續贏了兩局。這時酒館老闆突然走過來趕他們離店，不管賭徒們說什麼好話，都無法改變老闆的決定，沒有辦法，兩人只能提前結束了比賽。

當賭徒們走出酒館，賭博被迫中斷而無法再次展開，他們開始為怎麼分配金幣而爭吵起來，賭徒乙認為，既然遊戲能再繼續，那麼就應該按照局數來分，因為甲贏了兩局，所以應該分的其中四個金幣，剩下的局數兩個人互有勝負，所以要平均分，也就是甲是4+5=9 個金幣，而乙應該拿五個金幣。賭徒甲却認為，他已經贏了兩局，還剩下五局只要再贏得兩局就可以拿到全部的金幣，而對方需要贏四局才可以戰勝自己，所以自己分的金幣應該更多。

兩個賭徒為此爭論起來，他們決定求助於著名的數學家帕斯卡。但帕斯卡拿到這個難題的時候，卻得到和兩個賭徒都不一樣的答案。但帕斯卡覺得他們也各有各的道理，於是和另外一個數學家費馬討論起來。

在當時，數學的三大分支——分析學，代數學和幾何學都在萌芽中，數學家們正在無意識地努力為這三個數學學科做著最後的準備。但長久以來數學家們一直關注確定的數學，比如一個定理一定能證明或者證偽，一個方程一定有確定的根，但對於這種不確定的數學並沒有明確的認知。

在「不確定」數學發展的初期，法國數學家拉普拉斯做出了奠基性的工作。拉普拉斯從最簡單的不確定事件出發，扔一個兩面差不多的硬幣，出現正面和反面的可能性相同，而兩種可能性相加就能得到一定發生的結果（我們不考慮硬幣會恰好立起來）。拉普拉斯把這種事件發生的可能性大小叫做機率。

從此，一門有別於數學三大基礎的新的數學門類被創造出來。

拉普拉斯認為落地的硬幣要嘛正面，要嘛反面，這是一定能發生的事情，所以用1 來表示。既然兩面機率相同，那麼它們的機率就都是0.5。同樣的方法，如果考慮一個骰子，出現每個數字的機率就為1/6。拉普拉斯這種機率就是機率中最簡單的一種——古典機率，也被稱為拉普拉斯機率。

瞭解了拉普拉斯的成果，瑞士數學家族——伯努利家族的長子雅各．伯努利認為，雖然拉普拉斯的結果看起來正確，卻無法服眾，畢竟數學的嚴謹是不允許這樣想當然的創造：硬幣投擲之前，事件並沒有發生，怎麼能預料沒發生的事情呢？而如果硬幣投擲出現了正面，又直接否定了反面的出現，這又和之前的0.5 相悖。

雅各．伯努利決定從事件本身來分析機率這個事情。他投擲了很多次硬幣，並把結果記錄下來。伯努利發現，當投擲十次的時候，出現了七次正面；當投擲一百次的時候，出現了六十五次正面；當投擲一千次的時候，出現了五百二十七次正面；而投擲一萬次的時候，出現了五千零五十七次正面。伯努利比較了結果發現，正面次數佔有總次數的比例越來越接近0.5，而這個0.5 正是拉普拉斯得到的結果！伯努利終於明白，所謂的機率其實是在不受到其他外界環境影響的時候，事件不斷重複出現次數佔總事件之比。伯努利發現的這個規律就是機率中的伯努利大數定律。這個定律也成為古典機率論的基礎。

有了古典機率的基礎，數學家推衍出相互獨立事件、條件機率等一系列的概念，從此機率論做為一門獨立的數學學科開始發展起來。在人類改造世界的過程中，會遇到很多不確定的事情，為了充分利用資源完成更重要的任務，就要預測時間發生的可能性，而機率正是進行預測的數學工具。機率論已經深入生產生活的方方面面，從投資銀行預測金融衍生品的價值，到氣象學預測未來的天氣，機率無處不在發揮著它的作用，甚至新中國第一個機率學專家王梓坤先生，曾經帶領團隊用機率論預測地震，取得輝煌的成就。

【Tips】

機率不僅可以計算事件發展的可能性大小，還能做出很多超乎想像的事情。如果在平面中畫出很多條平行線，它們之間的距離為１，然後把一根長度為１的針扔在這個平面上，竟然可以計算圓周率π。

首先根據機率的計算可以知道， 針與平行線相交的機率為2/π， 然後就可以進行「扔針」的實驗： 比如扔十萬次， 針有六萬三千六百九十四次與平行線相交（也可能是其他數，但都接近這個數字），這就說明了機率大約為63694/100000。通透過63694/100000 ＝ 2/π可以計算出，π≈3.140，這與實際值非常接近，實際上，如果扔針的次數越多，計算出的π 就越準確。

賭徒的難題—古典機率的誕生

十六世紀，在法國的一個小酒館中坐著兩個賭徒。時已夜深，周圍的人都已經回去了，但這兩個賭徒仍然沒有要回家的意思，這讓酒館的老闆很不高興，他催促著這兩個賭徒趕快回家，自己也好打烊休息。

但這兩個賭徒仍然沒有回家的意思。

賭徒們每人拿出七個金幣做為賭資，並制定好規則：一共玩七局紙牌，贏的局數多的人就可以拿走兩個人共十四個金幣。遊戲開始後賭徒甲的運氣不錯，他連續贏了兩局。這時酒館老闆突然走過來趕他們離店，不管賭徒們說什麼好話，都無法改變老闆的決定，沒有辦法，兩人只能提前結束了...

前 言

數學在人類茹毛飲血的遠古時代就誕生了。在從事各類生產活動過程中，人類學會了用抽象的符號來度量數量和計算，用簡化的圖形來描繪事物和表達，以致於在幾千年前就累積了很多數學知識，並且有意識地使用。

做為人類文明的結晶，數學和人類歷史一樣不斷發展，成為每一個階段的人們認識世界和改造世界最有力的工具之一。毫不誇張地說，人類對數學掌握的程度，決定了人類文明的層次。

在科學技術高度發達的今天，數學在所有學科的發展中，成為披荊斬棘的先行者，任何一門自然科學和相當一部分社會科學，都大量使用數學學科的成果和研究方法才得到發展，成就了現代文明。與此同時，數學分類越來越多，內容也越來越抽象，甚至只能用簡略的符號進行形而上的表達。不可否認，世界上絕大多數人的認知仍然難逃具象的範圍，難以理解抽象的符號和其中表達的深刻含意，加上數學的研究和發展已經遠遠超過日常生活的範疇，絕大多數人也無法窺測和理解數學的宏大和瑰麗。這就使社會上出現了「數學是否應該退出大學考試」和「數學無用論」的爭論。

為了改變很多人對數學的不理解，筆者按照時間順序挑選並撰寫了關於數學的一百個故事。這一百個故事涵蓋了傳說中的遠古時代、古希臘時期、羅馬帝國時期、文藝復興時期、近代和現代，著重講述了數學的每一個知識如何誕生，如何發展，如何分化，又如何引出了更多的數

學概念，在講述上避免抽象的陳述，力求還原當時人類對數學的思考。這樣，讀者就可以瞭解和把握每一個數學概念誕生的原因和發展的脈絡。同時，這一百個故事也覆蓋了數學中幾乎所有的主要學科，早期的計數、算術、測量和數論，中期的分析學、代數學和幾何學、後期研究物件的分化和研究方法交叉使用誕生的代數拓撲學、微分幾何學等在本書中都有涉及。

在本書的最後，筆者寫到了一些著名的數學家，他們在數學史上熠熠生輝，但在數學圈之外卻很少為人所知。這些數學家來自各個年代和不同國家，有著不一樣的人生和精彩的故事，但相同的是，他們都為數學和人類文明的發展做出了不朽的貢獻，努力實現人類在數學上的宏願—超越人類極限，做宇宙的主人。

本書適合對數學有興趣的專業和非專業人士，不論是尋找課外書以開闊視野的中小學生、對數學有大致瞭解，從事各類工作的成人、還是數學學習者和數學史研究人員，閱讀本書無不適宜。而更多先進的研究【方法、抽象的描述和現代數學的最新進展，由於篇幅有限、內容過於抽象、小眾和筆者水準有限等原因，就不在本書中贅述。

筆者真心希望每一位讀者都能在本書中獲取到有益的知識。在閱讀本書後，讀者如果能燃起對數學的熱情，甚至投身數學研究事業做出一番貢獻，那更是善莫大焉。

自序

自畢業以來，筆者一直從事課外輔導培訓工作，講授從國小到高中各個年級數學和奧林匹克數學競賽的課程，同時為各類數學報刊、雜誌和研究所培訓學校編撰試題。從事教育事業的十年來，筆者認識了很多熱愛數學的學生，他們對數學的熱情和對未知的探索精神讓我深深感動，但更多的卻是熱衷各種網路遊戲、手機遊戲，只想著應付數學考試的學生。

這種現象讓我想起了小時候，那個年代手機和網路是新鮮玩意兒，條件好的家庭可能會配置一台價格昂貴的電腦，而大多數條件普通的家庭甚至買不起任天堂的紅白機，如果能到遊戲店買幾個遊戲幣都是很奢侈的。在那種物質並不充裕年代，數學題就成為了我們的玩具，很多同伴不僅不畏懼解題的困難，甚至以解題為樂趣。而這種風氣在成年人圈中更甚，說起哪個孩子數學好，很多家長都會非常羨慕，因為在成年人的心裡，數學好和聰明是畫等號的，被評價數學好，是對自己孩子最大的褒獎。

筆者在大學讀了數學系，發現之前學習的大多數數學知識都不能稱為數學，只能勉強稱為算術。真正的數學的宏大、抽象和深刻，讓筆者相見恨晚，又慶幸自己在挑選科系上做出正確的選擇，於是把大多數時間都投入到數學學習中，力求在短短的幾年接受人類幾百年的成果。雖然在畢業以後，筆者並沒有從事數學研究而選擇了數學教育工作，但始終關注著數學界的進展，並和從事數學研究的同學保持著聯繫。而這些，都是源自對數學的熱愛。

這種熱愛在現在的很多學生看來似乎不可理喻：明明有那麼多好玩的東西，為什麼非要在艱深抽象的數學上「浪費」時間？而我很清醒地知道，數學就像一座高峰，只有不畏艱難險阻到達峰頂，才能俯瞰美麗的景色，而他們在山腳下徘徊，自然不明白數學的樂趣。他們自然也無法理解，數學對思維的訓練作用，筆者能在業餘時間快速地學習和掌握網頁程式設計、actionscript 動畫程式設計和android 開發等電腦技能，都是拜系統的數學學習和訓練所賜。

在講課之餘，筆者為多家圖書公司撰寫並出版了多本社會科學類、生活類等書籍，這些工作看似與數學教育和數學研究風馬牛不相及，只是一個興趣愛好，滿足筆者看到文檔變成鉛字的虛榮心。然而在二○一四年年中，筆者接到紅螞蟻公司編輯韓老師的邀請，撰寫《關於數學的100 個故事》。這是一個把我的工作、寫書的副業和對數學的熱愛結合在一起的一項任務，也是向大眾普及數學的一項有益的工作，於是我欣然接受。

在寫作中，筆者經常沉浸在浩瀚的數學世界不能自拔。本書雖然不能稱為嘔心瀝血之作，但筆者至少也盡心盡力，傾注了全部熱情。看到書的完成，就像看到自己孩子誕生一樣，真心希望本書與讀者盡快見面。

前 言

數學在人類茹毛飲血的遠古時代就誕生了。在從事各類生產活動過程中，人類學會了用抽象的符號來度量數量和計算，用簡化的圖形來描繪事物和表達，以致於在幾千年前就累積了很多數學知識，並且有意識地使用。

做為人類文明的結晶，數學和人類歷史一樣不斷發展，成為每一個階段的人們認識世界和改造世界最有力的工具之一。毫不誇張地說，人類對數學掌握的程度，決定了人類文明的層次。

在科學技術高度發達的今天，數學在所有學科的發展中，成為披荊斬棘的先行者，任何一門自然科學和相當一部分社會科學，都大量使用數學學科的成果和研...

第一章　數學的形成
1、始創於伏羲與女媧——結繩計數與尺規的應用.................... 14
2、泥板上的文字——古巴比倫數學的開端.......................... 17
3、寫在莎草紙上的數學——古埃及的數學.......................... 21
4、阻止戰爭的日食——泰勒斯和沙羅演算法........................ 25
5、萬物皆數的慘案——畢達哥拉斯學派............................ 28
6、源自印度的阿拉伯數字——印度數學的十進位.................... 31
7、數學與宗教的結合——印度數學的《繩法經》.................... 34
8、齊桓公與九九歌——春秋時期的數學............................ 38

第二章　數學的分化
9、飛矢不動——埃利亞學派的詭辯................................ 44
10、墓誌銘上的難題——代數學的開創............................. 47
11、賈憲與楊輝三角——二項式係數展開圖......................... 50
12、平面幾何學的集大成——《幾何原本》....................... 54
13、周公與商高的對話——《周髀算經》與畢氏定理................. 58
14、算術基本定理——初等數論的誕生............................. 62
15、來自星星的學科——希臘三角學的發展......................... 65
16、米諾斯國王子的墳墓——古希臘三大幾何作圖問題............... 68
17、《海島算經》——中國最早的測量數學著作..................... 71
18、震驚世界的計算方法——測量地球周長......................... 74
19、巴爾幹半島幾何的最後閃光——圓錐曲線....................... 77
20、古希臘數學的滅亡——希帕蒂亞之死........................... 80

第三章　中世紀和文藝復興時期的初等數學
21、保留數學文明的火種——伊斯蘭數學........................... 86
22、代數學之父——阿爾．花拉子米............................... 89
23、黑暗時代的數學曙光——斐波那契的兔子和代數................. 92
24、建築師也是數學家——投影幾何的誕生......................... 95
25、義大利的數學競賽——三次方程的解法......................... 98
26、無法調和的科學和神學——帕斯卡的悲劇...................... 102
27、密碼專家和他的未知數——符號系統的產生.................... 106
28、虛無縹緲的數字——虛數與複數域............................ 109
29、笛卡兒家的蜘蛛——直角座標系的誕生........................ 112

第四章　分析學的發展期
30、不斷發展的數學概念——函數和映射.......................... 118
31、對信號和波的研究——傅立葉分析的由來...................... 122
32、高等數學的起點——微積分的誕生............................ 125
33、眾人拾柴火焰高——微積分基礎的完善........................ 129
34、關於微積分的嘗試——威力巨大的微分方程.................... 133
35、無窮多個數相加是多少——級數的發展........................ 136
36、一根繃緊的弦如何振動——偏微分方程的發現.................. 140
37、對微積分的修補——實變函數................................ 144
38、複數也能做變數——複變函數的誕生.......................... 147
39、始創於最速降線——變分法的出現............................ 150
40、抽象的映射有什麼特點——泛函分析的誕生.................... 153

第五章　幾何學與撲學的發展
41、「以算代證」證明命題——解析幾何的誕生.................... 158
42、可以變形的圖形——仿射幾何................................ 161
43、用微積分來解決幾何問題——微分幾何的誕生.................. 164
44、用代數研究幾何——代數幾何的歷史.......................... 168
45、第五公設的難題——非歐幾何的誕生.......................... 171
46、幾何學的統領——廣義黎曼幾何.............................. 175
47、海岸線有多長——分形幾何學................................ 178
48、七橋問題和四色定理——不在乎形狀的拓撲學.................. 181
49、用點的集合研究拓撲學——點集拓撲學........................ 185
50、一百萬美元的問題——代數拓撲學............................ 188

第六章　數論的發展
51、初等數論的核心——整除和同餘理論.......................... 194
52、幾千年的努力——尋找質數的規律............................ 197
53、韓信點兵——中國剩餘定理.................................. 200
54、這個猜想沒那麼重要——哥德巴赫猜想........................ 203
55、用分析學研究數論——解析數論的誕生........................ 206
56、費馬的難題——代數數論的誕生.............................. 209
57、不能用代數方程解出來的奇怪數——超越數論.................. 213
58、懷爾斯的最後一擊——費馬大定理的解決...................... 216

第七章　代數學的發展
59、輸油管線的問題——最小二乘法.............................. 222
60、計算線性方程組的方法——高斯消去法........................ 225
61、天元術和增乘開方法——一元高次方程的列式和求解............ 229
62、朱世傑和四元術——四元四次方程組的求解.................... 233
63、來自幻方的數學——矩陣和行列式............................ 237
64、基、向量和空間——線性代數................................ 241
65、多項式代數的用途——幾何定理的機器證明.................... 245
66、方程的根有什麼特點——奇思妙想的近世代數.................. 248
67、近世代數的三個研究物件——群、環和域...................... 252
68、代數的集大成者——泛代數.................................. 256

第八章　概率與統計學的發展
69、賭徒的難題——古典機率的誕生.............................. 262
70、用函數來表示可能性的大小——機率分布...................... 266
71、柯爾莫哥洛夫的貢獻——機率論公理化........................ 269
72、對隨機現象的研究——隨機過程中的瑪律可夫過程和時間序列分析... 273
73、機率在生活中的應用——數理統計學.......................... 277
74、如何選取研究物件——抽樣的方法............................ 281
第九章　其他數學分支的發展
75、引發第三次數學危機——公理化集合論的產生.................. 288
76、長度、面積和體積的推廣——測度論是什麼.................... 292
77、追根問底的數學——數理邏輯是什麼.......................... 295
78、與電腦密切相關——組合數學是什麼.......................... 298
79、多少歲的人算老人？——模糊數學是什麼...................... 301
80、數學在工程上的應用——計算數學是什麼...................... 304
81、用數學做出最優的決策——運籌學的發展...................... 307

第十章　著名的數學家和數學團體
82、與康熙有私交的數學家——萊布尼茲.......................... 312
83、偉大多產的數學家——歐拉.................................. 316
84、微分幾何之王——陳省身.................................... 320
85、不為政治折腰的數學家——柯西.............................. 324
86、英年早逝的天才——伽羅華.................................. 328
87、數學界的無冕之王——希爾伯特.............................. 332
88、悖論的最終解決——哥德爾.................................. 337
89、數學、物理和電腦全才——馮．諾伊曼........................ 341
90、住在原始森林裡的天才——佩雷爾曼.......................... 345
91、華人數學之光——陶哲軒.................................... 349
92、ＡＢＣ猜想——望月新一.................................... 353
93、愛因斯坦的數學老師——閔考夫斯基.......................... 357
94、遲到的學生——丹齊格...................................... 361

第十一章　數學學派、數學大獎與數學競賽
95、世界數學的搖籃——哥廷根數學學派.......................... 368
96、史達林的祕密武器——前蘇聯數學學派........................ 372
97、新興的數學中心——普林斯頓數學學派........................ 376
98、國際數學三大獎——菲爾茲獎、沃爾夫數學獎、阿貝爾獎........ 380
99、群星璀璨——數學各分支重要獎項............................ 383
100、青少年的數學戰場——國際數學奧林匹克競賽................. 387

第一章　數學的形成
1、始創於伏羲與女媧——結繩計數與尺規的應用.................... 14
2、泥板上的文字——古巴比倫數學的開端.......................... 17
3、寫在莎草紙上的數學——古埃及的數學.......................... 21
4、阻止戰爭的日食——泰勒斯和沙羅演算法........................ 25
5、萬物皆數的慘案——畢達哥拉斯學派............................ 28
6、源自印度的阿拉伯數字——印度數學的十進位.................... 31
7、數學與宗教的結合——印度數學的《繩法經》.................... 34
8、齊...