開始上課啦！

我們通常把數學知識當作數學，但這其實是一種誤解。

學習數學，不應該以懂得多少數學公式為目標，而是要從鍛鍊解決問題的過程中，學習所用到的思維方法。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，更能多角度開闢思維點，進行逆向思考。這樣的人在學習中很容易做到舉一反三，對所學知識活學活用，成績自然不差。 我在這本書裡精選了20個對人類數學發展史產生重要影響的數學問題，透過故事的形式，讓大家瞭解每個問題解決背後的過程、相關科學家軼事，以及這些問題對應的數學定律在人類生活中的重要影響；讓人們去感受這些科學家在數學問題上閃耀著的智慧光芒，去探究數學發展史上人類探索的脈絡；讓人們學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。



Lesson 03 古代到現代的計數演變

進位制的發明

思考：同一個數量，如何在不同進位制間轉換表達方式？

當從1 數到10 的時候，你就會發現數從一位變成了兩位，用「1」和「0」兩個數位的組合體代表了比9 還多1 個的涵義。繼續數到11 的時候，在同一個數中出現了兩個「1」，而這兩個「1」所代表的涵義是完全不同的，我們通常將左邊的1 所在的位置稱作十位，右邊那個位置稱作個位。當從9 數到10 的時候，個位雖然變回了0，但十位卻變成了1。所謂進位制也就是進位計數制，是人為定義的帶進位的計數方法。 人類的祖先最早並不需要進位制，因為現實生活中的東西太少，不需要數清太多的數目。著名物理學家伽莫夫在他的《從一到無窮大》一書中講了這樣一個故事：有兩個酋長打賭，看誰說的數字大。結果一個酋長說了3，另一個想了半天，說：「你贏了。」在東西很少的時候，人們沒有大數字的概念，超過3 個就籠統地稱為「許多」了，至於5 和6 哪個更多，對他們來講沒有什麼意義，因為他們很難擁有那麼多的東西。

原始人類如何計數？

但是，隨著人類的發展，身邊的東西越來越多，終於多到需要數一數的時候。他們通常會在獸骨上刻上一道道刻痕，每一道代表一個數。人們在今天非洲南部的史瓦濟蘭發現了距今4 萬多年的列彭波骨，在剛果發現了2 萬年前的伊尚戈骨，上面都有很多整齊而深深的刻痕，人們認為這些是最早的計數工具。 但是這種方法很容易數錯，線太多容易花眼，因此，人們逐漸地發明了一些一眼就能看懂的計數符號。例如，我們通常會在黑板上畫「正」字，統計得票結果，每個「正」字代表「5」；在很多英語系國家常使用的四豎槓加一橫槓的1-5 計數法，以及拉丁語系國家用的口字形1～5 計數法，都屬於計數符號。 計數符號和我們今天用的數字還不是一回事。計數符號是數一個數畫一筆，一一對應，非常直觀，但「1、2、3」這樣的數字是抽象的，二者之間存在一個巨大的變化。由於數字演化是個連續的過程，所以有的數位還保留了計數符號的特點。例如，無論是中國還是古印度的「1、2、3」都是相應數量的幾橫，羅馬數字的「1、2、3」則是相應的幾個豎槓（I、II、III），美索不達米亞的楔形數字則完全保留了計數符號的特點。

十進位的出現

數字的出現伴隨著進位制的發明，如果沒有進位制，幾乎不可能表示一個大的數字。例如，我們要從1表示到10000，不可能創造出10000個不同的數字，表達10000那麼多的時候，我們只需要1個1和4個0就夠了。至於數字和進位制是什麼時候產生的，這依然是個謎。今天我們能夠看到的最早的數字以及相應的進位制出現於6600年前，那時的美索不達米亞已經有了六十進位，後來，6100年前的古埃及則有了十進位。 十進位的出現則是順理成章的，因為人類長著10個手指頭，用十進位最方便。如果我們長了8根手指頭或者12根手指頭，那麼今天用的就是八進位制或者十二進位了。有人可能會覺得十二進位很彆扭，因為12的整數次方，例如：12（12的一次方）、144（12的平方）、1728（12的立方）等數字，都是有零有整，不像10進位制的10、100、1000看上去舒服。

其實，如果人真有12根手指頭，那看到12、144、1728……就會比看10的整數次方更「親切」。注意，為了讓大家更好理解，這裡12、144、1728依然採用了十進位中的寫法。

在十進位中，我們用從0到9十個數字來表達所有的數；如果用十二進位來表達，我們還需要設計2個符號來分別代表10和11，假設它們分別寫作a和b，那麼我們的數數過程就會變成0123456789ab，再往下數，才是十進位中的10，而其中的1就代表著比b多1個，而不是比9多1個了，十二進位中的「10」代表的是十進位中的「12」，因為從左數第一位的涵義已經發生了變化。

二十進位和六十進位的出現

除了十進位，人類歷史上其實出現過很多種進位制，但是因為使用上不方便，它們要嘛消失了，要嘛今天即使存在也很少使用。例如，馬雅文明就使用二十進位，顯然他們是把手指和腳趾一起使用了，馬雅文明實際上又把20分為4組，每組5個數字，正好與手指、腳趾分別對應。

但是二十進位實在不方便，想一想，背九九乘法表要從1×1一直背到19×19（共361個）是多麼痛苦的事情！所以，採用這種進位制，數學是難以發展起來的。二十進位在很多文明中都曾和十進位混用過，但最後都被邊緣化了。 比二十進位更複雜的是六十進位，它源於美索不達米亞。從1到9都是9組相似的楔形的重複，而10則是另一個楔形。因此，美索不達米亞的六十進位實際上是十進位和六十進位的混合物。 既然二十進位已經很複雜了，那為什麼要搞出更複雜的六十進位呢？這有兩個重要的原因。 首先，是為了計算日期和時間。當農業初具雛形後，人類就要找到每年最合適的播種時間和收穫時間。如果今年在春分前後播種，當年稻穀長勢良好，明年大家還會選擇在同樣的時間播種，那麼就需要知道一年有多少天。由於一年是365天多一點，約等於360天，因此把一個圓分為360度是合情合理的事情。而如果在春分和秋分（這兩天全球晝夜平分，太陽軌蹟正好是個半圓）時，從地球上觀測太陽，自日出到日落，太陽劃過天頂的軌蹟長度正好是在地球上看到太陽直徑的180倍，1度正好對應1個太陽直徑。因此，把角度的1度定為這麼大，從天文觀察來講極為方便。 當然，直接用360作為進位制單位太大了，更好的辦法是用一個月的時間30天或者30天的兩倍60天作為進位制的單位。你有沒有想過，為什麼當時的人們選了60而不是30。這就涉及60這個數的特殊性質了——60是100以內約數最多的整數，它可以被1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60整除，因此把60個東西分給大家很好平分。這是使用六十進位的第二個原因。由於美索不達米亞採用了六十進位，後來它又被傳到了古希臘，於是我們今天學幾何時計量角度，或者學習物理時度量時間，都不得不採用它。在幾何學上，1度角等於60分，1分角等於60秒；在時間上，1小時等於60分鐘，1分鐘等於60秒。可見那些我們習以為常的事物背後，往往都有一個令人恍然大悟的原因。

十六進位與半斤八兩

無論是東方還是西方，在衡量重量時都使用過十六進位。例如，中國過去的1斤是16兩，英制1磅是16盎司。這是採用天秤二分秤重的結果，這個習慣甚至影響到了美國紐約證券交易所股票的報價，直到2000年前後，他們依然採用1美元的1/2、1/4、1/8和1/16來報價，這樣非常不方便，因此後來才採用了那斯達克以0.01美元為最小單位的報價方法。所以，當別人用「半斤八兩」形容你的時候，可不要開心自己是八兩，在古代八兩就是半斤。

二進位竟源自《易經》

人們今天使用的進位制，多出於生活需要，自然產生和不斷優化的產物。但是還有一種在今天被廣泛使用的進位制——二進位是人為發明出來的，發明它的就是大名鼎鼎的數學家萊布尼茨。

萊布尼茨是一位東方文化的熱愛者，他透過法國耶穌會西元1685年派往中國的傳教士白晉接觸了中國的《易經》，見到了八卦圖。萊布尼茨看到中國人透過陽爻（—）和陰爻（--）的組合可以表示64種不同符號，從而受到啟發，他將陰爻變成0，陽爻變成1，這樣就用000000-111111表示出了中國八卦盤上的64個卦象。萊布尼茨進一步將十進位數字字透過0和1的組合表示出來，這就是二進位。然後，萊布尼茨給出了使用二進位進行加、減、乘、除的方法。《易經》是最早透過兩種不同的符號表達這種資訊的文獻，萊布尼茨只用0和1來計數，並且提出了基於這兩個數位的完整算術體系。

今天，二進位被用於電腦當中，這是因為它比十進位更容易透過機械或者電路來實現，0和1其實也代表著是和否。在利用二進位實現計算的研究中，英國的一位中學數學老師喬治•布林用一系列邏輯符號表示出了二進位的邏輯演算，而美國著名科學家香農則證明了布林代數可以透過繼電器電路實現。他們對電腦應用有重要貢獻。

開始上課啦！

我們通常把數學知識當作數學，但這其實是一種誤解。

學習數學，不應該以懂得多少數學公式為目標，而是要從鍛鍊解決問題的過程中，學習所用到的思維方法。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，更能多角度開闢思維點，進行逆向思考。這樣的人在學習中很容易做到舉一反三，對所學知識活學活用，成績自然不差。 我在這本書裡精選了20個對人類數學發展史產生重要影響的數學問題，透過故事的形式，讓大家瞭解每個問題解決背後的過程、相關科學家軼事，以及這些問題對應的數學定律在人類生活中的重要影響；讓人們去...

【原來如此！數學是個好工具】
前言

Lesson 01 圓周率是怎麼算出來的？
　　　　 π的發展史

Lesson 02 與建造金字塔息息相關的計算知識
　　　　 畢氏定理

Lesson 03 古代到現代的計數演變　028
　　　　 進位制的發明

Lesson 04 音樂與藝術上的美感比例
　　　　 黃金分割

Lesson 05 古代如何計算並分割土地？
　　　　 長方形的面積問題

Lesson 06 理解金融知識一定要學的小工具
　　　　 二像式展開和巴斯卡三角形

Lesson 07 虛構的「不存在」卻能影響現實
　　　　 虛數的發明

Lesson 08 西洋棋盤能放下多少袋麥粒？
　　　　 指數增加問題

Lesson 09 你以為的數字問題可能都是幾何問題
　　　　 等差數列問題

Lesson 10 黃金分割總是在不經意間出現　
　　　　 斐波那契數列

Lesson 11 微積分發明者之爭
　　　　 瞬間速度問題

Lesson 12 如何用數學阻擋牛郎和織女見面？
　　　　 函數連續性問題和微積分
Lesson 13「點」和「線」就能建構出複雜的問題
　　　　 柯尼斯堡七橋問題和圖論

Lesson 14 用數學能賺錢？
　　　　 賭徒勝率問題

Lesson 15 生活中無處不在的機率問題！
　　　　 機率循環定義問題

Lesson 16 生活經驗對數學學習的影響有多大？
　　　　 平行公設問題

Lesson 17 關於繪製地圖，你必須知道的是……
　　　　 四色地圖問題

Lesson 18 麥哲倫的船隊只能證明地球是圓的嗎？
　　　　 龐加萊猜想與拓撲學

Lesson 19 宇宙大爆炸就是一個熵增的過程
　　　　 熵：度量資訊的公式

Lesson 20 未來數學的突破要靠年輕的你們！
　　　　 千禧年問題

結語　我們必須知道，我們必將知道！

【原來如此！數學是門好學問】
前言
Lesson 01 畢達哥拉斯裝傻不理的數
　　　　 無理數問題

Lesson 02 早期文明裡沒有0這個數字？
　　　　 ０的發明

Lesson 03 嚴謹的邏輯推理V.S.直觀的經驗主義
　　　　 圓的面積問題

Lesson 04 藏在經文之下的數學知識
　　　　 球的體積公式

Lesson 05 數學知識始於各種愛找碴的人們
　　　　 芝諾悖論

Lesson 06 人們會從多樣結果中尋找一個「一般性」答案
　　　　 一元二次方程式

Lesson 07 數學史上意義重大的通解公式
　　　　 一元三次方程式

Lesson 08 韓信會不會點兵？
　　　　 中國的餘數問題

Lesson 09 從「費馬猜想」到「費馬最後定理」的演變
　　　　 費馬最後定理問題

Lesson 10 無窮小到底是不是0？
　　　　 無窮小量問題

Lesson 11 如何在無限多房間的滿房旅館裡「擠出」空房？
　　　　 希爾伯特旅館悖論

Lesson 12 現在解決不了的問題或許並非無解
　　　　 三個古典幾何學難題
Lesson 13「所有電腦的開端都是０和１
　　　　 布林代數

Lesson 14 越平常的東西反而越難以被準確定義
　　　　 羅素悖論問題

Lesson 15 很多結論仍然無法以數學來做判定
　　　　 哥德爾不完全性定理

Lesson 16 先確定能不能做，再決定要不要做！
　　　　 希爾伯特第十個問題

Lesson 17 不完善的理論卻可能改變生活！
　　　　 黎曼猜想問題

Lesson 18 大器晚成的數學怪人
　　　　 孿生素數問題

Lesson 19 「1＋1」是一道簡單的數學題嗎？
　　　　 哥德巴赫猜想問題

Lesson 20 電腦並不能解決所有的運算問題
　　　　 NP難題

結語　我們必須知道，我們必將知道！

【原來如此！數學是個好工具】
前言

Lesson 01 圓周率是怎麼算出來的？
　　　　 π的發展史

Lesson 02 與建造金字塔息息相關的計算知識
　　　　 畢氏定理

Lesson 03 古代到現代的計數演變　028
　　　　 進位制的發明

Lesson 04 音樂與藝術上的美感比例
　　　　 黃金分割

Lesson 05 古代如何計算並分割土地？
　　　　 長方形的面積問題

Lesson 06 理解金融知識一定要學的小工具
　　　　 二像式展開和巴斯卡三角形

Lesson 07 虛構的「不存在」卻能影響現實
　　　　 虛數的發明

Lesson 08 西洋棋盤能...