第4章
芝諾的箭袋（時間之流）
幾乎每個孩子都是天生的哲學家，孩子們會問的問題，是職業哲學家們窮盡一生思考的題目。夏日午後的紐約布朗克斯，我如果不是在玩棒球、手球或紙牌遊戲，就是和我的一群小小朋友們在某人家的前廊上爭辯討論著各種問題，像是如果米奇．曼托（Mickey Mantle）沒出生，洋基隊會變成什麼樣子？或是最大的數字是多少？又或是世界上最小的東西是什麼？我們雖然沒有討論時間，卻時常在前廊討論最小的東西。我們會輪流把物質拆成原子，再把原子拆成電子，然後一定有人會不耐煩地說，「對啦，對啦，是電子，然後再拿電子來拆，你難道不知道一定會有比它還小的東西嗎？我的意思是，它一定是某個東西做的呀！」對十歲的孩子來說，很難想像有什麼東西不能被分割成更小的東西。全世界的孩子都會思考這樣的問題，而那是大人的哲學，討論那些往往已有理所當然答案的問題。我們當然沒有討論空間的量子理論，該理論中普朗克長度（Planck length）被認為是宇宙中具意義的最短長度（小於5.3×10-35英尺），若想測量比這長度更小的物理尺寸，都會遇到完全的不確定性和非量子有效性的問題。
時間幾乎一直都是哲學的中心課題，同為中心課題的還有時間是否獨立存在於我們對時間的思考之外，以及除了現在這一刻，時間是否存在。現在是那一到來便逝去的瞬間，那言語無法表達、在理論上將過去和未來分開的那精準的一點，但這個點只存在於心智之中，於是唯一真正能思考這一點的實際方法，便是放鬆那一點的精準度，也就是想像一個時間段，用概念騙自己，虛構出一個稍長一點的時刻。
前蘇格拉底時期，伊里亞（Elea）的哲學家巴門尼德（Parmenides）在公元前五世紀初對時間提出了質疑，與他同樣來自伊里亞的學生芝諾（Zeno）認為時間是由一連串微小的瞬間組成的，於是推理出一個看似荒謬的結論：運動是不可能的。舉例來說，他的飛矢不動悖論（flying arrow paradox）提到，因為箭不可能在任一不可分割的瞬間移動，因此歸結出任一物體要在一段時間之內移動，其實是不可能的；雖然邏輯法則在當時還未建立起來，但這推論似乎在邏輯上還站得住腳。一支離弓射出的箭在任一選定的瞬間必定是在其飛行軌跡的某位置上，當箭位於該位置與該時間上時，它必定是靜止的，換句話說，無論你什麼時候看到這支箭，在那瞬間它都是靜止的。既然如此，那麼這支箭是怎麼從甲處飛到乙處的呢？既然箭似乎從未移動過，那麼應該也永遠到不了標的。對呀，箭應該根本離不了弓！芝諾的想法是，當我們將時間凍結在任一瞬間，看這支箭時，就像給它照一張相，一張飛矢靜止不動的照片。但我們知道，那張照片（如果這裡的照片指的是現代用語中的攝影）並不是在無限小的瞬間拍攝的，而是沿著一段有開始與結尾，但小到無法察覺的時間段拍攝的。況且如果我們把這張照片放大到微觀尺度，影像其實是模糊的。但是芝諾並不這麼想，他會堅持認為飛矢在特定時間一定是在特定位置上，因此又導向了時間和運動的悖論。這個飛矢悖論以及芝諾的其他悖論引出了一個基本的問題，即時間和空間到底是連續的，還是像一串珠子一樣，是離散單位的集合。
芝諾的論據要我們暫停正在飛的箭、暫停時間，好讓我們一方面不破壞它的飛行軌跡，同時又能檢視這隻靜止的箭。這在數學上很容易做到，數學家可以暫時停住時間，抽象地想像這支箭，並且相信這支凍結的箭確實跟射出的箭是同一支。數學家的做法好似在心中想像一個飛矢不動的影像，就像螢幕暫停那樣，不過這麼做也就只是用一個飛矢不動的心理圖像取代了數學的抽象概念。這並不是那支真正的、正在飛行軌跡上平穩前進到達目標的箭。
我們知道箭從空中飛過，可以看到它在飛，但要解釋我們為什麼或是怎麼知道，卻不太容易。在數學和物理學上，時間是一個變量，只要宣告該變量為某數，時間就可被固定，數學公式可以算出在任一時間點t，飛矢的位置在哪裡，所以如果我們使t等於某確切的時間點，就能知道飛矢在該時間點的確切位置。但是這麼做也意味著：運動、空間和時間的數學模型是心智建構出來的東西，其建構的目的是為了方便簡化我們的計算—同時，我們也有一個更遠大的目的，即希望數學模型能夠代表真實世界的結構。這樣的模型應該假定我們除了知道t是一個數字以外，也知道t真正的涵義是什麼，或者至少知道t與我們所認知的時間之間有什麼樣的關係。
幾乎所有我們對芝諾的了解都是根據臆測，因為依據的大多是他死後約莫一千年才記錄下的零碎片段與歷史資料，我們知道他寫了一本哲學巨作，曾被柏拉圖學院（Plato’s Academy）選為教科書，但是此書甚至連一丁點的斷簡殘篇都未能保存下來。五世紀的哲學家兼數學家普羅克洛（Proclus）是我們研究早期希臘幾何歷史的主要資訊來源，他說芝諾寫了一本涵蓋了四十個悖論的書，但在出版前已被盜去，其中公認的四個悖論是透過亞里斯多德才被後人所知。自柏拉圖至伯特蘭．羅素（Bertrand Russell），在許多著名學者撰寫的重要作品中都能看見芝諾的身影，這些學者都曾在橫跨歷史的曠世巨作當中思索著芝諾的悖論。
我們找不到芝諾本人的作品，難免令人懷疑是否真有其人，還是只是柏拉圖《巴門尼德》當中的一號人物。 儘管他的作品不見了，但現存的大量資料足以闡述他深刻的哲學思想，無論他存在與否，我們都能從這些資料中蒐集到足夠的訊息，得以爬梳出一個關於芝諾的連貫故事。柏拉圖和戴歐吉尼斯．黎歐修斯（Diogenes Laertius）提供了拼湊芝諾人生的數片拼圖，亞里斯多德和普羅克洛則提供了他的哲學精髓，剩下的空白就由我們的猜想來填補吧。
芝諾箭袋中的每個悖論都展現了連續性純粹是意識的虛幻印象，是心智的杜撰將原本的幻相昇華成了實相。讓我們回想一下傳說中飛毛腿阿基里斯（Achilles）和慢速龜的比賽：在阿基里斯讓烏龜先起跑之前，他早該知道每個瞬間他都只是趕上了烏龜曾走過的地方，因此阿基里斯注定要輸掉比賽。如果我們認為賽跑就只是無數個追上的時刻，將這個錯覺信以為真，阿基里斯當然就會輸掉比賽。
雖然數學家會用代數或無窮級數等適用於運動現象的數學邏輯模型來解釋芝諾悖論，但他們其實搞錯了芝諾的重點—─在時間的幻相和連續流動的宇宙之間，無可避免地存在著一個和諧感，我們必須給這和諧感一個現象學的解釋。沒錯，數學家們可以準確地告訴我們飛矢的位置，告訴我們阿基里斯何時會超越烏龜，或者告訴我們何時可以走到房間的另一頭。但是數學家非得先扭曲我們的空間知覺以符合我們對時間連續性的固執直覺，才能告訴我們為什麼。我們可以根據實數 數字線的連續性質，用代數計算出阿基里斯會超越烏龜。縱然如此，我們仍無法對真實物質的任何現象特性做精細的模擬，真實物質由原子組成，而原子中的激發態電子只能以離散跳躍的方式變換軌道，其能量變化的方式是透過不連續的量子包。
芝諾促使我們思考：他的箭是以離散跳躍的方式在移動；阿基里斯只是一直在追趕上烏龜曾走過的地方；我們橫越房間的方式是一次移動欲走距離之一半的無限循環。我們花了好長一段時間才終於意識到，處理運動悖論的另一個方法，是思考時間測量的悖論，因而促使我們開始思考數字的結構框架。
「世界上最有智慧的東西是什麼？」畢達哥拉斯（Pythagoras）刻意誇張地問道。他心中預期的答案是「數字」。這古老的至理名言已歷經數千年的反覆傳誦，我們知道他是對的。或許事事並非皆如此，但幾乎所有的東西都跟數字有關，在這個數位時代，我們發現甚至連智慧型手機裡的照片也全是由數字構成的。那麼晴空萬里的藍天呢？也是數字構成的。
藍天可以被視為藍色的色度，是光的波長落在四百五十至四百九十五奈米範圍內的色度漸變（gradation），該數值會依天空方位角的角度而做函數變化 。一奈米是十億分之一公尺（0.000000001公尺），人眼並無法區別四百五十一奈米波長的藍色跟四百五十奈米波長的藍色有什麼不一樣。藍天是由各種波長的藍組合而成的。我們之所以可以找到「下一個」藍色，是因為波長一直都是離散的整數，但是我們其實辨別不出來這一個藍色和下一個藍色有何不同。雖然人眼無法察覺，但是用儀器測量其波長，就能將每個藍色區分開來。這說明了，儘管方位角是連續的，沒有所謂的「下一個」，但是顏色只按離散的波長不連續地變化，於是能有「下一個」藍色。這就使數學的連續性和現實世界的連續性之間的差異出現了混亂。追根究柢，我們都可以歸因為最小的元素、間隙、瞬時的數學模型與真實世界中原子與次原子粒子的激態行為之間的差異。時鐘能以極為驚人的精準度測量時間；但是由於時間本身的微妙特性使然，時間還是能神不知鬼不覺地躲過時鐘的掌握，即使是世界上最精準的時鐘也無法完全掌握住時間。一秒目前是公訂為銫－133原子的九十一億九千兩百六十三萬一千七百七十個輻射週期。在銫－133原子中，電子從一個能階跳到較高能階時，會穩定且精確地以九十一億九千兩百六十三萬一千七百七十赫茲的頻率輻射出光子。 現代的原子鐘藉由計算銫－133原子輻射的光子數測量時間，測得之數值具有極為驚人的準確度。原子鐘若運轉兩千萬年，可能只有不到一秒的誤差。然而，即便是如此精密的原子鐘，還是永遠無法相當準確地掌握時間，因為原子鐘是靠著數過一連串的正整數來量測時間的，原子鐘一個數字接著下一個數字接續數著。與此同時，時間已快速滑過一大片模糊的實數，這些實數在數列中都不存在「下一個」數字。
一九五六年以前，秒曾出現過，但很短命。當時秒的定義方式倚賴的是地球自轉或繞太陽的公轉再加以切分。而因為月球的引力會拖慢地球自轉，這樣倚賴星體運行的定義方式會使得秒的長度並不恆定。當美國海軍和英國國家物理實驗室（British National Physics Laboratory）的天文學家們開始研究銫－133金屬化學元素的振盪頻率時，他們發現該頻率遠比地球繞太陽公轉的頻率更穩定。我們通常認為速率和時鐘有關，因為時鐘能測量變化，但其實並不一定要用時鐘來測量。我們可以說一部火車正以每小時一百英里的速率移動，但假設是以人類心臟跳動一次作為基準線，我們就可以將火車的速率以我們為準，於是火車的速率應約為四百五十次人類心跳。這個公式裡用的是心跳，而不是兩個不同單位的比例。時間並不在公式當中，不過我們也不要被騙了，時間還是有參與其中，我們只是用心臟取代了時鐘，單位雖然不同，但是心臟和時鐘還是以各自的速率在跳動著。
當時鐘滴滴答答地走過擒縱裝置一連串的擺盪，或甚至是一連串的銫－133原子能階振盪時，其實有相對大一部分的時間有被算入但沒被標出，這些時間被時鐘跳過了。這是真實的世界與非實際的概念世界兩者的交會，精確的標記和測量真實世界遠遠超出了我們的能力，真實世界是由非數學的真實點組成的。就如同「現在」，它也是一個浮動標的，在時間之流的數字列當中是多麼窄小，小到甚至連一支無限小的飛鏢都不可能射中它。「現在」相對而言移動地如此之快，每當你覺察到它時，它已逝於過去。
為了更清楚地解釋數學連續性和現實世界連續性之間的差異，我們必須追溯到公元前五世紀的原子論學者留基伯（Leucippus）和德謨克利特（Democritus）的時代，他們的自然哲學學派認為所有物質都是由ἄτομον組成的，即不可分割的小碎塊和小碎片。根據這個古老的理論，原子是各色各樣物質當中不可摧毀、不可分割的小碎塊，它們可以在虛空中以鍵結與碰撞的方式相互結合，進而形成宏觀世界中更大一點的物質碎片。該理論會出現在形上學的思維當中是很自然的事情，畢竟當一個充滿好奇心的人開始思考事物是如何組成之時，無論該人對此事的了解有多深入，腦中都會快速浮現原子論的想法。我這群布朗克斯的朋友就很肯定自己發現了原子論的概念。
我們得先知道，截至目前為止我們對「無窮小」的性質有哪些了解，才有辦法想像時間的最微小元素是什麼。無窮小的故事要追溯到著名的德爾菲問題（Delphic problem），這是一個跟德爾菲神諭（Oracle of Delphi）有關的故事：當時阿波羅神（Apollo）令瘟疫降臨於狄洛斯島（Delos）上，眾人於是向神諭請示該如何解決這問題。神諭回答道：必須將阿波羅神的黑色大理石祭壇體積增加為原來的兩倍，同時需維持其每邊等長的正立方體形狀。這個預言很特別，其意涵令當時的人們百思不得其解。狄洛斯人為此刻了一座新祭壇，卻誤解了神諭的數學意涵，把所有四個邊長都增為兩倍，當新祭壇完成時，他們才驚訝地發現實心立方體的體積變成了原來的八倍。
柏拉圖也曾被請示過這個問題，他解釋說，神諭的建議其實是阿波羅神發出的警告：希臘人正在忽視幾何學的研究。在當時的希臘，立方體體積增倍牽涉到非常難解的幾何學，是一個相當深奧的比例問題。但阿波羅神可能還懷有更深層的動機，祂或許希望喚起「整個希臘國族放下戰爭與苦痛，與繆斯女神（Muses）培養更深的關係，藉著研究討論數學，平息希臘國族過於強烈的情感。」原始故事最初是經由公元前三世紀柏拉圖哲學家厄拉托西尼（Eratosthenes）的著作《柏拉圖主義者》（The Platonist）傳至古希臘哲學家斯麥那的塞翁（Theon of Smyrna），再自塞翁流傳至今。古人試著解答但可惜徒勞無功，這個問題看似簡單：已知一立方體之邊長，建構第二立方體之邊長，使新立方體之體積為原立方體的兩倍。但我們若想真的證明成功解決了增倍問題，只能使用直尺和羅盤這兩樣工具，因為當時唯一可取得的邏輯工具是源自歐幾里得（Euclid）的第一原理。
在代數上，立方體體積增倍就等於是找出2的立方根。請注意，立方體體積變兩倍的意思，就是使原立方體的邊長變成倍。然而在公元前四世紀，數字必須是有理數（rational），也就是要能寫成兩個整數之比。而由於2的立方根不是有理數，因此用來量立方體邊長的皮尺（畢竟會將一個邊視為一個單位進行測量）也就量不出對角線的長度。在公元前四世紀，人們便已清楚知道2的立方根並非有理數，而且由於當時並不認為無理數是數字，於是以為量尺上一定有空隙、一定是有數字不見了。對當時的人來說，這反過來又暗示著世界上有些東西是無法測量的，這個不確定性在那時一定是個相當令人震驚的啟示，對自然哲學界必定是相當大的打擊。實際上，神諭所關心的，就是這些間隙與不見的數字在數學上的了解。
芝諾的飛矢到底是怎麼沿著軌跡到達下一個點的呢？畢竟飛矢移動所經過的空間中的點，是由實數的數字線所表述的，可是該線上的點根本不存在「下一個」。在實數（甚至是有理數）數線的幾何空間中，「下一點」的概念並沒有任何意義。舉例來說，以有理數1/2為例子，該數若以十進位制表示，則為0.5
。那麼0.5的下一個有理數是多少？不可能是 0.51、0.501或0.5001，也不可能是任何一個以1/2的十進位形式為開頭、後面接著一長串的0、最後再接一個1的數字，因為你只要在最後一個1之前塞進去一個0，就會比剛剛那個數字更接近0.5。如果飛矢的箭頭已經行進了其預期距離的1/2，那麼下一個點會是在哪兒呢？ 這就好像，飛矢是不連續地沿其軌跡飛行，過程中不斷跳進與跳出其自身的存在。
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