序一：廣義相對論一百年
百年前，英國哲學家羅素應梁啟超、張東蓀等人的邀請，首次把當時萌芽不久的愛因斯坦關於牛頓萬有引力的新典範──廣義相對論（簡稱廣相）介紹到中國。經過了數代人的努力與承傳，百年後的今天，我們這一代的廣相研究社群，終於能夠廣泛地在廣相各個相關領域及議題中，諸如彎曲時空的黑洞物理、起始數據問題、數值廣相、時空的哲學分析及重力的量子化……等問題上，做出點以致面的歷史性貢獻。
百年來用英文（及其翻譯）書寫有關廣相的科普書雖不致於汗牛充棟，卻也不勝枚舉；但以原生的中文廣相科普闡述臺灣廣相研究社群創作的結果，卻是科普史上的首次。 本書的結集出版，不單是臺灣廣相研究社群（或更廣義地稱作重力研究社群）在繼往開來的行動中的里程碑，更是一次向世界自信地展現自我觀點的實現。本書除了是介紹廣相的一般科普書藉，我們也自我期許，將本書視為人類文明史上一本重要的歷史文獻。
廣相乃是對關於我們賴以生存的波瀾壯濶的宇宙本身，及其中抽象的時間、空間學問的研究，既真實又基本。書中的文章，除了呈現廣相神祕有趣的各個面向外，更試圖架構一幅超越百年前由愛因斯坦一手建立的宇宙圖象及典範；尤其是在關於能量密度及時間的概念上，更是直指廣相內在的矛盾核心，嘗試一舉解開其內在的邏輯謬誤。
書中每位作者都盡最大可能地運用最簡單有趣的言詞及例子，介紹廣相的各種深奧問題及概念；但我們認為當真理簡單到不能再簡單時，就不應刻意強求簡單，以致扭曲了真理的本貌。同時，本書作為一份歷史文獻，也就無可避免地牽涉到一些超越我們這個時代的概念；讀者如一時無法消化，可以默記心中，時間終將會讓今日難以完全言喻的真理，在日後呈現真相。為了彌補可能的缺失，未來的一年內，只要國內超過三十人的讀書會向中華民國重力學會提出解說申請，我們承諾將派出會員解說書中內容。
感謝大塊文化鼎力相助，出版這可能賠本的集子。當然，這集子說不定會成為讀者們將來的傳家墨寶。
中華民國重力學會理事長
中央研究院物理研究所研究員
余海禮
序二：迎向第二個百年
廣義相對論是20世紀對人類文明影響最大的自然科學理論之一，今年是愛因斯坦創立廣義相對論的一百週年。
在這個非同尋常的一百年內，廣義相對論取得了意想不到的、令人驚喜的長足發展和進步。首先，作為以實驗為基礎的物理學的一個重要分支，廣義相對論從剛剛創建時的三大經典實驗驗證開始，百年來已經非常漂亮地經受住了每一個實驗的檢驗，大獲全勝，當前及不久的將來，精度更高和難度更大的許多實驗還將繼續進行。其次，從上個世紀60年代用黑洞成功地解釋類星體開始，加上愛因斯坦方程在宇宙學中的成功應用，廣義相對論已經愈來愈被天文學家所重視。第三，隨著GPS的推廣應用，狹義和廣義相對論已經進入了人們的日常生活。可以預期，人類高精密測量技術的發展，將很快地實現重力波的直接探測。屆時，重力波測量將和電磁波測量一起為人們帶來宇宙的資訊，特別是早期宇宙和黑暗宇宙部分的資訊。回想這一系列的發展，讓我們聯想到一個個偉大的名字：愛因斯坦、希爾伯特、愛丁頓、史瓦西、克爾、邦迪、弗里德曼、錢卓塞卡、霍金、潘若斯……。
臺灣和中國大陸近年來對廣義相對論與相對論天體物理學的研究，也取得了巨大的進展。中國學者沈志強利用VLBI，精確觀測到了銀河系中心超大質量黑洞的情況；臺灣學者馬中佩發現了當時所知道的最大質量的兩個黑洞，每個質量約為太陽的100億倍；中國學者吳學兵更是在距離地球128億光年處，發現120億個太陽質量的黑洞。這一系列激動人心的發現，既顯示了我們在廣義相對論與相對論天體物理學研究中的長足發展，也預示著廣義相對論與相對論天體物理學，接下來在自然科學發展中的蓬勃勢頭。
為了紀念廣義相對論創建一百週年，中華民國重力學會編寫並出版了這本文集。雖然只包含六篇短文，但都具有很高的閱讀價值：〈廣義相對論百年史〉一文，講述了愛因斯坦與合作者創建廣義相對論的歷程，一個個故事讓我們重溫前輩們發展基礎理論的艱辛。〈宇宙學百年回顧〉除了回顧大霹靂學說的緣起，更前瞻地預測了太初重力波所扮演的重要方向與角色。〈黑洞〉一文介紹了廣義相對論、天文學、量子力學、量子重力、資訊理論、凝態物理等物理學中的基本問題，如何與黑洞關聯到一起。重力波是廣義相對論除黑洞外的另一個重要理論預言，〈重力波與數值相對論〉一文清晰地描述了如何結合數值相對論和重力波探測儀器，以直接測量重力波的原理和方法。什麼是時間，什麼是空間？〈時間、廣義相對論及量子重力〉和〈物理中的時空概念〉兩篇短文，為我們提出了精彩的思辨性討論。
廣義相對論的第一個一百週年即將逝去，我們將迎來廣義相對論的第二個一百週年。崇尚科學、追尋真理的讀者們，定能在本文集的鼓舞和影響下，回顧前輩們發展科學理論的艱辛歷程，循著他們的腳步不斷前進，繼往開來，進一步挖掘時間和空間的深刻含義，揭開黑洞特別是奇異點的奇妙面紗，探索宇宙演化的深層奧祕。我相信，在這個即將到來的新的一百週年裡，海峽兩岸的青年讀者們，定能與世界同行一起為發展廣義相對論與相對論天體物理學辛勤研究，攜手合作，共創佳績。
成功大學物理系副教授
游輝樟
序三：歷史回顧與展望
20世紀影響人類文明最大的自然科學理論之一就是廣義相對論的發現。今年是愛因斯坦創立廣義相對論一百週年。為了紀念這一重大的自然科學進展，臺灣重力研究團體編寫了本文集。
本文集包括對廣義相對論的歷史回顧，對黑洞和現代宇宙學的綜述，對重力波和數值相對論的介紹，以及對物理學中時空概念與量子重力的探討。
中央大學物理系的聶斯特（James Nester）教授和陳江梅教授，對廣義相對論百年歷史做了非常精彩的回顧。該文講述了愛因斯坦同其合作者建立廣義相對論的歷程，介紹了愛因斯坦和希爾伯特獨立發現愛因斯坦方程的故事；他們也曾為爭論誰先發現愛因斯坦方程而不愉快過，最終他們的友誼戰勝了爭執，兩人在愛因斯坦方程建立過程中不可磨滅的貢獻，也獲得人們的公認。本文還講述了觀測重力場彎曲光線的故事，宇宙學常數在廣義相對論理論發展歷程中的戲劇化過程，以及重力波存在性問題的曲折討論歷程。重力能量在廣義相對論中是一個非常微妙的問題，文中描述了愛因斯坦探討這個問題的故事。統一場論是愛因斯坦在建立廣義相對論後投入極大精力研究的課題，作者亦講述了愛因斯坦關於統一場論研究的一系列故事。
黑洞是廣義相對論理論最重要的概念性預言之一。黑洞理論的研究發展到今天，廣義相對論、量子力學、量子重力、資訊理論、凝態物理等物理學中的基本問題，均與黑洞有所關聯。在天文觀測中，超大質量黑洞和恆星級質量黑洞的存在已得到確認。而且黑洞被認為是宇宙中諸如類星體等天體的能量來源，黑洞是高能吸積、噴流等的核心動力。此外，黑洞的成長還被認為與同星系的演化、以及宇宙的大尺度結構形成間有著密切的關係。中研院天文及天文物理研究所的卜宏毅研究員、彰化師範大學物理系的林世昀教授和淡江大學物理系的曹慶堂教授，對黑洞的這一系列問題做了極好的綜述。該文從黑洞概念在廣義相對論中的出現開始講起，一步一步深入到黑洞的事件視界、黑洞的奇異點等艱深的理論問題。接下來並對天文觀測的黑洞做了介紹，描述黑洞同吸積盤和噴流的關係，最後更對黑洞熱力學以及黑洞資訊等問題做了深入介紹。
宇宙論是廣義相對論一個成功應用的典範。廣義相對論在宇宙論中的應用，把一個曾經只能用神學探討的話題，變成一個自然科學的課題。結合人類高新技術的發展，宇宙學發展到今天已變成高精密宇宙學。到目前為止，宇宙學已獲得1978年的宇宙微波背景、2006年的宇宙微波背景各向異性、2011年的宇宙加速膨脹三項諾貝爾物理學獎。臺灣師範大學的李沃龍教授和東吳大學物理系的巫俊賢教授所著的宇宙學短文，從哥白尼原理談起，通過對時空概念的引入，介紹現代宇宙學的發展。文中對宇宙學常數問題、加速膨脹問題、宇宙大尺度結構形成問題等，做了生動的講解；還對宇宙起源的大霹靂問題做了深入介紹，該問題不僅是個宇宙學問題，還把量子理論和重力理論連到了一起。同時，早期宇宙產生的重力波，很可能在不久的將來被觀測到，屆時，這些測量結果將改變當前量子重力理論純理論研究的狀態。我們也可以預期，到時很可能會有很多新的物理展現出來。
重力波是廣義相對論除黑洞外另一重要的理論預言。如聶斯特教授和陳江梅教授所描述，重力波存在性在理論上的探討，於歷史上有過非常曲折的經歷。最終邦迪等人的論述確定了其原則上的存在性。後來泰勒等人通過雙脈衝星觀測，提出重力波存在的間接證據；泰勒等也因此而獲得諾貝爾物理學獎。可惜的是，至今還沒有重力波信號的直接觀測結果。在這廣義相對論建立一百週年之際，世界上重力波探測最靈敏的探測器Advanced LIGO已基本建立完畢。其測量精度可達到10的負23次方，逼近量子力學的標準極限，實現了人類空前的高精度長度測量。預期在接下來的幾年時間內，重力波信號將被直接觀測到。國家實驗研究院高速網路與計算中心的林俊鈺研究員和成功大學物理系的游輝樟教授，對重力波做了極好的、饒有趣味的通俗性介紹。為了提高重力波探測的能力，增強硬體的測量靈敏度是一個方面；在既定硬體的基礎上，建立好的重力波波源模型，是提高重力波探測能力的另一方面。現實的重力波源涉及超強重力場、強動態時空區域，而且幾乎無對稱性存在。這些特點使得數值計算的方式，成為重力波波源建模的幾乎唯一可行辦法。但即使是數值計算，愛因斯坦方程依然是極難處理的問題。數值相對論這個研究方向也應運而生。如何讓數值計算穩定、讓計算具有高精度、讓計算具有高效率以滿足實際波源建模的需要，是數值相對論研究的核心問題。林俊鈺研究員和游輝樟教授對這些問題做了深入淺出的描述。
狹義相對論是協調電動力學方程與伽利略變換的矛盾而產生的理論；廣義相對論是協調牛頓萬有引力理論和狹義相對論勞侖茲變換間的矛盾而產生的理論。但廣義相對論特有的時空觀同量子力學之間的矛盾，至今仍是一個謎。中研院物理所的余海禮研究員和成功大學物理系的許祖斌教授，為我們講述了時間、廣義相對論及量子重力的故事，帶著我們回顧了愛因斯坦建立廣義相對論過程中，關於時間的思辨。該文也為我們描述了鮮為人知的、愛因斯坦的諾貝爾獎同中國上海的不解之緣。廣義相對論的時空觀同量子力學的矛盾是突出的，該文為我們介紹了一種新的思考方式，也許量子重力比時間的概念更基本，時間只是量子重力自然而然的結果？！余海禮研究員和許祖斌教授在該問題上提出了非常精彩的思辨性討論。
廣義相對論的時空概念優美而引人入勝。但同時，像余海禮研究員和許祖斌教授講述的那樣，這個時空概念的玄妙又讓人捉摸不透。什麼是時間，什麼是空間？中央大學物理系的江袓永教授為我們探討了物理學中的時空概念，對牛頓的時空觀做了深入介紹，並探討了質點動力學描述同牛頓時空觀的關係。江教授接下來描述了廣義相對論的時空觀，並探討了該時空觀同場論動力學的內稟關係。通過對比場論動力學與質點動力學，他比較了牛頓時空觀和廣義相對論時空觀的直觀性。兩者的直觀性有所不同，但作為確定性的存在，兩者的直觀性是人們容易理解和接受的。相反地，量子物理世界的不確定性，把問題完全推向了不可理解。量子重力理論的時空觀，勢必同量子物理的不確定性相關聯。江袓永教授為我們講述了這種不確定性時空觀的理論思辨。
本文集正好趕在愛因斯坦創立廣義相對論一百週年之際。崇尚科學、追尋真理的讀者們，定能在本文集的帶領下，回顧前輩們發展科學理論的艱辛歷程，循著他們的腳步繼續往前，追尋時間、空間的奧祕，探索黑洞神奇的時空結構；循著重力波攜帶的資訊，探索宇宙演化的奧祕。
中華民國重力學會
轉載
1廣義相對論百年史
聶斯特、陳江梅
愛因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）是少數具有極高公眾知名度的偉大物理學家，美國的《時代雜誌》（Times）在1999年推選他為「世紀偉人」（person of the century）。愛因斯坦在物理學上做出了許多劃時代的貢獻，例如1905年，年輕的他就獨立完成了許多開創性的成果，其中有關光電效應（photoelectric effect）的論文，則是開啟量子物理（quantum physics）大門的關鍵性成果，也使他獲得了1921年諾貝爾物理獎的桂冠；他是在前往日本訪問途中，於開往中途停靠點上海的旅行船上獲知此消息。
然而，對一般大眾來說，愛因斯坦最著名的研究成果就是相對論。他在1905年完成了「狹義相對論」（special relativity），討論等速運動系統的物理特性，其中由光速不變性的假設所推論出來的「時間膨脹」（time dilation）、「長度縮收」（length contraction）等等奇特效應，可以說是理論物理中十分令人著迷的現象。不過，綜觀愛因斯坦的科學成就中，描述重力作用的「廣義相對論」（general relativity），毫無疑問的是物理學中最激動人心的智慧結晶，讓我們聽聽來自三位諾貝爾獎得主物理學家對廣義相對論的讚譽：
狄拉克（Paul Dirac, 1902-1984）說：「這可能是有史以來最偉大的科學發現。」玻恩（Max Born, 1882-1970）說：「廣義相對論的基礎對我而言，直到現在仍然是人類思維上有關自然的最偉大壯舉，是哲學洞察力、物理直覺和數學技巧最驚人的組合。」朗道（Lev Landau, 1908-1968）則說：「它應該代表全部現有的物理理論中最美麗的部分。」
2015年是廣義相對論的100週年誕辰，在這個值得紀念的時間點，我們將藉由這篇文章，介紹一些關於廣義相對論的發展歷史。對於愛因斯坦的生平事蹟，坊間已出版了許多非常好的傳記書籍，我們將不再多所著墨。此外，愛因斯坦的研究課題所包含的領域很廣泛，本文將只著重於愛因斯坦在廣義相對論及其相關領域研究的思路歷程，至於他在其他領域的重要工作，則不在本文的討論範圍。
探索新視界：廣義相對論的發展
愛因斯坦在大學時期是一個相當古怪的學生，常常翹課、成績並不突出，最後勉強達到畢業門檻；他大部分的時間和精力，均致力於獨立研究物理學中最前沿的問題。愛因斯坦自己說過，他曠課的時間絕大部分待在家裡，以宗教狂熱的熱誠學習理論物理。至於考試，愛因斯坦則依賴他的同學格羅斯曼（Marcel Grossmann, 1878-1936）在上課時所作的筆記。
因為愛因斯坦的經常缺課，再加上時常不夠尊重師長的態度，使得他在授課老師心中留下不良的印象。他的物理學教授韋伯（Heinrich Friedrich Weber, 1843-1912）曾經責備他說：「你是一個很聰明的孩子，愛因斯坦，非常聰明的孩子，但是你有一個很大的缺點，就是永遠聽不進去別人對你說的任何事情。」
事實上，在小學至高中時期，愛因斯坦是個好學生，特別是他在數學上的表現曾受到高度的關注。但是，當他考上了蘇黎世理工學院（Federal Polytechnic Institute in Zurich）後，愛因斯坦對課業方面則採取知道就好的態度。例如，他很少專注於閔可夫斯基（Hermann Minkowski, 1864-1909）教授的課程，甚至翹掉很多他的課。閔可夫斯基曾經稱愛因斯坦為「懶狗」。許多年後，關於狹義相對論的發表，閔可夫斯基的評論是「我真的不敢相信他能夠做到。」
廣義相對論所討論的，是自然界中的重力作用。重力，也就是萬有引力，是最為人類所熟知的作用力，我們很容易地就能觀察到周遭物體總是向下掉落的現象，這就是地球所產生的重力作用結果。牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）首先理解到，萬有引力不單單只是造成地球上萬物會向下掉落的原因，也是天體中星球運行的作用力來源。他寫下了質量如何產生重力的萬有引力公式，再加上他所提出的物體運動必須服從的三大運動定律，構成了牛頓力學的體系，主導我們對物理的認知達數百年；直到愛因斯坦相對論的奠定，我們對這個物理領域的理解，才又往前跨出了重要的一步。而廣義相對論就是牛頓萬有引力理論的推廣。
愛因斯坦廣義相對論的理論基礎，起源於一個稱為「等效原理」（equivalent principle）的基本概念。這個想法出現在1907年，根據愛因斯坦的說法，他是某天坐在伯恩專利局辦公室裡得到了這個靈感。等效原理的基本概念很簡單，就是當一個人在自由墜落（free falling）的時候，他是感受不到自己的重量的。自由墜落是一個加速的運動狀態，而物體的重量則是重力作用的結果；因此，等效原理表明了這兩個物理現象間有一定的關聯性，也就是重力作用原則上是等價於加速度。這個想法給了愛因斯坦很深的啟發，引導他建立一個革命性重力理論的方向。愛因斯坦甚至曾經說過，等效原理是一輩子中令他感到最快樂的想法。
以等效原理為基礎出發，愛因斯坦開始逐步地建構廣義相對論的殿堂；當然，這個過程不可能一蹴可及，途中遭遇了重重的困難。從1907年等效原理的想法出現開始算起，直到1915年底廣義相對論的誕生，在這八年的光陰中，愛因斯坦做過了許多不同的嘗試，在錯誤中修正自己的方法，有時答案幾乎已在眼前，可惜卻因為某個錯誤的理解而失之交臂。在廣義相對論發展的時期，愛因斯坦的職業，也從伯恩的專利局職員，轉變成蘇黎世大學的理論物理副教授、布拉格大學教授，最後又回到了蘇黎世理工大學。
等效原理指出，重力可以被看成是加速度，因為重力在空間中無所不在，所以必須引進適當的物理量來表示「加速度場」。此外，狹義相對論提出了一個重要的新概念，在牛頓力學體系中的一維時間和三維空間不再是各自獨立的。勞侖茲（Hendrik Lorentz, 1853-1928）已經提出了兩個相對等速運動的觀測者間，所測量到的時間和長度的轉換關係，也就是說，時間和空間必須被看成一體，形成一個稱為「時空」（spacetime）的概念；閔可夫斯基提出適用於狹義相對論的四維時空數學架構；而愛因斯坦則首先在四維平直時空上思考新的重力理論。在布拉格時期，他嘗試相對簡單的純量（scalar）理論，他將光速視為一個空間的函數，並預期這個純量函數會如同牛頓萬有引力理論中的重力勢一樣，可以表示重力場的大小。
不過，這個嘗試最後並沒有成功，而且愛因斯坦也開始理解到，單單只用一個純量不足以表示重力作用。在從布拉格回蘇黎世的前後，他已經開始考慮重力的張量（tensor）理論，思考使用時空的度規（metric）來描述重力場。在四維的時空，度規是一個四乘四的對稱矩陣，所以有十個分量，決定時空中長度和角度的大小。以直覺的圖像來說明愛因斯坦的新方案，就是用時空的彎曲程度，來表示重力場的大小。時空彎曲愈大的地方，加速度愈大，也代表重力愈強。
一個完整的重力理論包含兩個部分：第一部分需要知道物質如何產生重力場，在牛頓的理論中亦即萬有引力方程。第二部分是重力場如何作用在物體上，因而改變物體的運動狀態，在牛頓的理論中就是第二運動定律。在廣義相對論彎曲時空的架構下，重力如何作用在物體的部分是相對容易解決，物體在彎曲時空中運動所走的是最短路徑，而最短路徑在數學上可由測地線方程（geodesic equation）算出。因此，廣義相對論的建構中最核心的問題，就是必須推導出物質如何彎曲時空的重力場方程。
儘管愛因斯坦對於建立新的重力理論的物理直覺是清晰而深刻，但是要將他的想法具體地實踐出來，需要一個全新的數學架構。討論彎曲時空結構現在稱為「微分幾何」（differential geometry） 的數學工具，便成了廣義相對論所需要的數學平臺。但不幸地，愛因斯坦一開始並不十分熟悉微分幾何，以致於遲遲無法構建出一個具有一致性的理論。回到蘇黎世後，他向同學格羅斯曼再次尋求幫助，他向老同學拜託：「格羅斯曼，你一定要幫幫我，否則我會瘋了。」
愛因斯坦開始和格羅斯曼合作，埋首於廣義相對論的建構，這段期間有關愛因斯坦的思想脈絡和工作內容，均詳細地記載於被稱為「蘇黎世筆記」（Zurich notebook）的檔案中。經過了一段時間的努力，愛因斯坦和格羅斯曼終於在1913年發表了著名的「綱要」（Entwurf） 論文（完整論文題目為Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation），這篇論文分為物理與數學兩部分，分別由愛因斯坦和格羅斯曼撰寫。
物理與數學的火花：廣義相對論誕生
廣義相對論的誕生，也就是推導出正確的重力場方程式，發生在1915年的11月，那一個月份，愛因斯坦分別在4日、11日、18日和25日發表了有關廣義相對論的論文，從考慮比較簡單的特殊系統再推廣到一般情形，逐步改進結果，而正確的重力場方程式則出現在25日的論文中。
愛因斯坦意識到1913年與格羅斯曼「綱要」論文中的那次嘗試幾乎是正確的，其中所缺乏的是如何正確地將公式中的時空曲率和質量分布關聯起來。起初，他也重蹈了格羅斯曼的錯誤，只專注於將不同形式的里奇張量組合對應到物質的能動張量，當然，所得到的理論依然是不自洽的。愛因斯坦後來發現到了這個矛盾，並試圖修正。在1915年11月的論文中，從比較特殊簡單的能動張量形式開始，一步步地修正他的理論，並在25日的論文中提出了正確的重力場方程式。
重力場方程式中的幾何部分，除了里奇張量外，還需要加上一項包含曲率純量的貢獻，將曲率純量乘上同是二階張量的度規，正是在「綱要」論文中所欠缺的部分。最後，將里奇張量、曲率純量和度規張量做一個特定的組合，定義了現在稱為愛因斯坦張量（Einstein tensor）的二階張量，而重力場方程，被稱為愛因斯坦方程，便是時空幾何的愛因斯坦張量等於物質的動張量（忽略了比例常數）。這組方程告訴我們物質的分布如何造成時空的彎曲，時空彎曲的程度經由測地線方程給出加速度，而根據等效原理，我們就知道重力作用大小。
愛因斯坦很快地重新考慮了太陽周邊時空的彎曲，如何影響行星運動和光線的傳播。他重複了三年前和貝索關於水星軌道近日點進動的計算，很高興地發現，得到的結果和天文上已知的觀測數據是相符的。他也重新計算了光線通過太陽附近，因重力場的影響所造成的路徑彎曲，修正了他在1911年的預測結果，新的計算數值是先前結果的兩倍大。
希爾伯特有關重力場方程式的論文，也是在完成在這個時間點，所以一直都有到底是誰先得到重力場方程式的爭論。愛因斯坦首次提出正確的重力場方程是在1915年11月25日，但就在五天之前，也就是11月20日，著名的數學家希爾伯特在哥廷根（Gottingen）的報告中，介紹了他對廣義相對論的研究成果。希爾伯特的研究主要目的是考慮重力與電磁力的整合模型，他從作用量（action）出發，利用變分原理（variation principle），進而分析理論的數學性質。
變分方法是在牛頓力學系統中被建構出來的，希爾伯特將它用到重力與電磁的整合理論上。作用量是個純量，而且當時已經知道電磁場的作用量形式。對於幾何所代表的重力部分，希爾伯特很自然地猜測它的形式是曲率純量對時空的積分，將此作用量對度規做變分，就可得到電磁場產生重力場的愛因斯坦方程式。這是一個非常簡潔、漂亮的方法。關於希爾伯特報告內容的論文，則正式發表於隔年3月，在論文的印刷版本中，希爾伯特也推崇了愛因斯坦：「重力微分方程，在我看來，符合愛因斯坦在他的論文中所建立的廣義相對論大綱。」
愛因斯坦和希爾伯特論文發表的時間十分接近，導致了誰先孰後的爭議：發現重力場方程式應歸功於愛因斯坦還是希爾伯特？有些物理學家和科學史家認為希爾伯特首先發現重力場方程式，而愛因斯坦則是在幾天之後獨立地發現了它。
希爾伯特參與廣義相對論的研究是始於1915年6月，那年夏天，愛因斯坦訪問了哥廷根，並發表了一系列演講介紹他的重力理論。他和希爾伯特對理論中的問題進行深入地討論。這是他們首次碰面，愛因斯坦對希爾伯特有高度的好感，他曾說過：「我在哥廷根的一個星期，認識了並且喜愛他。我舉行了六次兩小時長的演講介紹新的重力理論，最讓我高興的是我完全說服了那裡的數學家。」
在接下來的幾個月，希爾伯特深入研究關於愛因斯坦的理論，他很快就找到了一個優雅的數學處理方法。他寫信告訴愛因斯坦他的研究成果，而愛因斯坦則要了希爾伯特的筆記與計算的副本。愛因斯坦在11月18日前顯然收到了這些筆記副本，因為就在這一天，他回覆希爾伯特說：「你所建立的系統，據我觀察，與我在最近幾個星期發現、並且在學院報告的結果是完全一致的。」沒有證據可以判斷希爾伯特給愛因斯坦的筆記中，是否已有愛因斯坦方程，如果有，那麼愛因斯坦就是在自己提出這個方程（11月25日）前就已經知道結果。
另一方面的說法是，明確的重力場方程式事實上並沒有出現在希爾伯特給愛因斯坦的筆記副本裡，甚至也沒有在他11月20日的報告中，希爾伯特是在稍後的論文校對過程中、且是在看了愛因斯坦的論文後，才將愛因斯坦方程式加入他的論文當中。這個兩種看法，在1997年哥廷根大學圖書館公布有關希爾伯特在12月6日所做的論文校對相關文件後，更添加神祕色彩。
希爾伯特的校對版論文內容和最後正式發表的版本有些不同，最特別的是，在校對版文件中，可能包含愛因斯坦方程式的半頁手稿被人撕走了。這種狀況使得真相更加撲朔迷離，陰謀論的說法層出不窮：難道是愛因斯坦的支持者摧毀證明方程存在的證據？抑或希爾伯特的支持者想要掩蓋方程式不存在的事實？希爾伯特的變分方法，原則上可以得到愛因斯坦方程式，但是，這個變分推導是很複雜的，希爾伯特當然有能力完成計算，問題是他是否在11月20日的報告前就明確地推導出愛因斯坦方程式，還是他在後來才加到正式發表的論文裡。
無論真相為何，愛因斯坦和希爾伯特對廣義相對論的建立，都扮演者極其關鍵的角色。愛因斯坦的物理圖像清晰，動機明確，雖然所需的數學基礎和一些疑惑困擾了他許多年，但終究達到目的；希爾伯特經由愛因斯坦的介紹開始重力的研究，他的數學知識雄厚，利用作用量和變分的方法，給重力場方程式的推導開闢出一個在數學上非常簡潔的方法，精確地說，愛因斯坦方程對應於時空曲率的極值，也就是最大或最小值。這個方法是現代物理學家建構理論的基本手段，影響甚遠。他們兩人之間在1915年的相互交流與討論，肯定對彼此的研究產生正面的影響。誰先推導出重力場方程的爭議，一開始在兩人的內心，也確實曾經激起短暫的不愉快情緒。然而，在他們往後的頻繁交流過程中，幾乎看不出這爭議對他們的友好關係造成任何嫌隙，或許他們終究認為，這件事並不是個值得浪費時間和友誼的議題。
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