名人導讀
走出資優競賽的迷思
曾志朗
台灣的教育對知識的表現是特別敏感的，因此，「如何評量出知識的高低」這件事就成為學校教學的重點，在大考頻繁、段考不斷的教育環境下，學生們若不能在身經百戰的體驗中變成考試能手，就會被錯誤的認定在往後發展的道路上，前途無「亮」！
是的，我在上一個句子中特別強調「錯誤的認定」，是有意發洩我對這整個社會把「績優」當做「資優」的唯一標準的不滿。因為教育界的研究者以及科學界的大老們，一方面口中討伐「唯智主義」的科學考試遺毒，一方面卻總是樂於擔任各種「資優」競賽的代言人，他們心中想的不外乎「發掘天才」越早越好，且「天才救國」論在經過知識經濟的迷人外衣包裝後，更添加了珠光寶氣的風光。
問題是，無論教育界或科學界，對「天才」的界定永遠是模糊不清的，也從來沒人好好檢討，到底這幾十年來各類奧林匹亞競賽金銀牌得主中，有多少人是成就非凡的？還是只有比一般「稍好」一點的成就而已？根據美國的統計數據，這些小時了了的「天才」雖不至於大未必佳，但充其量也不過是「so so」而已！
倒是有一項數據更值得我們關心。如果我們不要由「小時了了」去預測「大注定佳」，而反過來由後來的大成就去尋找他們小時候的人格特質，則我們看到的是，有太多的例子呈現小時「不」了了、大反而佳的型態。愛因斯坦當然是最明顯的例子，邱吉爾、畢卡索也是一樣，歷史上更充斥了像這樣的例子，哥白尼、林布蘭、巴哈、牛頓、貝多芬、康德，甚至達文西，以他們小時候的成績表現，是絕對進不了資優班的。
也許，有人馬上指出來，莫札特四歲就會作曲了，不是天才是什麼？但沒有人仔細去思索，他四歲時所做的曲子，有哪一首是流傳至今的？他後來的大成就，其實是建立在他六歲以後每年超過3500個小時的艱苦鍛鍊上。還有，莫札特爸爸培養兒子的苦心與不停的敦促，才是莫札特小時候有那樣顯著成就的緣由。當然，沒有人能否定莫札特一生的偉大成就，但那跟他小時候是否是天才絕對是兩回事，後天的訓練是不可以被忽視的。
另外，一個令人擔心的現象是，某一類能力資優班的設置，會造成某些具有潛力但尚未發揮、因之被屏除在班外的學生，從此不再從事該項可能有相當潛力的工作了。這種「標記」的反效用其實是滿傷人的，尤其心理測量有太多的不穩定性，更是「績優」取代「資優」的禍首，這樣的錯誤所造成的「機會」落差，才是社會不公平的緣由。因為太強調競爭，太早把學生分類，又無好的分類準則，使原本應該開放的教育平台，變成大多數學生望「台」興嘆的結果，這樣的反淘汰就讓教育失去公正性的真義了。
當然，績優生中一定有不少真正的資優生，及早找出他們給予更豐富的訓練，一定可以提升能力的品質，帶給這個社會更多的創意。但這樣的期待並沒有那麼如人所願。1980年代中期，美國有一個大型研究，定名為「重訪天才」（Genius Revisited），針對紐約市最有名的亨特學院之附屬小學（Hunter College Elementary School）追蹤其三十多年來畢業校友的事業成就。亨特學院附小創立於1920年，設立宗旨是要為美國培養未來的學術精英，因此，只收IQ在155以上的學生，它也擁有紐約市薪資最高的師資，學校的設備更是一流。但這高級訓練營的成效如何？竟然沒有一位諾貝爾獎得主，也無普立茲獎的超級明星，而且在各個學術領域中，更無「家喻戶曉」的人物。整篇報告以「這眾多校友的成就還可以啦（simply okay）」，而且筆觸充滿了失望的音調。所以，「天才兒童」不一定是「天才成人」，也不一定有「天才的創意」！
類似結果的報告也出現在其他領域的才能班中，加拿大安大略（Ontario）的報告是針對運動員特別訓練營，結論是：「有些開始很好，但最後並不好，但也有開始很糟，最後卻很好的。」（Start good and go bad or start bad and end up good.）這樣的結論雖然令人失望，但卻一針見血戳破我們對資優班訓練營的期待。
當這本書的主編把譯稿交到我手上時，我花了兩、三天仔細研讀作者對數學奧林匹亞美國隊的成員所做的介紹，也對其反省數學奧林匹亞競賽的迷思留下很深刻的印象，但我最欽佩的是他能從觀察競賽的多年經驗中，去思考數學解題歷程中各項認知與心理的因素。何謂洞察力？何謂創意？有個別差異嗎？男生的數學能力真的優於女生嗎？什麼是先天的賦予？什麼是後天的養成？這些都是值得教師、家長、校長、教育行政主管以及高舉教育改革大旗的人士謹慎思考的問題。
我讀到好書就會反覆思索好幾天，這本書確實是讓我想了好幾天，才決定為它寫了這篇帶有很多個人意見的導讀，希望引起更多人對「過度強調競爭之負效應」有更多的討論。
（本文作者為中央研究院院士）
從奧林匹亞看資優生
陳昭地教授
不得不說，《數學高手特訓班》一書的出現，讓人重新思考教育見地、檢視教學手段。
國際數學奧林匹亞競賽（IMO）是全球數學優異學生較勁、切磋的舞台，本書場景鎖定在2001年由美國主辦的第四十二屆IMO。作者史帝夫‧奧森一路跟著該年參加IMO的美國代表隊，以其細膩的文筆記錄了整個活動，並訪談許多專業學者，描述書中七位主角（六位美國國手及一位前屆選手兼輔導員）的成長歷程以及參與數學大賽的經驗，特別是家裡及學校教育環境對他們的影響。
我是台灣參加2001年IMO的團長，閱讀本書時，感受格外深刻。當年IMO的最後成績揭曉，美國隊摘下四金二銀，與俄羅斯隊並列第二名，其中兩面金牌由瑞德和蓋布瑞這兩名學生獲得，他們雙雙拿到滿分的成績。這兩名學生亦曾參加1998年由台灣主辦的第三十九屆國際數學奧林匹亞，也都拿到了金牌，瑞德甚至締造了連續四屆摘金的紀錄，至今無人能打破。
相較於美國在1974年第一次參加IMO，台灣第一次參加則是在1992年（第三十三屆），那一年由俄羅斯主辦。翌年，台灣在土耳其舉辦的IMO以總分排名世界第五，比美國當年成績還好，擠進了世界IMO強隊之列，也因為成績優異，遂爭取到1998年主辦第三十九屆IMO的資格。綜觀台灣歷屆成績，最好的排名是第五名，最好獎牌數為三金三銀；而在2001年美國主辦的第四十二屆IMO中，台灣隊獲得一金五銀，排名世界第九名。
根據我的觀察，參加第四十二屆IMO的美國隊國手在書寫數學解題方面的能力頗佳，其中有一半是外國移民子弟，尤其是來自亞洲（中國、韓國、越南）。而這幾位國手除了數學方面的才華，他們幾乎另有一項專長，那就是音樂，每個人幾乎都有擅長的樂器。至於台灣，參加IMO的學生一般來說都相當傑出，唯在書寫數學解答方面的能力，還有待提升訓練水準。
本書另外還有個重點，就是對於資優生與資優教育的探討。我參與IMO選評有好多年了，也持續追蹤我國參加奧林匹亞競賽學生的後續發展，發現數學資優生在學習上異於一般學生的某些特性。我發現他們對數學的興趣早在小學高年級時就展現出來，到了國中階段則已經確定。他們對於研究解答問題的態度主動、積極，比一般學生更肯花時間接受數學知識及相關理論與概念，無論是思考能力、直覺能力、綜合能力、抽象化能力、數學解題能力及推廣能力都高人一等，而且習慣長時間獨自思考解決問題，非不得已不輕易請教師長。此外，他們的創造力也異於常人，從經常有創新性特殊解題方式的國際數學競賽中更可見一斑。
就我對這些參加數學競賽的資優生之觀察，不難發現他們的家庭管教方式都相當民主化。同時體認到在看待資優教育時，創造良好的數學教學環境、提升加速數學學習能力、並引導他們做獨立研究及正確的數學方式是很重要的。
本書引經據典，提出許多資優教育學者和心理專家的論著見解，深入探究創造力的問題。此外，針對六位美國選手在四十二屆IMO的表現過程，尤其是他們做最佳解題時的心境與原創力的方法都有詳細的描述，而對於歷屆選手的成就，作者也有部分著墨。而譯者齊若蘭女士忠於原著，她的辭藻豐富、文筆流暢，使本書更具可讀性。特別推薦給所有關心數理資優教育的老師、家庭及學生閱讀！（陳懿文整理）
（本文作者為師大數學系教授）
數學腦力激盪的美好經驗
游森棚
什麼是數學競賽？如果讀者完全沒有概念，底下是一個典型的問題。
班上有25個人，坐在教室裡5×5的座位上。現在新學期到了，要換座位。能不能使得每個人換完座位後都坐在原來位置的旁邊（前、後、左、右皆可）？
我誠摯希望讀者可以停下來試一試這個問題。然後你就會知道為什麼這麼多聰明的小孩對數學如此著迷，數學競賽又是多麼有趣以及不容易。
國際數學奧林匹亞競賽讀者手上的《數學高手特訓班》是一本談論數學和數學教育的書。這本書以2001年國際數學奧林匹亞競賽（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的過程串起整本書。為了使讀者很快進入情境，先簡單介紹一下 IMO。
IMO始於西元1959年，第一屆於羅馬尼亞舉行，只有九個國家參加。之後除了1980年之外，每年皆舉辦（台灣為1998年主辦國）。第四十七屆甫於2006年7月在斯洛維尼亞的首都利比安那舉行，未來2007、2008、2009年的東道主分別是越南、西班牙、德國。
近年來參加的國家已經穩定在九十個左右，每個國家至多派六名選手。絕大多數的國家都派滿六位選手。選手必須是不超過二十歲的高中以下學生。考試分成兩天，每天四個半小時，一共只考六題，每天三題，難度遞增。每題7分，滿分是42分。
分數居於所有選手中的前二分之一可以獲得獎牌。獲得獎牌者按照1：2：3的比例分別得到金牌、銀牌、銅牌，因此約40人可獲金牌，80人可獲銀牌，120人可獲銅牌。若沒有得牌但是有完整答對一題的選手獲得榮譽獎。
關於這本書數學牽涉到許多符號，這些符號其實是一種語言，在精熟語言之前很難欣賞語言的美。也因此，數學的科普書籍最難寫。讀者手上的是一本相當有企圖心的數學科普書，不止完整呈現了2001年IMO，更主要的是順藤摸瓜討論許多嚴肅的議題。
實際上這本書對於競賽本身著墨不多，反而對於數學、數學家傳記、數學教育、資優教育、心理學、社會學等議題花了極大的篇幅。因此與其說這是一本談數學競賽的書，不如說這是一本藉由數學競賽這個事件，全面綜覽介紹相關理論的書。對於爭議性的議題（男生是否比女生有數學天分、數學家是否都很早慧、先天和後天的爭議等）本書都兩面俱呈，咸信讀者在閱讀完全書後將有許多收穫。各章的主線大概是這樣的。
第一章的情景為IMO開幕前。接著提及美國的幾個資優教育計畫，討論了「男生比較有數學天分」這個迷思。第二章，比賽開始。隨即介紹了數學解題競賽在數學發展上長久以來的傳統，接著討論了數學課堂上如何教數學的論戰。第三、四、五、七、八、九章的情景分別是第1、2、3、4、5、6題，隨著每一題題目的介紹，同時介紹一個選手的求學經驗和個人背景，每一章也各自有探討的議題。第三章談數學家的早熟，以及文字／圖像思考的理論。第四章談「競爭」在推動創造與進步過程中扮演的角色。第五章討論「天才」和「天分」這兩個模糊的概念，亦提及優秀的表現到底是先天天分或是後天努力的論戰。第七章談到「創造力」的來源和理論。第八章提及對資優生的追蹤--是否在成人之後仍然有傲人的成就，或是淪入「小時了了大未必佳」的批評中。第九章稍嫌離題，花了許多篇幅介紹費馬大定理的背景及解決過程，雖然威爾斯（Andrew Wiles）是書中2001年IMO的頒獎特別來賓，他的成就也的確是人類心智的驕傲。第十章的場景是比賽的評分協調、成績公布與頒獎。此章順道提及了科學研究與數學競賽的差異，威爾斯對數學研究精闢的言論也非常值得回味。最後一章追蹤了書中各主角的現況，附錄是各個問題的解答，以及許多值得研讀的研究文獻。
盡顯數學迷人之處書中真正對IMO著墨並不多。IMO只考六題，看起來似乎簡單，但是實際上非常困難。IMO 每年題目難度不一，但通常只要在六題中答對二題半至三題就可以拿到銅牌，金牌要答對四題半至五題以上。
這些題目有多不容易？跟讀者分享一個故事。2006年IMO我個人擔任國家代表隊的領隊，這一年題目是近十年來題目最難的一屆，只要28分就可以拿到金牌（2005年IMO要35分才有金牌）。壓軸的第六題是這樣的:
對於凸多邊形P的每一邊b，固定b為一邊，在P內部做一個面積最大的三角形。試證: 對P的每一邊，按上述方法所得的三角形面積總和至少是P的面積的兩倍。
這個問題和前述換位子問題的難度相差簡直不能以道里計。記得批改第六題時，我看著考卷搖頭嘆氣，這一題我們六位選手全部零分。選手們真的很努力，但就是攻不破這個難題。這成績很糟嗎？不。這一題的困難度寫下IMO的歷史新紀錄--498個各國身經百戰、精挑細選出來的選手中，此題得到七分的只有8位，然後掛蛋零分的有471位。
因此這些選手之中隱藏著非常特殊的，未來有機會大放光芒的數學人才。這絕對不是巧合--從1990年開始，四年一頒的數學界最高大獎費爾茲獎得主，每一屆的得獎人中都有往年的IMO得牌者。1990年德林斐特（Vladimir Drinfeld），1994年的約科（Jean-Christophe Yoccoz），1998年的博切茲（Richard Borcherds）與高爾斯（Timothy Gowers），2002年的拉佛格（Laurent Lafforgue），以及今年（2006 ）的陶哲軒（Terence Tao）和裴瑞爾曼（Grigori Perelman），在中學時代都在IMO拿過獎牌。
讓我們回到一開頭的換位子問題。也許讀者已經花了一些時間嘗試，試了好幾十次，就是差那麼一點點。我們會開始懷疑題目的要求是否根本辦不到--於是原來的問題轉化成一個猜想: 不可能換完座位後每個人都坐在原來位置的旁邊。猜想需要證明。證明是建構在邏輯推理之上的論證，這是數學與其他科學最不同的地方。我們來欣賞底下絕妙的證明:
證明：將25個座位按照西洋棋盤一樣交錯塗上黑白兩色。假設左上角的座位是黑色的，則一共有十三個黑色座位，十二個白色座位。如果要順利換位置，則原本坐在黑色座位的人要換到白色座位去。但是這是不可能的，因為白色座位不夠多。因此不管怎麼換都不可能成功。
數學的神奇在於，一旦證明出來就是斬釘截鐵。不用再試了，換座位絕對不可能。我希望讀者可以理解這個論證，從而理解為什麼數學如此迷人，理解為什麼這麼多的學生可以為了數學廢寢忘食。我更希望讀者可以體會，一個沒看過類似問題的學生如果能在有限的時間之中想出這樣天外飛來一筆的解答，是多麼令人驚異。
弦外之音《數學高手特訓班》經由大量的訪談、側寫、資料分析及文獻整理，內容可說是豐富。但原書作者畢竟不是身在其中，因此以下的一些面向很值得思考。
首先，只有極少數的選手在選拔過程中不曾感受到壓力。IMO名額有限，要出線成為國家代表隊是非常競爭的。理論上IMO是個人賽，但是比較各國總分是不成文的習慣，各國的競爭也是非常激烈的。我從在建中任教多年，到現在擔任領隊，看到各階段選手在整個選拔及考試過程中的心路歷程，真是點滴在心頭。在這方面本書少有提及，是小小的缺憾。
其次，在IMO之中，選手的心理素質和努力比起天分更為重要。選手要有連續幾個小時盯著一個問題抽絲剝繭分析問題的耐心，以及克服無計可施或做不出來的焦慮。再者，選手必須要學會一個非常難的本領: 一方面盡全力爭勝、挑戰自己的極限，另一方面要接受人外有人的殘酷事實。最後，至少就我所知，每一個選手都非常努力。近年來IMO的問題愈來愈難，縱使再有天分，沒有經過刻苦的努力仍然難有滿意的成績。
書中幾乎把每一個解答都稱為有資格放入數學家艾狄胥所稱的《天書》（The Book）之中，這個評價未免過譽。這些選手提供的解答的確精巧，但是以專業的眼光來看，還不至於不可思議。事實上，IMO累積幾十年來也才頒過三個解題特別獎，這些特別獎才是真正有資格放在《天書》裡的。
資優生有很多面向，書中六位主角的同質性相當高。但無論如何，資優生總是充滿創意以及幽默感，且在不知不覺中測試各種極限。書中對於這方面的描述非常精準，比如一個簡單的遊戲可以發展出各式各樣的花招。至於數學競賽，則要在很短的時間內想出一個難題的解答，有些難題根本就是嚴肅學術研究的特殊情形。參加競賽的選手會把自己訓練成擁有一個本領：在有限的時間內極端集中注意力，用盡一切想得到的方法旁敲側擊、抽絲剝繭、做大量的實驗找規律，然後靈光一閃，得到一個完美的解。解數學題是非常個人的、非常內在的心智活動，像是在房間中摸黑尋找開關，每個人摸索的過程都不盡相同。但是一旦找到了開關，大放光明，一切都變得清清楚楚。
找到開關的喜悅，就是數學家持續從事學術研究而無怨無悔的動力。數學是一門嚴格的科學，所有定理的推導都架構在邏輯推理上。定理或有深淺之分，但是這種追尋永恆事物的心以及不朽的渴望，是數學家一輩子追尋的目標。
IMO在某方面和做數學研究是一樣的，都要經過大量思考和累積大量的經驗才能有一些進展。但是這兩者又非常不同，競賽是尋找設計好的題目的解答，但是數學研究連題目和解答在哪裡都不知道，數學研究需要更多的耐心與熱情，是更大的挑戰。並非每一個擅長數學競賽的人都適合做數學研究，也並非每個數學大師都擅長數學競賽。因此，對數學有興趣的學生切莫有競賽結果定終身的誤解，也不要有必須多才多藝的迷思。比起快速解題，數學家或許更習慣也更欣賞慢工出細活的深刻工作。但是無論如何，只有鍥而不舍的努力才能真正一窺數學的堂奧。
台灣的現況讀者可能非常好奇台灣的現況。的確，台灣有非常多的故事可以寫，也許有機會再向讀者介紹。筆者的網誌上也有一些有趣的故事可供參考。
台灣自1992年起參加IMO後，一直維持約在全世界10±5名，是不錯且穩定的成績（再次強調，IMO是個人賽，國家排名是非正式的）。我們的國手選拔有幾個關卡。第一個關卡是每年三月舉行的亞太數學競賽（APMO），約居於前二十五名的學生可進入一共三個階段的國手選訓營。選訓營選拔出六位國手，進入四月底開始一路到七月初的五個階段國手培訓營，七月上旬出國比賽。選訓營和培訓營主要都安排在假日，但根據這幾年的經驗，選手們也都能把課業處理得好。
每年我們約有一百名學生可參加APMO。來源有三，一為去年參加過而今年仍符合資格者。二為參加教育部舉辦之資優營及亞太營（每年二月，名單皆由各校推薦） 表現優良的同學。三為每年教育部全國能力競賽前三等獎的同學。以上制度已經行之有年，每年資優營和亞太營總是非常令人興奮，人才濟濟，共聚一堂。聰明的學生互相激盪，而未來的大科學家很有可能就在其中，這是非常美好的經驗。
台灣因為升學主義的積弊難除以及刻板的生涯規畫，並非所有深具潛能的學生都能自由選擇並得到上述充分的資訊。有些學生根本連參加的機會都沒有--或者家長學校不鼓勵，或者學校沒有資訊或傳統，或者是其他的原因。基礎科學的人才可以推動社會大進步，這方面值得我們努力。
學生的潛能是無限的，教育的目的就是要讓每一個人發揮最大的潛能。愈聰明的學生愈不要用框框和規則限制，太早設定目標或是限制太多對於資優學生是傷害。只要提供機會、環境和視野，學生就會發展得很好。書中有一句話相當真確：「每位數學奧林匹亞選手都記得，他們生命中有些關鍵時刻帶來深遠的影響。」
最後用書中的一句話作結：「藉著觀察這群奧林匹亞代表隊成員如何解決數學問題，我們至少可以從中一窺能夠造就人類偉大突破的特質。」
（本文作者為國立高雄大學應用數學系教授，2006年國際數學奧林匹亞競賽中華民國代表隊領隊）
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