名人推薦：在十二年國教課程綱裡，十分強調數學與生活連結的核心素養，也重視數學素養的教與學。溫美玉老師的教學，經常從生活情境切入，符合現今重要的數學教育理念，不僅讓學生感受到數學在生活中的實用性，也讓學生對數學學習產生好感。

──李源順（台北市立大學 數學系所教授）

翻閱《溫美玉數學趴》初稿，我感受到溫老師的數學課不只是計算，更重視理解、表達與表徵，可以避免學生「假會」或是「迷失」。任何數學課堂，都可以參考圖解、思路表達練習、自我檢視等具體做法，瞭解學生真正如何思考的「黑盒子」。

──唐宗浩（數學教...

【推薦序】

學習不踏空，讓孩子對數學有自信！ 文／李源順 （臺北市立大學數學系所教授）

順應國際趨勢，在十二年國教課程綱要裡，十分強調數學與生活聯結的核心素養，也重視數學素養的教與學。我發現溫美玉老師的教學，經常從生活情境切入，符合現今重要的數學教育理念，不僅讓學生感受到數學在生活中的實用性，也讓學生對數學學習產生好感。

例如溫老師在每單元教學前會複習舊概念，這非常重要。它可讓學生思考新單元內容與舊知識的相關性，使學生的學習不會踏空，而是奠基在舊經驗之上；又如，強調讓學生自己出題目，這是非常棒的做法，因為學生心中有實例，對所學的概念就不再抽象甚至無法理解。

溫老師也讓學生畫線段圖或圖像表徵，這也非常重要，因為它可以幫助學生從具體思考過渡到抽象思考，了解數學的抽象思維。同時，會讓學生思考表白，讓學生在溝通的脈絡中，了解數學的概念知識，不再是死背公式，而是讓公式變得有意義；再者，溫老師會讓學生歸納重點、系統性辨認題型，讓學生回想所學概念並進行統整，形成有系統、有感覺的知識和能力。

個人長期深耕國小數學教育，提出以「數學感」內容理論為知識系統，從「讓學生說」的起始行動機制，加上「舉例、簡化、畫圖、問為什麼與回想」五個核心教學策略，並主張多元、擇優的教學方法融合而成的「數學感」教育理論。讀了溫美玉老師這本書後，深感其教學理念與本人有許多契合之處，因此很高興能推薦給所有老師和家長。期望大家同心協力，共同為我們未來主人翁的數學學習、興趣與自信心而努力。



【推薦序】

跟著孩子，一起玩數學！ 文／唐宗浩（本文作者為數學教師、獨立教育工作者）

透過出版社傳來的教師研習現場照片，我才知道自己出版的《跟孩子一起玩數學》一書，竟然在教師研習場合中，成為作者教師團隊特別拿出來介紹並推薦的參考書目。我看見照片裡，投影幕上大大秀著「觀察秩序、建立模式、解決問題、精準溝通」這十六個字——如同我在自己書中所提，所謂「學數學」，說到底終究是在學這四件事。

@從「找秩序」切入數學

我鼓勵家長用自己的時間，陪孩子一起學數學，並透過具體有效的互動方法一起共學。譬如，很多人會說「我不喜歡數學」，但很少人會說：「我不喜歡找秩序」。事實上，不只是數字、圖形有其秩序，生活中各個事物也都有它們的秩序。至於「建立模式」，可以當成是打造工具，像是直式概念或是分數概念的建構，就是從很簡單的幾個初始概念出發，打造出可以解決複雜問題的的工具。寫程式，其實也同樣在建立模式。

「解決問題」，並不只是課本習題和考試考題，生活中充滿需要思考、解決的問題，從時間的安排到旅行的規劃、如何存放食物比較不會壞，都有許多策略可循。至於「精準溝通」，包括如何繪出一目瞭然的圖表、流程圖，怎麼寫電腦程式等。數學的力量，相當程度是建立在它是一個「萬國語」，沒有國界限制，可以透過符號和圖、齊一的度量衡，傳達抽象且精準的概念。

翻閱《溫美玉數學趴》初稿，我感受到溫老師的數學課不只是計算，更重視理解、表達與表徵，可以避免學生「假會」或是「迷失」。任何數學課堂，都可以參考圖解、思路表達練習、自我檢視等具體做法，瞭解學生真正如何思考的「黑盒子」。

「樂在學習」，勝於「快樂學習」

以自己多年教孩子數學的經驗，我整理出八種個別教學時實際有用的方法，以及背後所蘊藏的概念，如倒溯法、前推法、具體經驗法、繞道法、反客為主法、面對錯誤法、適度練習法和互為主體交互佈題法等。

舉倒溯法為例，小朋友在學習數學時，如果遇到卡關的現象，有可能是因為「先備知識」不牢固。所以，先複習、重建先備知識，才能有效渡過關卡，若僅在當前領域做大量的習題，沒有重建先備知識，就只會形成「硬背」、「假會」、「成績泡沫化」的現象。

我認為身為父母或老師，要懂得分辨與應對孩子的「數學學習警訊」，如面對無聲無息、聽不懂講解、開始排斥、成績下滑……等的孩子，我會強烈建議親師內心不妨長存「學、想、問、練、玩」五字訣。「學」就是一般意義的學習，從外界吸收知識；「想」就是把吸收進來的知識，用自己的方式重新組織、消化、理解；「問」則是把有疑惑的部分提出來；「練」則是自我的鍛練和實作；「玩」則是再創作和分享交流。

回溯自己的數學教學與學習理念，我一直覺得，如何達成「樂在學習」而不強調「快樂學習」是很重要的。因為「快樂學習」似乎隱含著學習是痛苦的，要加點快樂來沖談；但是「樂在學習」則更強調，我們可以從學習本身獲得樂趣。

無論是老師或家長，我都希望讀者能從《跟孩子一起玩數學》或《溫美玉數學趴》的內容中，從學習本身獲得樂趣，不需要外加的調味料來增味。

【推薦序】

天啊！數學竟然可以這樣教！ 文／魏瑛娟（現任台南市白河國小教師）

那是個嚴寒的冬天，早上六點等在高鐵月台，只因為有人告訴我：「聽了溫老師的數學研習，你就不怕教數學了！」完成了簽到手續，領了一本厚厚的講義，還有一張小白板和4個顏色的白板筆。坐在位子上，忍不住先翻看講義，一看我可就真的被「顛覆」了——講義裡面沒有任何數學定義的解釋，也沒有任何公式的拆解證明。再往下翻，甚至沒有成篇教學原理的論述或是談論課本編纂的架構章節，裡面只有一張張的學習單……。細看這些學習單，更著實的令我費解。因為以往我所認知的隨堂測驗學習單，就是一題題的文字命題，以及讓學生計算的空格，但是溫老師的學習單卻有大部分「空白」！這時我的腦子裡也閃過一片空白。

「這可怎麼教呀？」我心中疑惑著。

「把小白板拿出來！」溫老師的研習沒有慣見的開場白，只有果決的一聲指令，就好像在起點的裁判，鳴放的一聲槍響燃點今日的賽程。

「等一下你們需要和別人合作，如果需要的話，你們也可以在地上操作！」就這樣，我們跟孩子一樣趴在地上測量、趴在地上作圖，在那一刻，會場裡的熱烈動能，融化了冬日的冰霜，有人甚至脫下厚重的羽絨衣，在地上的小白板，一筆一劃的畫了起來。我記得當溫老師要我們停下手邊的工作時，我們這一組竟然還「偷偷」繼續畫，這股神奇的學習驅力，讓我們都覺得停不下來。

「天啊！數學竟然可以這樣教！」的頓悟，讓我迫不及待想把這套好玩的學習方式，帶回去給班上的孩子。

@從「被動解題」化為「主動思考」的教學震撼

「想想看！四位數加四位數，可以有哪一些組合方式？」「請幫我想三組四位數加四位數的計算式，而它必須分別是一次進位、二次進位與三次進位的。」這是溫老師在研習時所下的另一個指令，這對於平時慣於被動解題的我來說，起先還真的被「頓」了一下。

隨後在跟組員們討論的過程中，我們發現這好像是一種好玩的腦力激盪遊戲，當我把算式填入學習單的空白處時，心中有一種「挑戰成功」的喜悅與滿足。這種感覺，是以往總是以「應付考試」為前題來學數學的我，所從未經歷過的感受。我竟然會因為寫在數學「考卷」上的答案而興奮喜悅，這是怎麼發生的？難道，這就是學習者由「被動解題」化為「主動思考」的感受嗎？

回到低年級的教室，我開始跟著溫老師的腳步教數學。溫老師教的是四位數的示範，我就把它轉成二位數來教；溫老師請學生畫量角器，我就請學生畫量尺；溫老師請學生畫磅秤，我就讓學生畫時鐘。

當我請學生拿出小白板的那一刻，我發現自己的課堂立即有了很大的轉變，因為孩子專注在小白板上畫出自己想法，寫出自己的思考，原本必須在上課時一直提醒孩子「注意看黑板」的我，不需要再花那麼大的力氣來管理課堂秩序，我有更多時間可以觀察孩子、欣賞孩子，有更多機會進行個別教學，於是我的數學課開始有了溫度，有了情感與笑聲。我從沒想過，原來「數學」也可以是一堂讓我們師生都感到富足與快樂的課程。

@掌握學生「起點經驗」，帶著溫度進入數學殿堂

在跟著溫老師教數學時，我覺得書中所提及「引出學生的舊經驗」，是個非常高效妙用的教學方式。溫老師在書中述及：在教數學名詞之前，她會先問問學生對這個概念的印象是什麼，掌握了學生的起點經驗後，再進入教學，讓孩子不是帶著無知進課堂，而是帶著溫度進入學習。

溫老師是這樣問孩子的：「你覺得重量是什麼？」而我曾依樣畫葫蘆的，在教「序數」這個單元時，問一年級的孩子：「你覺得序數是什麼？」不到兩秒鐘，就有孩子在小白板上寫了「很快」這兩個字，我疑惑的問：「序數為什麼是『很快』的意思呢？」他說：「因為主任都叫我們要『序數』到操場集合呀！」在那一秒鐘我笑了，「原來孩子是這麼想的呀」的體悟，常常在我思考著要如何帶領孩子進入數學課堂時，給了我最直接也最深刻的提點。

其實，在遇到溫老師之前，我也曾企圖用過許多方法來讓自己的數學課不那麼枯燥：拼積木、玩桌遊是基本招式，分糖果、切蛋糕也是不可或缺。可是在充滿樂趣的數學課堂背後，我常有著「課堂上玩得開心，考試成績是否也能讓家長開心？」的擔憂。但跟著溫老師上數學，卻讓我的心裡非常踏實，因為溫老師在設計課程時，總是能將課程內容精準的劃分為幾個行為目標，它可能就像是「能正確計算出一次退位減位」或是「能區辨出三種加法文字題型」這樣的明確可行。而這些「一碼歸一碼」的目標，一個一個的層疊螺旋而上，前一個學習就是下一個學習的基石，在溫老師「步步精心」的引導之下，緊密而確實的建構出孩子穩固的數學能力。

@家裡，也是我的數學實驗場

「媽媽！你可以教我3位數乘以2位數的乘法嗎？我都搞不清楚自己算到哪裡了！」在一次自己和孩子複習數學的過程中，我終於更能領會溫老師在進行數學教學設計時，背後的思考與貼近孩子的用心。

還沒有接觸溫老師以前，幫自己的孩子複習數學時，就是給他出一題又一題的計算式子，我總是想著「練習多次一點，你自然就會了！」然而，在一知半解時就進行的重複練習與計算，讓我們的親子關係陷入緊張，看著孩子一次又一次在紙上寫下錯誤的答案，而關鍵點就是那一個提醒又提醒的計算細節，我因無力與失望所凝結的情緒，每每在大約進入到第10題時，陷入無止盡大爆發。雖然知道這樣的方式並不可行，但「為了你好」這個大帽子扣在我的頭上，我不得不逼自己和孩子，做著我們都極不願意做的事。

後來，我把溫老師的數學教學帶入家裡。兒子這次在學習3位數乘以2位數的乘法時，遇到的瓶頸就是「位值的混淆」，他分不清楚乘下來的數字，要跟哪一個位數對齊，尤其是遇到數字中有多個「0」出現時，那可就真是一團混亂了！我依著溫老師書中的方法，為孩子搭建了鷹架，讓孩子踏實的補「0」。果然，沒多久孩子就學會了，看到他臉上露出了「我懂了！」的自信笑容，我覺得自己頭上也出現了慈母光輝的光環。就像溫老師在書中所說：「讓孩子自己決定拆鷹架的時間」，課本中的計算方式，是大人們經過多年的歸納所總結出的算則，孩子若未能一步步的從最原始、最繁複的過程中走過來，他怎能理解這些算則背後真實的意義呢？

「帶孩子走過人類數學史的歷程吧！」這是溫老師最常提點我們的一句話。只有帶孩子一步步的體驗與嘗試，讓孩子自己從迷霧與困頓中撥雲見日，才能真實的領悟與建構出自己的數學能力——這是溫老師的數學教學，帶給我最大的提點與啟發。



【推薦序】

一堂有幸福感的數學課 文／徐培芳（現任台中市北屯國小教師）

溫氏教學讓「數學幸福感」大大提升。不只讓班級的孩子學數學充滿樂趣、信心。老師教數學也能擺脫凶神惡煞的「結面秋」。當孩子說：「老師，我好喜歡上數學課！」這無疑是對老師最大的尊榮了。

但這樣的幸福感，如何做到？跟著這一本武功秘笈，穩紮穩打，好好練，你也能！

@一碼歸一碼，建立學習模組

「計算題和文字應用題分開教。」是溫氏數學的第一法則。跟著溫老師從「四位數加減」單元開始，把學習切割成小單元，先帶孩子穩固計算能力，去除文字的干擾，孩子回到最純粹的數字，觀察題目「2674－1785」，還沒動筆前就能看出連續退三位的難度，充分掌握計算的技巧。

當孩子對計算能力有自信後，再進入文字應用題時已經對數字有量感。接著就是學習運算符號的功能，把孩子拉到運用符號的高度，而不是看「關鍵字」來解題，否則孩子很難理解，例如看到「共」不是要用「加法」嗎？但「5包共幾顆」的題目為什麼用「乘法」？「共可分成幾包」為什麼要用「除法」？

三年級是奠定數學基礎的重要階段，當孩子學習單一符號（加減乘除）時，能掌握四種運算符號的功能，加就是合併加、再加（添加）、比較加；減就是拿走減、相差減、比較減；乘就是複製加倍；除就是分裝除、平分除。

一旦學習模組建立後，現在只要談到數的學習，不管是整數、分數、小數，孩子都知道應用題不脫這些範圍，那麼老師就能很快聚焦學習重點。遇到「四則運算」，孩子也能一眼判讀符號，而不是一直在文字上打轉。

最近，上到「長度」單元，認識新單位「公里」、熟練單位換算後，緊接著就是長度的計算與應用，熟悉符號應用的孩子們，一致認為長度減法的題型應該是「相差減」，兩段距離比較多（少）幾公里幾公尺？因此，加減乘除的符號功能一直不斷的辨認、使用，三年級建置的運算能力就成了解決新問題的工具，未來不論面對「面積」、「長度」、「重量」等等，都能迎刃而解！

@動手操作的數學課，玩出自信

「數學一定要操作！」是溫氏教學的重要關鍵。孩子的學習不能只停留在「算」，特別是量的學習更是如此。溫老師提供了許多策略，如：讓孩子透過方格小白板做出1公尺（1小格1公分，點數100格），相對於1公分的關係，孩子很容易就能學會1公分＝0.01公尺的概念，長度量感是具體的，可以點數的，不是憑感覺瞎猜、抽象的。每次只要談到0.01（兩位小數），孩子腦海裡馬上浮現的曾經畫過的1公尺和0.01公尺。又如：認識量角器，就讓孩子在白板自己畫出「量角器」，中心點、刻度、內外圈等等，孩子看得比我們還仔細，再對照課本的說明，兩相比較，還有哪些重點是自己沒有觀察到的，加以補充在側，透過「做中學」，對量角器的功能、特徵了然於心。這樣的學習方式有哪個孩子不愛？

特別是面對新觀念或是年紀較小的孩子，更需要透過具體物的操作，例如糖果、花片、積木等。熟悉後，再用半具體畫圖的方式，像是圖像、畫圈、線段、錢幣等來表徵題目。最後，用抽象的數字和符號來解決問題。因此，在班上，孩子都知道如果不了解題目的意思，可以畫圖、畫線段，甚至回到最原始的教具操作，拿積木。

最近，我們班的孩子正在練習假分數及帶分數互換，學生即使是第一次看到這題目也不怕地說：「老師，畫圖就好了。」可見用畫圖建立數學概念，複習時，只要畫一畫，馬上就能解題。

@小白板是孩子學習的最佳輔具

如何重拾孩子學習數學的自信？進入正式課程前，溫老師從印象、功能、生活運用等層面，先讓學生思考「想到○○，你會想到什麼？」「它能幫助我們生活中哪些事情？」花個十分鐘讓孩子跟新的單元培養感情，然後請他們記錄在小白板上，成為孩子學習的起點。

同時也記錄著孩子的思考歷程，即使寫上密密麻麻的文字，卻是自己解題思考的重要記錄。記得一開始，孩子摸不著頭緒，往往不知道要寫什麼？但為了鼓勵孩子動腦思考，如果看到空白的，我會走到他身旁告訴他：「老師知道你正在想，有想就很好。」行間巡視中，我也會邊觀察、邊說出其他孩子的答案。此時，想不出來的孩子就會記錄在白板上，我一瞧見便說：「你可以補充別人的答案，但學習整理筆記的能力也很重要。」

甚至還有孩子會「抄」同學想法的情況，但當時，我不是訓斥孩子抄的行為，而是非常嚴肅的告訴孩子：「為什麼不相信自己？為什麼別人的答案一定比自己的好？老師很想看到你的答案。」如此鼓勵孩子用圖、文字等來表達腦海裡的印象，靜待10分鐘後，再做「比較」的功夫——比較自己和同學的、比較自己和課本內容。如此一來，不僅幫助孩子拓展自己的想法，對於課本也能心悅誠服。

訓練一年多，每個孩子從思考「空白」到思考「有序」，有想法、能表達，一張白板能讓每個孩子都被看見，建造信心的翅膀，相信透過「我寫故我在」，飛得又穩又高。如今，縱使是高難度的出題任務，孩子都能突破思考枷鎖，充分掌握出題條件，每個孩子都難以抵擋出題的魅力啊！

@與師生站在同一陣線，探尋最佳教學路徑

「教學是一場冒險，不斷在教學現場觀察、實驗，找出最佳的教學方法。」謝謝溫老師窮盡一生之力研究教學，與我們站在同一個陣線——最實際的教學現場，同樣有進度壓力、有突發的班級事件、有繁雜的班級事務……，卻以一個又一個的教學案例，找尋最貼近孩子的表徵、探尋最佳的教學路徑，幫助師生走出一條康莊大道。最重要的是，接觸過溫老師的人都知道，她永遠以最熱情的笑容、最溫暖的姿態，談論著這輩子最愛的教學。

【推薦序】

學習不踏空，讓孩子對數學有自信！ 文／李源順 （臺北市立大學數學系所教授）

順應國際趨勢，在十二年國教課程綱要裡，十分強調數學與生活聯結的核心素養，也重視數學素養的教與學。我發現溫美玉老師的教學，經常從生活情境切入，符合現今重要的數學教育理念，不僅讓學生感受到數學在生活中的實用性，也讓學生對數學學習產生好感。

例如溫老師在每單元教學前會複習舊概念，這非常重要。它可讓學生思考新單元內容與舊知識的相關性，使學生的學習不會踏空，而是奠基在舊經驗之上；又如，強調讓學生自己出題目，這是非常棒的...

【作者自序1】

我不是數學系，我也能教好數學課！ 文／溫美玉

這本書的自序，我想從兩方面來談。

一是《溫美玉數學趴》出版的意義與影響；再者，我想從創新思維，聊聊數學教學的演進與變革。

@站在數學教學第一線的創意激發及回饋

三十年來，在學校一直都擔任導師工作；特別的是，台灣的國小級任導師，必須同時擔任數學和國語課程。常問很多老師，這兩門課的教學感受有何不同？為什麼不敢寫數學教學案例？我所得到的資訊是：

「我不行啦！我又不是學數學的！」

「我怎麼敢PO數學案例？你沒看只要有人講數學，底下就一堆人打槍……。」

「數學教學很難寫耶！一堂課如果照課本教，沒什麼好講；如果請學生實作、討論、發表，這麼複雜是要從哪裡開始寫啊？」

「每次聽數學演講，不是聽不懂，就是愈聽愈害怕，都覺得自己在誤人子弟……。」

這些老師的心聲我是點滴在心頭，也完全能感受心理幽微莫名的複雜情緒。即使教科書編輯愈來愈有邏輯、次序、多元，數學教具愈改愈進步，電子化的輔助愈來愈普遍……。但是，數學課相較於國語課，依然讓導師感到恐懼且缺乏自信，更別說在公開平台發表或暢談數學教學案例。

很幸運的，師專時期接受了恩師吳英長的指導，對於每一門學科教學的內涵與策略，提醒我都要從更高層次來思考；因此，雖然非數學專科出身，卻完全不害怕面對數學教學的挑戰。而且歷經各界對數學課程改革創新浪潮的批評，我不是加入撻伐的行列，相反的，是欣賞主事者的魄力與專業，並多方蒐集研究與實際操作，悟出更多數學教法與心法。加上自身很強調以學生為本位的教學型態，即使台灣學生在國際教育評比，常常是成績斐然，興趣和自信卻「敬陪末座」，但我對數學教學卻依然懷著高度興趣及信心，從不因此枉自菲薄，反而更加要求自己：數學課要能跟國語課的氛圍一樣，讓孩子免除恐懼如沐春風；對數學的概念，則是抱持百花齊放般的好奇，最好還能大膽提出自己的想法及解答。

@第一現場的記錄與分享，形成由下而上的備課氛圍

踏入杏壇的第一天如此，三十年後一如初衷。所以，退休前的六年，我選擇從一年級教到六年級，雖然學生兩年編班換人，但我卻有機會在教室現場，隨著所教的年級層不斷上升，釐清數學教科書編輯脈絡，還有專家學者編寫的內涵、精神、概念為何，更重要的是累積六年的教學實務案例，記錄每一天的教學情境及學生學習狀況；探索教材與學生學習之間的鴻溝是什麼；提出老師、家長都能協助孩子的方案或輔具。

身為台灣的國小級任老師，總是右手教國語、左手拿數學。這個持續六年進行教學研究工作的心願，卻也是身為一位小學老師，最難得且美麗的機緣與恩賜，當然也可以說是台灣教育史上罕見的浩大工程與巨大挑戰。然而，如果連資深的我都不敢鳴出第一槍，那麼，在師資培育系統漸漸瓦解式微，現階段又不可能改變導師得兼任數學教師的前提下，有誰願意毫不掩飾的呈現數學教學面貌，接受各界的批評與指正，不再遮遮掩掩？

當然，出版不僅想帶動現場老師的記錄與分享習慣，進而更想提升老師的自信與專業，最終能形成由下而上的備課氛圍，達到我最尊敬的吳英長恩師遺願：「讓國小老師有尊嚴的站在講台上。」

@八大特色，讓數學教學秒懂、秒解、秒上手

教學於我而言，不能說沒有領域範疇的難易，但是，想要研究、改變、創新，讓老師、家長、孩子三方共好、更有成效的思維，以及大膽嘗試勇於承擔的態度，一路走來始終如一。這本《溫美玉數學趴》的誕生，就如同過往任何談教學的書籍一樣，都是承接全台灣國小老師手上都會拿到數學課本，然後經過我個人的教材解讀與課堂設計，在教室與學生實際的互動歷程轉化的記錄與省思。

因此，簡單歸納本書特色，至少包括了以下八點：

1.教材不脫教科書範疇，不必加入花俏遊戲，照樣讓老師、家長、孩子通通快樂買單，愛上數學課。

2. 外面補過習的孩子不再喊無聊，學習弱勢者重拾自信，沒有人被放棄，因為這裡是數學天堂。

3. 教學輔具不再只是實體教具，加入數學板（包括了千格板、圓形板與空白小白板），協助作圖與記錄，使教具不再是玩具。神奇的是，手邊沒有實體教具時，小白板也能助一臂之力，即使在家也能天天開心玩數學。

4. 擺脫千篇一律的講述宣告，為老師、家長示範，如何引導數學概念的操作、討論與理解、熟練。

5. 從認知心理學出發的數學學習單，迥異傳統填鴨的數學測驗卷，連家長也秒懂、秒解、秒上手。

6. 數學也能成為哲學思考素材、文學想像利器，打破數學的呆板魔咒，讓孩子的數學好感度，瞬間爆棚。

7. 抓住幾個數學教學心法與概念，例如：一碼歸一碼，計算與文字題分開理解，家長也能自己教數學。

8. 文中的教學案例，經過「溫老師備課Party」教師群的見證與使用，書中也邀請了台中市北屯國小徐培芳老師、台南市白河國小魏瑛娟老師，提供在班上的實施心得。她們同樣不是數學背景出身，卻在這樣的教學脈絡下，同樣領受到自己與孩子的轉變。

我誠摯期待，透過本書的出版，讓數學教學不再隱晦莫測，只要願意放手並翻轉教學思維，加上本書的實務參考，你也可以是孩子的一盞數學明燈。

@三大層面，邁向創新的數學教學

數學科的重要性，不僅是因為它常左右著入學考試成敗，更重要的是，在科技產業決定國力的時代，數學、科學領域是西方先進國家不敢輕忽的。既然這麼重要，國內也有眾多先行者投入，但為什麼仍有這麼多的國小老師或小學生害怕數學？究竟怎樣的數學輔具或教具，能真正讓孩子受益？老師或家長，又能透過什麼方法，讓自己成為增加孩子數學好感度的「數學大使」，讓孩子領略數學的趣味與美好？根據自己多年的數學課堂經驗，或許可從三方面梳理個人的思索：

● 教材面——教科書怎麼用？

我常替教科書業者喊冤。在有限的版面內，必須做邏輯分明的排列組合，快速導入最高效的解題方式，是每種版本不得不的選擇。然而，短短的篇幅豈能鉅細靡遺？君不見民國82年實施的建構式數學，為了協助孩子建構運算方式，提供了相當繁瑣的演練算式供參考，不理解的家長或老師不是以為照單全收，抱怨呆板無趣無端困擾，就是乾脆視而不見依然故我。這些年當我真正深入數學教學核心，我更能理解教科書的侷限與優勢。

所以，使用數學教科書絕非照本宣科，拿著課本一題一題講解；而是能跟國語課文一樣，先清楚單元重點，再研擬設計教學方案。當理解了每個數學概念之後，就能大加利用這些資源，因為這些用心編輯的圖像、題型，都是在專家學者多方研議之下產出的作品，做為後端的使用者，當然會發現小小的缺陷，但瑕不掩瑜，我總是將其功能發揮到極致，常常是這單元的概念，還翻回前頭使用之前的習題，或教到「容量」時，也請孩子模仿課本，編輯一本屬於自己的容量數學小書。

● 教師面——理想中的國小數學老師，應該具備哪些條件？

如果你問我，是如何看待自己的數學課堂？我會說是「百分之三十的專業知識、百分之五十的教學策略、百分之二十的情商與包容」——什麼？溫老師的數學專業知識只有百分之三十？或許有人非常不以為然，覺得「這樣怎敢站在講台前」。但我必須老實說，這正是大部分非數學本科畢業的國小老師所需面對的現實樣貌。

這個適切課堂配比沒有絕對，最佳狀態當然是每項都能達到百分之百。無奈天不從人願，我發現，即使是最厲害的大學數學教授，常常也無法掌控為數眾多的小學生課堂，因為，優質教學不會只是單純知識的遷移或傳授，更須對學習者的認知發展有所理解；再者，我也很想藉由這個現實，邀請大家思考：難道不是數學本科系畢業，就不能把數學教好？

以我個人而言，我喜歡透過網路及書籍學習。最直接的，是來自師專時期吳英長老師的指導，後來很幸運的因地利之便，認識了台南大學的謝堅教授，從他的演講及無私且海量的數學PPT分享，讓我不斷改變與成長。尤其謝教授多年專注於國小數學鑽研及分享，一系列關於國小數學觀念的資料，從簡單到複雜，成了我教學時最佳靠山，也是最重要的進修寶地。另外，出版社的教師手冊，這些專家學者及數學老師的整理，都是我最好的進修材料。

因此，針對如何補足專業領域知識，我們真的不必太灰心。因為國小數學知識含量，並不像國高中數學那麼艱澀，也就是說，我們至少都會解題，也能順利看懂數學專業的講解，缺乏的可能只是數學概念的澄清與誤解。這部分，我們絕對需要耐心的接受專業協助。

更重要的是，我深信國小老師可以透過合宜適切的教學策略，引發孩子樂於發表、敢於好奇、勇於探索的數學學習動機，進而領略數學世界的種種樂趣。身為國小老師的我，若能成為數學科目的「樂趣促進者」，絕對當仁不讓！

● 學生面——如何吸引孩子學數學？

每位老師都使用類似的教科書，相同的教材如何出奇制勝，讓學生個個都喜歡上我們的數學課？

記得剛開始教書，我常常為了學生學不會而大發脾氣，這樣的氛圍導致數學課彷彿在地獄，明明一樣不專心，數學課就是更該死，因為數學考試一翻兩瞪眼，不懂還不專心聽真是找死。此刻，老師擔心恐懼轉為抓狂就寫在臉上，學生焉能不害怕？不幸的是，誰都知道處在這種狀況很難有效學習，惡性循環下，學生成績更慘不忍睹。

這幾年，自己除了數學概念理解更佳，辨認數學表徵的能力更強，再加上我在課堂內引入數學板（包括千格板、圓形板，以及空白小白板），發現教學效能果然快速提升；從學生在小白板上的即時回饋，也鍛鍊了我極佳的數學敏感度。別小看這些數學思考表白，它不僅讓我看見自己的教學設計及歷程，還能反映學生的學習狀態及情緒感受，當然，也將我個人數學教學的成就感，推至三十年來的高峰，於是，一篇又一篇的現場教學實作的案例，激勵了眾多非數學科班出身、卻得進行數學授課的級任老師，也提供了最貼近教室的運作模式。

也許你會懷疑，小小的一個輔具，為何能翻轉整個課室氛圍，又如何引發孩子的好奇與探索？根據多年經驗，我深深同理老師的窘境，一頭熱的提供教具，例如，給三角形的幾何塑膠板，孩子常自顧自亂排一通，無視老師的教學指令。此刻，若請他把觀察或操作結果，記錄或畫在小白板上，情況則完全改觀。當每個翻轉、平移的形狀都被畫下，操作結果人人都能回饋在小白板內；即使我無法邀請每個孩子上台報告時，但全班小白板一旦全數排列在黑板上，不僅每位孩子都能一目了然、清楚看見彼此的思考歷程，老師更能趁機研究孩子的思路，進一步給予個別指導。

我常開玩笑說：「小白板是孩子的快樂天堂，白板筆則是孩子甜蜜的手銬」。再簡單不過的輔具，卻因承載孩子的書寫、圖畫、疑問，讓老師得以輕鬆放手，並開創無比亮麗璀璨的數學世界。

除了創新思考及各類型小白板的發展，更多數學教學新貌如：學習單、數學哲學、童話…，這些優質教學策略放大了視野、拉高了格局，很自然的，原來極為無趣或煩躁的數學教室，一改過往，不但充滿了動手、動腦又動心的畫面，歡樂愉悅的氣氛更是瀰漫在課堂當中。這麼一來，孩子不再畏懼解題，多元的技巧悄然滋長，傳統的的紙筆考試成績，一樣保持在水準之上，勇敢自信的發表最是讓人動容，自在專注的討論成了常態，再是鐵石心腸的老師或家長，看見二十一世紀真正需要的能力展現在眼前，高興都來不及，哪裡還想生氣罵人呢？

難怪最近我常聽到孩子這樣說：

「老師，剛剛我和同學辯論，這堂數學課很像擂台賽耶！」

「我們在小白板上作圖來驗證答案，溫老師說這是『自作自受』，我喜歡這種方式，數學課太有趣啦！」

「我覺得溫老師的數學課很特別，每個人都好像成了偉大的數學家，一直發表或是寫出自己的想法……。」

@出版，只是開始……

這幾年，我在熱絡的數學研習場合、或是在「溫老師備課Party」的網路互動中，感受到許多老師與家長的期盼與催促，希望將數學的課堂教學案例集結成書。這段時間，最要感謝一直在我身邊擔任教學記錄整理的智琪，沒有她就不會有這本書；還有培芳、瑛娟的協力實作並見證；更要感謝《親子天下》，擔負錯綜複雜的數學教學書籍的編輯出版。這本書如果可以給您參考，或者激勵您的教學熱情，我會感到興奮安慰；如果您對書中的教學有疑問，我會很感恩且虛心面對指正。

真心期待自己的勇氣，能夠為數學教學開啟更多的對話與包容。

【作者自序2】

收集「錯誤」的數學課好好玩？因為它是孩子最棒的腦力探索天堂 文／王智琪

信不信由你，但我必須大聲說：「溫老師的數學課，是集滿各式各樣『錯誤』的大錦囊！」這時，你一定會想：「『顯露錯誤』不是什麼光榮的事吧？你是哪根筋不對，還拿這件事來說嘴？」

我想，是時候來為「錯誤」平反一下了！

@錯誤不可怕，真理從「錯誤」中提煉

在大部分人的認知裡，「錯誤」是羞恥、應該隱藏起來的，我們往往不願正視自己所犯的錯。然而，無視錯誤，不代表它就不存在，它不過是被埋在深處、未被挖掘罷了。尤其是數學課，多數人的認知上，數學是「絕對／客觀的」，因此也希望孩子精準到位。然而，這樣的期望，造成兩個重大影響：

讓孩子對數學產生恐懼，因為要他們一次到位，是很難的。

為了不讓孩子想錯，老師直接「宣告式」的灌輸概念，孩子只能被動吸收、死記硬背，卻少了思考——至少，我自己就是這樣走過來的。

這樣的方式，其實違逆人類共有的「探索」本能，讓我們的腦筋變懶惰，也助長了對任何知識都視為理所當然而全然接收的習慣。然而古今中外，數學家們如何導出最快速、方便的解題法呢？必然是從最笨的方法開始，歷經一次次嘗試、失敗、錯誤修正的過程，才能造就最快速、最方便的解題策略。若讓孩子效法數學家們，走過這跌跌撞撞的理解階段，你認為可行嗎？

@為何孩子「犯錯」，老師要無助？

溫老師給每個孩子一塊小白板，用任務、提問引導他們無限探索、發散思考，親身體驗數學家那顛簸的理解歷程，無論是「通分」、「面積公式」、「除法直式」……都不會在一開始就告訴孩子意義，而是在打開課本前，就先引導孩子自己推論、尋找答案。過程中，其實大部分會看到的，是他們五花八門的錯誤類型。

老實說，觀課已近兩年的我，如今看到孩子陷入錯誤觀念時，仍舊會緊張、無助，心急地想：「該怎麼辦，他們全都不懂！」「我是不是這時應該推他們一把，提示他們答案？」「我是不是有責任導正他們的錯誤觀念？」

此時，我抬頭看看溫老師，她仍然優雅微笑著，細細省視孩子的想法，讓我內心大起疑竇：「她怎麼這麼沉得住氣呀？」但往往就這樣慢慢等待，加上老師適時提問、推孩子一把後，他們就靠自己找到了正確的方向。

這件事引發我思考——大部分把「傳道、授業、解惑」責任攬在自己肩上的老師們，也會有與我類似的無助感——害怕看見孩子沉浸於錯誤中。因此我在這篇文章中，時時提醒自己：「接納『錯誤』的發生，讓孩子自己動腦琢磨、解決問題，會發現他們遠比你想像的還有潛力！」甚至，孩子也會有意想不到的答案，讓你下巴掉下來呢！

@數學，曾是我生命中不可承受之「重」

回顧我的求學過程，數學猶如「大魔王」般令我害怕。過去，我的數學學習模式是「公式背一背，寫習題熟練」，此策略在較簡單的小學／國中階段都還吃得開；然而到了高中，諸如三角函數、微積分、對數……等等，公式背都背不完。漸漸的，緊張、焦慮、擔心，開始在我算數學時死巴著我不放。

有時題目一變化，我的腦袋就像生鏽的機器般運轉不靈，每場考試都被時間追著跑，交卷時往往還有半面來不及完成。當時的我，不禁絕望的想：「我就是死腦筋，不會活用概念呀！」

到了大學期間，第一次到教學現場試教數學的經驗，感覺非常糟。

我帶著孩子跟隨課本逐題解釋，但發表的人就那幾個，我怎麼知道其他人聽不聽得懂呢？都在講和課本一樣的東西，孩子自己讀也能懂吧？還需要我這個老師嗎？我會不會沒上到重點？……這些困惑像跳針的音響，不斷在我腦中徘徊，逼著我陷入滿滿的空虛情緒中。之後，師培實習之路，「數學課該如何上」成為卡在我心底的困擾之一。

直到大五實習，被派到溫老師班級，第一次觀察溫老師的數學課，我的反應是錯愕無比！我萬萬料想不到，數學課除了「學會解題」外，還能引導到那麼高的山頭，俯瞰整個單元的考題詮釋方式、陷阱、題型等。當下我一頭霧水，心想：「孩子需要知道這麼多嗎？」

@在「溫氏」課堂，不怕給孩子高層次概念

之後的教學，看到溫老師介紹「單位量／單位數／總量」、「連加／併加／比較加」……後，我更加吃驚了！這些我以為「老師知道就好」的觀念，溫老師卻不斷帶領孩子思考分辨。

後來我慢慢頓悟：「如果這麼高層次的概念孩子懂了，那他們面對考卷，當然能更有意識的解題呀！」以往只著重「孩子會解題就好」的教學方式，反而顯得「只治標而不治本」呢！

此時，聯結我第一次試教時疑問，我似乎隱約找到了數學該怎麼教的答案。觀察溫老師的課堂兩年多，讓我對數學課程的樣貌，有了截然不同的領悟！

溫老師的教學層次，我歸納出四個重要元素：

● 深究「為什麼」

以往我學數學，都只是不斷熟練而已，對於「為什麼這樣解」根本想都沒有想過。

這樣的我，在觀察溫老師的數學課時，常常興奮的領悟到：「原來這個概念是這樣來的呀！」印象深刻是上到「除法直式」概念時，溫老師讓孩子用「橘棒（十個一數）」、「小白方塊」重現解題歷程，我愈聽愈感覺全身熱血沸騰，彷彿腦中燈泡「叮！」一聲，眼前一片明亮，終於看清除法直式的演變全貌。（詳細內容請看「3-4用分分樂，認識除法」）

我發現，所有理所當然的演變法則，溫老師都會慢慢回推，帶孩子發覺「為什麼會變成這樣？」這個過程就像解謎一樣有趣極了，跟著孩子一起重新上了一回國小數學，也讓受傳統宣告式教學影響的我大開眼界！

● 發現問題、解決問題

另外，溫老師也會藉由提問，帶領孩子「自主解決問題」。例如在「分數」單元，溫老師就問孩子：「既然1＝4/4，那就講1就好啦！為什麼還要存在4/4？究竟1和4/4有什麼不同？」課本只會告訴我們：「分子分母相同的情況＝1」，但溫老師卻用追根究柢的好奇之眼，要孩子探究概念最根本的源頭，腦力激盪的方式解釋出對這個疑問的答案。

● 師生同步「做實驗」

科學家如何做實驗呢？必定要提出假設，至於假設是否成立，或是被推翻，都是經由不斷證明才能得知。溫老師的數學課，與這樣的情境就很類似。有時拋出一個問題，只是當下的直覺，它可能是解決此單元概念的良方，也可能逃不過被推翻掉的命運，這些都是在溫老師教室裡可能發生的。

溫老師常常說：「不是我教孩子，孩子也常常教我很多。」二十幾個孩子的想法，也能引導、牽動老師的認知，在不斷的分析、釐清下，對概念的了解愈來愈透徹。

● 適當輔具，創造思考及表述的天地

如何讓孩子不斷思考、驗證老師拋出的問題呢？答案是妙用無窮的「小白板」。除了空白小白板能表述孩子天馬行空想法外，還有方格小白板的「千格板」能精準製造幾何圖形，或是以圓形板來學習畫分數、時鐘、磅秤……（詳細內容請看「01數學板」）。

有了這些輔具，思考不再只是老師一個人的事，而是全班共有的責任。我喜歡看著孩子愈來愈習慣想到什麼就寫什麼，尤其在溫老師「不懲罰錯誤」的氛圍下，他們就不會因「怕犯錯」而不敢胡亂思考，久而久之，多元獨特的想法就能安心如流水般潺潺而出。

@「理解概念」外，「數學感覺」也100%到位

這樣學數學，我想孩子的收穫不僅對概念更加清楚而已，也間接增強了他們「文字表達」、「筆記」的功力——要把自己腦中的點子，想辦法用文字或口說表達出來，是多麼不容易的事！

正因如此，孩子對數學的情緒，也開始用興奮、好奇取代原本的挫折、害怕，等到孩子未來解決問題時，就能以「探索／嘗試」心態面對，不再因「怕錯」而卻步。同時，當面對一個已知的答案時，孩子不再是全然接收，而是開始有追根究柢的思考精神。這樣的衝勁，相信也能引導孩子用更積極的心態，對應人生的挑戰。

我很幸運能參與溫老師的這場數學冒險，並字字句句將之統整、記錄。文字或許無法忠實呈現教學現場氛圍，但十分盼望這本書，能讓曾經與我一樣、為「數學該怎麼教」煩惱的老師、家長們，提供一條經驗證後的可行路徑，為師生重新開啟擁抱數學的大門！

【作者自序1】

我不是數學系，我也能教好數學課！ 文／溫美玉

這本書的自序，我想從兩方面來談。

一是《溫美玉數學趴》出版的意義與影響；再者，我想從創新思維，聊聊數學教學的演進與變革。

@站在數學教學第一線的創意激發及回饋

三十年來，在學校一直都擔任導師工作；特別的是，台灣的國小級任導師，必須同時擔任數學和國語課程。常問很多老師，這兩門課的教學感受有何不同？為什麼不敢寫數學教學案例？我所得到的資訊是：

「我不行啦！我又不是學數學的！」

「我怎麼敢PO數學案例？你沒看只要有人講數學，底下就一堆人打槍……...

李源順 學習不踏空，讓孩子對數學有自信！
唐宗浩 跟著孩子，一起玩數學！
魏瑛娟 天啊！數學竟然可以這樣教！
徐培芳 一堂有幸福感的數學課
王智琪 收集「錯誤」的數學課好好玩？因為它是孩子最棒的腦力探索天堂
溫美玉 我不是數學系，我也能教好數學課！

PART 1 這樣教數學，問題就能迎刃而解！
01 數學板
02 自己出題
03 學習單
04 一碼歸一碼
05 數學預習

PART2　從具象到抽象，輕鬆建構加減的概念
06思考表白
07表徵化數學
08 加減法進退位
09 數線
10時間

PART3 乘與除，透過數字運算來場腦力體操
11 乘法直式三部曲
12 連乘法
13 用分分樂，認識除法
14 分數
15 總量、單位量、單位數

PART4 回歸現實生活，數學在生活中的應用
16統計表
17量與實測
18幾何
19數學哲學
20數學文學

李源順 學習不踏空，讓孩子對數學有自信！
唐宗浩 跟著孩子，一起玩數學！
魏瑛娟 天啊！數學竟然可以這樣教！
徐培芳 一堂有幸福感的數學課
王智琪 收集「錯誤」的數學課好好玩？因為它是孩子最棒的腦力探索天堂
溫美玉 我不是數學系，我也能教好數學課！

PART 1 這樣教數學，問題就能迎刃而解！
01 數學板
02 自己出題
03 學習單
04 一碼歸一碼
05 數學預習

PART2　從具象到抽象，輕鬆建構加減的概念
06思考表白
07表徵化數學
08 加減法進退位
09 數線
10時間

PART3 乘與除，透過數字運...