數學家忙什麼？

名人推薦：這是一本極好的科普讀物，有動人的故事，有深入的見解，有詩意的感觸，也描述了數學王國的美麗與輝煌。
——楊振寧（物理學家）

我讀過蔡天新的詩和散文，很有文采，知道他是數學教授，更增幾分敬意。其實數學與詩歌是有聯通渠道的，這本書便是證明。
──莫言（小說家）

「數學家寫數學大師的故事，作者親身經歷書中所寫人物曾經生活過的國度，將數學大師的思緒及生命歷程，鮮明、清晰的呈現在讀者面前。透過觸動人心的故事，讓讀者深刻地認識數學的真、善、美，及數學與人文精神的緊密連結。閱讀蔡天新教授的《難以企...

秦九韶，道古橋與《數書九章》

那裡有數，那裡就有美。
——普羅克洛斯

一、新道古橋
杭州城內，離開西湖北岸的寶石山不遠，有一條小路叫西溪路。在西溪路的東段，與杭州路的交叉口西側（也在浙江大學西溪校區與玉泉校區之間，靠近西溪校區），有一座石橋，叫做道古橋。始建於南宋嘉熙年間（1237 ~ 1241），初名西溪橋。南宋咸淳初年《臨安志》有載：「西溪橋，本府試院東，宋代嘉熙年間道古建造。」這個造橋的道古不是別人，正是南宋大數學家秦九韶，道古是他的字。
秦九韶（1202 ~ 1261）祖籍河南範縣，該縣位處魯豫交界處，縣城有數百年設在山東莘縣境內，故他自稱山東魯郡人。秦九韶出生於四川普州（今成渝之間）安嶽，並在那裡長大。其父中過進士，曾任巴州（今川東北巴中）地方長官。1219年，巴州發生了一起兵變，促使其離開故鄉，調任首都臨安（杭州），全家住在西溪河畔。原來，1201年，臨安發生了一場著名的大火，燒了三天三夜，燒掉太廟、三省、六部、御史台等，受災居民達 3 萬 5 千多家，部分朝廷命官及家眷便遷居當時屬於郊外的西溪河畔，秦家來臨安後也住那裡。
九韶自幼聰穎好學，興趣廣泛，他的父親來臨安後一度出任工部郎中，後任秘書少監，掌管圖書，其下屬機構設有太史局，這使他有機會博覽群書，學習天文曆法、土木工程和數學、詩詞等。1225年，秦父又被任命為潼川（今四川三台）知府，該地靠近吐蕃部落，為邊關重地。秦父決定把家眷安置在離開臨安不遠的湖州，只攜帶了鍾愛的小兒子九韶前往赴任。九韶曾出任擢郪縣（今三台縣郪江鄉）縣尉，故也有九韶為義兵首的說法，讚許他有領兵打仗的才能。
1232年，秦九韶考中進士，先後在四川、湖北、安徽、江蘇、江西、廣東等地為官。1236年，元兵攻入四川，嘉陵江流域戰亂頻繁，在故鄉為官的九韶不得不時常參與軍事活動。在《數書九章》序言中，九韶也對這一段生活有所描述。1238年，秦九韶父喪回臨安丁憂（後移居湖州，繼續為父奔喪），見河上無橋，兩岸人民往來很不方便，於是著手設計橋梁，再透過朋友從府庫得到銀兩資助，在西溪河上造了一座橋。
橋梁興建完成後，原本沒有名字，因為橋建在西溪河上，習慣上被叫做「西溪橋」。直到元代初年，另一位大數學家——遊歷四方的北方人朱世傑（1249 ~ 1314）來到杭州，才倡議將「西溪橋」更名為「道古橋」，以紀念造橋人——他所敬仰的前輩數學家秦九韶，並親自將橋名書鐫橋頭。
道古橋一直存在到新千年之交（筆者在附近居住了 19 年，歷史上有無重建不得而知），因為西溪路擴建改造，原先的橋和溪流被夷（填）為平地（曾經有過的道古橋居委會也隨之消失），並建起高樓大廈，諸如國際商務中心、浙江省國土資源廳和黃龍世紀雅苑，只留一個公車站名——道古橋（據說有些地圖上根本未標示道古橋路）。
2005年，道古橋附近天目山路（杭州東西主幹道）南側西溪支流沿山河上修建了一座人行石橋（在杭大路的馬登橋和黃龍路的沿山河橋之間，離開道古橋原址約 100 公尺，比原先的長且寬闊）。筆者近日實地勘察，此橋跨河而建，兩岸垂柳披掛，風景優美且鬧中取靜，但至今尚未命名。故突發奇想，建議將其命名為道古橋。

二、數學大略
1244年，秦九韶任建康府（南京）通判期間，因母喪離任，回浙江湖州守孝三年。正是在這次守孝期間，秦九韶專心研究數學，完成了 20 多萬字的巨著《數書九章》（1247年 9 月），名聲從此大震，加上他在天文曆法方面的豐富知識和成就，曾受皇帝（宋理宗趙昀）召見。他在皇帝面前闡述自己的見解，並呈奏稿和「數術大略」或「數學大略」（即《數書九章》）。可以說，秦九韶是第一個受皇帝接見的中國數學家。幾年以後，河北的數學家李冶也曾三度被忽必烈召見。
《數書九章》分九卷（類），每類九個問題，可以說全面超越了古典名著《九章算術》。其中，最重要的成果無疑要數第一卷大衍類的「大衍總數術」和第九卷「市易類」的「正負開方術」。「開方正負術」或「秦九韶演算法」提出了一般 n 次代數方程正根的解法，係數可正、可負。此類方程求解原本需經 n（n+1）/ 2次乘法和 n 次加法，秦九韶將其轉化為 n 個一次式的求解，只需 n 次乘法和 n 次加法，他並給出了最高 10 次 21 個方程的例子。直到 19 世紀初，這一演算法才被英國數學家霍納（Willian George Horner）發現，稱霍納演算法（Horner scheme），即便在電腦時代的今天，秦九韶演算法與霍納演算法仍有重要的意義。
「大衍總數術」提出了孫子定理的一般表述。大約在西元四、五世紀成書的《孫子算經》裡有所謂的「物不知數」問題。即「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」「答曰二十三」。換句話說，孫子只是提出了一個特殊例子。然而，在江蘇淮安的民間傳說裡，這個故事可溯源到西元前二、三世紀西漢名將韓信點兵的故事。
話說秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信率兵與楚軍交戰，在這一場苦戰中，漢軍死傷數百，於是整頓兵馬返回大本營。當行至一處山坡，忽報楚軍騎兵追來，只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。此時漢軍已十分疲憊，韓信令士兵 3 人一排，結果多出 2 名；接著令 5 人一排，結果多出 3 名；再令士兵 7 人一排，又多出 2 名。韓信當即宣布：我軍1,073名勇士，敵人不足五百。果然士氣大振，一舉擊敗了楚軍。
用現代數學語言來描述「大衍總數術」就是：設有 k 個兩兩互素的大於 1 的正整數 ，其乘積為 M，則對任意 k 個整數 ，存在唯一不超過 M 的正整數 x，x 被各個 相除所得餘數依次為 。秦九韶並提出了求解的過程，為此他發明了「輾轉相除法」（歐幾里德演算法）和「求一術」。後者是指，設 a 和 m 是互素的正整數，m 大於 1，可以求得唯一不超過 m 的正整數 x，使得 a 和 x 的乘積被 m 除後餘數為 1。
遺憾的是，由於古代中國沒有質數的概念（要到清朝康熙年間才有，叫數根），且當時的用途並非在理論上，主要用於解決曆法、工程、賦役和軍旅等實際問題，秦九韶對他發現的定理沒有提出嚴格的證明。但對求解型的定理來說，這個並不十分重要。實際上，他還允許模非兩兩互素，並給出了可靠的計算程式將其化為兩兩互素的情形。
此外，秦九韶還給出了「三斜求積術」，此乃著名的海龍公式（Heron's formula, 已知三角形的三條邊長求面積）的等價形式。在第二章天時類，秦九韶提出了曆法推算和雨雪量的計算。在南京北極閣氣象博物館裡，有古代著名氣象學家的雕像，其中也有秦九韶，雕像旁邊寫著：他用「平地得雨之數」量度雨水，在世界上最早為雨量測定奠定了科學理論依據。

三、享譽歐洲
1801年，數學王子高斯的名著《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）的第二篇第七節裡，也提出了上述「大衍求一術」，此前瑞士數學家尤拉已做了深入研究，但他們都不知道中國的數學家早已經有這個結果。直到1852年，秦九韶的結果和方法被英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie, 與清代數學家李善蘭合作譯完歐幾里德《幾何原本》）譯介到歐洲，他的論文《中國科學史劄記》在歐洲學術界受到廣泛關注，並被迅速從英文轉譯成德文和法文，此文同時也介紹了秦九韶演算法。至於何時何人命名了中國剩餘定理，仍是個未解之謎，但應不晚於1929年。
嚴格來講，孫子定理應稱為秦九韶定理，或孫子—秦九韶定理。之所以被命名為孫子定理，應與下文要講的秦九韶的道德疑難有關。而據筆者的先師潘承洞教授分析，西方人之所以稱其為中國剩餘定理，是因為古代中國數學家注重計算，缺乏理論建樹，因而是一種輕視。無論如何，這都可以說是中國人發現的最具世界性影響的定理，是中外任何一本基礎數論教科書不可或缺的，同時也被拓廣到另一數學分支——抽象代數裡面。此外，還被廣泛應用到密碼學，數值分析裡的多項式插值計算，哥德爾不完備定理（Godel's Incomplete Theorem）的證明，以及快速傅立葉變換理論（Fast Fourier Transform, FFT）等諸多領域。
德國著名數學史家康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）讚揚秦九韶是「最幸運的天才」，這是因為當時西方尚未為這個命題命名。此前法國大數學家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）也是這樣稱讚牛頓的。拉格朗日認為，發現萬有引力定律只有一次機會。有著「科學史之父」美譽的美國科學史家薩頓（George Sarton）甚至認為，秦九韶是「他那個民族，他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一。」2005年，牛津大學出版社（Oxford University Press）出版了《數學史，從美索不達米亞到現代》，該書重點介紹的十二位數學家中，秦九韶是唯一的中國人。
秦九韶造橋的故事，堪與英國數學家牛頓造橋的故事媲美。現今劍橋大學的皇后學院（Queens' College）內，流經的劍河（River Cam）上有一座橋叫數學橋（Mathematical Bridge），只因傳說原橋設計師是 17 世紀的數學家牛頓。據稱，牛頓造橋時沒用到一根釘子，後來有好事者悄悄把橋拆下來，發現真的是這樣，卻再也無法安裝回去，只好在原址重新造了一座橋，至今仍是一處名勝，可以說是到訪劍橋旅客的必遊之地。
相比之下，道古橋的故事不僅更為古老（比牛頓早四個世紀），且與兩位古代大數學家有關（可惜當年宣傳甚少，甚至杭州多數數學工作者都不知道，道古即秦九韶）。如果這座橋得以（重新）命名，應酌情在橋頭設立一塊石碑（此建議後來被杭州市政府採納，並請數學家王元先生題寫了橋名），必將為杭州這座歷史文化名城增添一處不可多得的科學人文景觀。

四、道德疑難
必須要指出的是，由於秦九韶的學術成就未被同代人認識，加上一些不好的傳聞和描述，稱其貪贓枉法、生活無度，甚至犯有人命、泯滅人性，他在晚年和後世成了一個有爭議的人物。所有宋史和地方誌都未為秦九韶列傳，他的名字和橋名時隱時現，後裔也下落不明。不僅中文數論教科書裡不曾出現他的名字，中國校園裡也只張貼或雕塑祖沖之的像，甚至英國廣播公司 BBC 製作播出的四集紀錄片《數學的故事》（The Story of Maths），在誇讚他的學術成就之餘（秦九韶是唯一提及的中國數學家），也渲染其道德污點。
經筆者多方求證和討教，得知有關秦九韶的傳聞主要有兩個出處，其內容大有互通。福建詩詞家劉克莊《後村先生大全集》中的〈繳秦九韶知臨江軍奏狀〉（1260）在前，比秦九韶小 30 歲的湖州文人周密《癸辛雜識．續集》中的〈秦九韶〉（共兩頁，癸辛是杭州的街名，宋亡後周密留居此地）在後，後者曾被清代的《四庫全書》列入「小說家之類」流傳。
到了嘉慶年間，文理兼備的揚州學派著名學者焦循、阮元，以及晚清湖州藏書家陸心源等人相繼批駁周密，指其造謠誹謗，始有人為秦九韶列傳。而劉克莊晚年趨奉賈似道，被認為諛詞諂語，連章累牘，為人所譏。1842年，《數書九章》由曆算名家宋景昌校訂後，第一次印刷出版，結束了近600年的傳抄史。之前，其抄本先後被收入明代的《永樂大典》和清朝的《四庫全書》。在傳抄過程中，一度被稱為《數學九章》，後被明末戲劇家王應遴定名為《數書九章》。從這個意義上，《數書九章》堪與荷馬史詩媲美。
在此需要指出的是，吳潛和賈似道是宋理宗時一奸一忠的宰相，秦九韶和劉克莊分別與兩人過從甚密。吳潛出身狀元，以正直無私、憂國憂民、忠義愛國聞名，還是一代詞人、水利專家和抗倭英雄；賈似道惡貫滿盈，卻是皇帝寵愛的貴妃的同父異母弟弟，人稱蟋蟀宰相。1261年，秦九韶去世那年，年高七旬的吳潛被賈似道羅織罪名，再度被罷免宰相，流放循州（今廣東龍川），與秦九韶的謝世地梅州（今梅縣）相去不遠，次年便暴病身亡（疑被投毒）。
吳潛是安徽寧國人，那裡與湖州毗鄰，秦九韶在巴州任職時便與之相識，後一同在湖州為母丁憂。或許，秦九韶這位異鄉人，在吳潛贈送的地基上建起的房子有些奢華，引得湖州當地文人周密的嫉妒。除了擅長作詞以外，周密還愛好史學、畫帖、醫學，甚至算學。他的《志雅堂雜鈔》也是一本雜書，有趣的是，裡頭居然有韓信點兵的描述，他稱之為「鬼谷算」或「隔牆算」。
另一方面，秦九韶的駢儷詩詞也頗有造詣，並曾得著名詞人李劉指點，因此也不排除文人相輕的可能性。秦九韶的遭遇無疑是政治鬥爭的犧牲品，他生命的最後 6 年是在梅州度過的。筆者曾專程前往該地，只見周圍群山環抱，城內主要街道栽滿了榕樹。我想起造紙術的發明人蔡倫，他和秦九韶在科學、技術上的成就，在中國古代無人可以匹敵，下場卻同樣淒涼。蔡倫因為發明造紙術被封侯，晚年在寵愛他的皇太后過世後，遭到她的政敵毒死。
有意思的是，後來曾有無名氏作〈長相思〉：「去年秋，今年秋，湖上人家樂復憂，西湖依舊流。 吳循州，賈循州，十五年前一轉頭，人生放下休。」也就是說，15年以後，賈似道與吳潛也被貶同一地方，且途中被富有正義感的監押官殺死。到了清代，吳潛的後裔吳魯又考中狀元、光宗耀祖，吳氏家族多居住在福建，其中泉州塗門街的吳氏大宗祠又名「東觀西台」。至於，秦九韶的最後歲月、下葬地及其後裔，仍無從知曉。
值得一提的是，《數書九章》裡有一幅著名的插圖，是用來計算圖中的寶塔塔尖高度的，通過觀察角度的調整和正切函數的運用，便可以求得。這座寶塔與湖州城內的唐代古寺飛英寺裡的飛英塔造型相似，此塔內是石塔、外是磚木塔，因為塔中有塔而別具一格，屬於全國重點文物保護單位。雖然內塔和外塔分別建於唐代和北宋年間，但在 12 世紀前後遭到拆毀，現在的塔重建於 13 世紀 30 年代，剛好在秦九韶寓居湖州之前。

五、世界本原
最後，我想談談秦九韶為《數書九章》這部唯一著作所作的序詩（每卷一首）和序言。第一卷是大衍類，即最有價值的一次同餘式求解理論。他在這卷序詩裡寫道：「巍巍崑崙，氣勢磅礴；世界本原，在於數學。」第二卷是關於天文曆法，序詩曰：「七大行星，蒼穹迴旋；世間諸事，變化多端。」第三卷是關於土地面積測量，序詩的開頭是「百姓雖小，當放首位；審時度勢，以觀世界。」
接下來的幾卷，先後涉及測量計算、運輸稅收、糧穀容積、建築施工、軍需供應、交易利息等。在賦役一卷中他寫道：「當官的要施仁政，為民著想， 設身處地，猶如自己挨餓受災。如果賦稅徭役分配不均，難道能讓人心安理得嗎？」因此可以說，這部著作不只談論數學，還涉及自然現象和社會生活，成為後人瞭解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻。
在〈錢谷〉一卷，序詩更是針砭時弊，有理有據。「納糧上稅，要看等級，糧食入庫，要看時節。一粒粒粟，一寸寸絲， 都是男女勞動所得。」「達官貴人相互攀緣，欺榨百姓，大小貪官，用盡心機。」「治理財政，理當猶如智者治水。正本清源，有條不亂，治標治本，消除隱患。」「那些昏官視而不見，人民悲慘，用刑不斷。離開理智愈來愈遠，為官不仁！可歎、可歎！」
在序言的開頭，秦九韶便提到，周朝數學屬於「六藝」（禮、樂、射、御、書、數）之一。人們因為要認識世界的規律，產生了數學，學者和官員們歷來重視、崇尚數學。從大的方面說，數學可以認識自然，理解人生；從小的方面說，數學可以經營事務，分類萬物。秦九韶堅信，世間萬物都與數學相關，這與古希臘的畢達哥拉斯學派不謀而合。
這也正是數學吸引秦九韶的地方，他向學者、能人求教，深入探索數學之精微。「我在青少年時代曾隨父親到過都城臨安，有機會訪問國家天文臺的曆算家，向他們學習曆算。此外，我還從隱君子那裡學習數學。」這裡的隱君子並非指吸毒（煙）成癮的人，而是指隱居逃避塵世的人。其時，元軍入侵四川，秦九韶有時不得不在戰亂中長途跋涉，可是他仍不忘鑽研數學。
秦九韶也感歎，數學家的地位和作用，而今不被人們所認識，其實他主要指的是純粹數學和暫時無法用到的方法技巧。他認為，數學這門學問遭到鄙視，算學家只被當作工具使用，這就猶如製造樂器的人，僅僅撥弄出樂器的聲音。「原本我想要把數學提升到哲理（道）的高度，只是實在太難做到了。」由此我們可以推斷，這是一位有思想有品味的人，與傳言中的秦九韶實難相符。時光流逝了 7 個多世紀，秦九韶的道德污點也成為古代中國科學史上最大的疑案。

2012年5月，杭州初稿
2013年8月，修改

秦九韶，道古橋與《數書九章》

那裡有數，那裡就有美。
——普羅克洛斯

一、新道古橋
杭州城內，離開西湖北岸的寶石山不遠，有一條小路叫西溪路。在西溪路的東段，與杭州路的交叉口西側（也在浙江大學西溪校區與玉泉校區之間，靠近西溪校區），有一座石橋，叫做道古橋。始建於南宋嘉熙年間（1237 ~ 1241），初名西溪橋。南宋咸淳初年《臨安志》有載：「西溪橋，本府試院東，宋代嘉熙年間道古建造。」這個造橋的道古不是別人，正是南宋大數學家秦九韶，道古是他的字。
秦九韶（1202 ~ 1261）祖籍河南範縣，該縣位處魯豫交界處，縣...

出版序
2004年，在《數字與玫瑰》簡體版（北京三聯書店）出版一年後，正體版即由高談文化出版公司推出。之後，此書又曾以《左手數學，右手詩》（信實文化）的面目出現。與此同時，博志文化也推出了兩卷本的拙作《漫遊，一個旅行者的詩集》和《飛行，一個詩人的旅行記》。

讓人高興的是，在首部正體版問世剛好十周年之際，我的隨筆集《數學家忙什麼》（原名《難以企及的人物——數學天空的閃耀群星》）修訂版得以在臺灣面世。在此我要特別感謝兩位諾貝爾獎得主——物理學家楊振寧先生和作家莫言先生，他們獲悉修訂版即將付梓的消息，熱情地為本書撰寫了推薦語。

本書簡體版由廣西師範大學出版社和貝貝特公司製作（2009），部分篇目被譯成五、六種文字，並曾在《美國數學會會志》（Notices of Amer. Math. Soc.）等名刊發表。同時又經專業播音員朗誦，製作成配樂散文在網上播放。去年春天，她獲得了三年一度的高等學校科學研究優秀成果獎，此獎被認為是大陸文科學術的最高獎項。

另一方面，在浙江大學有關部門和同學們的支持下，以此書內容為主要依據，兼顧另兩部拙作《數學與人類文明》和《數字與玫瑰》，拍攝了十講公開課「數學傳奇」，介紹了九位偉大的數學家。有望在今年正式成為教育部精品視頻公開課，向全球華人展示，十分期待大家的批評和指正。

此次修訂，添加了《阿基米德，數學之神》、《秦九韶，道古橋和「數書九章」》和《馮．諾伊曼：因為他，世界更加美好》三篇文章。其中，南宋數學家秦九韶的道德疑案是個敏感的話題，為此花費了較多的精力。同時，我也對部分舊作進行了修潤，例如《高斯，離群索居的王子》和《數學家與政治家》。

讓我欣慰的是，通過對經典數學家的探究，提升了自己的數學眼界和想像力。過去三年來，我對一些經典數論問題作了深入研究，拓廣了諸如完美數問題、華林問題、費馬大定理、哥德巴赫猜想、同餘數等問題。其中，華林問題的研究結果被菲爾茲獎得主貝克贊為「真正原創性的貢獻」（truly original contribution）。

再來看最古老的完美數問題，歐拉給出了偶完美數的標準形式，與著名的梅森素數等價。雖然很多大數學家在這個問題上費盡腦力，我們卻幸運地率先獲得二階完美數的等價形式，它（無論奇偶）是兩個相隔一項的斐波那契素數的乘積，借此我們得到了5個完美數，其中後兩個已是天文數字。

最後我想提及的是，過去三年來，中國數學會每年都在不同城市舉辦數學文化論壇，海內外十來位同道更是不遺餘力創辦了《數學文化》季刊。如同數學王子高斯的終生好友、匈牙利數學家沃爾夫岡．鮑耶所言，「很多事物仿佛都有那麼一個時期，屆時它們在許多地方同時被人們發現了，正如在春季看到紫羅蘭處處開放一樣。」

我們期待數學文化這朵奇葩開得更加鮮豔，同時希望臺灣和海外的讀者喜歡這本書。

蔡天新，杭州西溪
2014年元月

出版序
2004年，在《數字與玫瑰》簡體版（北京三聯書店）出版一年後，正體版即由高談文化出版公司推出。之後，此書又曾以《左手數學，右手詩》（信實文化）的面目出現。與此同時，博志文化也推出了兩卷本的拙作《漫遊，一個旅行者的詩集》和《飛行，一個詩人的旅行記》。

讓人高興的是，在首部正體版問世剛好十周年之際，我的隨筆集《數學家忙什麼》（原名《難以企及的人物——數學天空的閃耀群星》）修訂版得以在臺灣面世。在此我要特別感謝兩位諾貝爾獎得主——物理學家楊振寧先生和作家莫言先生，他們獲悉修訂版即將付梓的消息，熱...

推薦序
出版序

1. 畢達哥拉斯之謎
2. 阿基米德：數學之神
3. 奧瑪．海亞姆的世界
4. 秦九韶，道古橋與《數書九章》
5. 隱居的法國人：笛卡兒與帕斯卡
6. 費馬最後定理
7. 牛頓在他的瘟疫時期
8. 萊布尼茲：難以企及的人物
9. 他停止了生命和計算——紀念尤拉誕辰300周年
10. 高斯：離群索居的王子——紀念《算術研究》發表200周年
11. 龐加萊：第四維、立體主義與相對論
12. 希爾伯特：一個時代的終結者
13. 拉曼紐揚：一個未成年的天才
14. 馮．諾伊曼——世界因為他更加美好
15. 黑暗時代的智慧火種
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17. 數學家與詩人
18. 數學家與政治家

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