數之女王

※※※
在今天日落的前一刻，到果園最東處。
然後，沿著最北邊的樹影，走到城牆邊。從樹影與城牆交叉處最下方的牆石開始，往右數一個特定數字的石塊。這個數字為「『除了自己之外的所有因數和』比自己大的數之中，第三小的數」。
取走那個石塊，拿走埋在該處的物品。記得別被任何人看到。夜深時，在房間內不顯眼的地方掛起此物，映照全身。
※※※

娜婕倒吸了一口氣。娜婕看得出來，這張紙條是故意寫成只有自己看得懂的樣子。但是察覺到這件事後，又讓娜婕更為混亂。因為會寫這種紙條給自己的人只有一個。

——畢安卡？不，不可能是她。但是……。
娜婕回想自己跟畢安卡在當「算童」時，一有空兩人就會玩起「數字遊戲」。雖說是遊戲，但其實每次都是畢安卡出題，娜婕回答。畢安卡出的問題都很有趣。比方說，有一次畢安卡出了這樣的問題。

「娜婕，妳可以不使用石板計算48×52嗎？」
娜婕想了一下，然後搖搖頭。
「這題要是沒有石板，我就不會算了。」
「其實有一種簡單的方法可以算出答案喔。」
「咦……什麼方法呢？」
「48是50–2，而52是50+2對吧？」
「對。」
「50–2乘上50+2，會等於50×50減去2×2喔。」
「真的嗎？」
「真的，妳試試看。」
「我來算算看……首先50×50是2500，2×2是4，而2500–4是2496？這就是48×52的答案嗎？」
「來確認看看吧。把這個數除以48，應該會得到52才對。」
娜婕用木棒在地面上寫出數字，用2496除以48。
「那個，答案是……52。真的耶！畢安卡妳好厲害！」
娜婕邊說邊抬起頭，看到畢安卡露出得意洋洋的笑容。畢安卡說過，即使是看起來很困難的計算，只要稍加變換，就會變得簡單許多。

當時在玩「數字遊戲」的時候，娜婕並不知道王妃禁止一般人計算數字。換言之，她與畢安卡玩數字遊戲的事，絕對不能被其他人知道。在這個國家，就連計算數字這件事都相當危險。這表示，寫這張紙條給娜婕的人，也冒著相當大的風險。

——為什麼要冒著那麼大的風險，傳遞訊息給我呢？
娜婕正開始思索這個問題時，發現下午的工作時間快到了。於是她趕緊把紙條放入懷中，回到宿舍。

※※※

她現在要織的寬布，將用來縫製王妃在生日宴會上穿的禮服。花樣比以往複雜許多，必須集中精神才行，要是有一個地方織錯了，就會影響到其他部分。娜婕努力操作織布機，總算完成了今天的進度。接著她開始織起有許多裝飾的窄布，同時思考紙條上的事。這時候太陽已經西斜，她必須在日落前想到「『除了自己之外的所有因數和』比自己大的數之中，第三小的數」是哪個數才行。

——某數的「因數」，就是可以整除該數的數，對吧？
這表示判斷該數是否為另一個數的因數時，要用到除法。娜婕對自己的除法計算能力很有自信。當然，在算童工作結束後，她就不曾在別人面前做過計算。不過在織布的時候，多少還是會用到，熟練的織布者應該都有一定程度的心算能力才對。王妃自己不會織布，所以不曉得這件事。
娜婕一邊操作織布機，一邊想著紙條上的問題。

——這時候，應該要從最小的數開始驗證。
首先是1，可以整除1的數只有1自己。不過題目的條件是「除了自己之外的所有因數和」，1「無」自己之外的因數。「無」的總和是什麼呢？是0嗎？這麼想好像有點奇怪，不過就算硬是將「無的總和」視為0，因為0比1小，所以1並不是題目要的數。

再來是2，對2來說「除了自己之外的因數」只有1而已，所以2也不是娜婕要的數。接下來的3也和2一樣。那4又如何呢？就4而言，「除了自己之外的所有因數」包括1和2。1加2等於3，3比4小，所以4也不是題目想找的數。5也不是。

思考6是否符合條件時，娜婕開始覺得有趣了。就6而言，「除了自己之外的所有因數」包括1、2、3，總和為6。也就是說，6與「除了自己之外的所有因數和」相等。

接著，7到11之間也沒有一個數符合這個條件。到12時，狀況終於出現改變。12的因數很多，除了12自己以外，還有1、2、3、4、6等五個，總和為16，比12大。

——終於找到「第一個」了。
娜婕重新以同樣思路找到的「第二個」數是18，18的因數包括1、2、3、6、9，總和為21。接著「第三個」是……。
——20？
娜婕重新確認了好幾次。20「除了自己之外的所有因數」包括1、2、4、5、10，總和為22，符合條件。
「啊！」

不知不覺已經到了黃昏。娜婕急忙把織布工作收尾，自庭院飛奔而出。她跑到果園，沿著最東邊的一整排樹，找到最北邊的一棵樹。那棵樹的長影往城牆延伸，長影尾端越來越細，最後與城牆交叉。娜婕找到交叉處最下方的石頭。
娜婕從這裡開始，沿著城牆往右算20顆，終於找到她要的石頭。牆上這顆石頭從外觀上和周圍的石頭沒什麼不同，不過用手觸摸就會發現，只有這顆可以移動。看來這顆石頭應該可以取下。

娜婕往上看，確認城牆上沒有衛兵看著這裡。再看向背後，不過身後的雜草相當高，從遠方根本看不到她的身影，而且附近一個人影都沒有。

娜婕徒手挖開那顆石頭底下的泥土。挖了一陣子之後，碰到某個堅硬的東西。沾滿泥土的布包裹著一個圓盤狀物體，大約是雙手可以捧住的大小。她撥去布上的泥土，小心取出內容物。
——是鏡子。
那是一面奇怪的鏡子。表面磨得很光滑，卻映照不出任何東西。寫紙條的人把這個鏡子交給她，到底要做什麼呢？總之先回房間再說吧。娜婕用布重新包好鏡子，仔細收在懷裡，像是做了什麼壞事一樣，心中相當不安。她匆忙走回宿舍，準備進門。

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在今天日落的前一刻，到果園最東處。
然後，沿著最北邊的樹影，走到城牆邊。從樹影與城牆交叉處最下方的牆石開始，往右數一個特定數字的石塊。這個數字為「『除了自己之外的所有因數和』比自己大的數之中，第三小的數」。
取走那個石塊，拿走埋在該處的物品。記得別被任何人看到。夜深時，在房間內不顯眼的地方掛起此物，映照全身。
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娜婕倒吸了一口氣。娜婕看得出來，這張紙條是故意寫成只有自己看得懂的樣子。但是察覺到這件事後，又讓娜婕更為混亂。因為會寫這種紙條給自己的人只有一個。

——畢安卡？不，不...

洪萬生
臺灣數學史教育學會理事長

根據文類指標，本書除了冒險內容、奇幻情節的風格之外，最顯著的特色，莫過於作者也展現了數學小說的敘事書寫。我這篇推薦短文，就打算從這個面向切入，來分享我的閱讀心得。

首先，本書作者川添愛應該贊成我在此所做的分類。因為她在書末「解說」中，特別針對本書各章所提及的數學知識（或概念），提供了一個簡要的說明。項目依序如下：因數、質數、合數、質因數分解、過剩數、不足數、完全數、友愛數、費波那契數列、費馬小定理、偽質數、卡麥克爾數、質數生成方式、卡布列克數、三角數、循環數、梅森數、梅森質數、畢達哥拉斯質數、盧卡數列，以及考拉茲猜想。如果作者只是運用這些概念設計數學問題，然後在「做數學」脈絡中求解，那麼，這種「乾澀」的敘事大概無從引起我們的共鳴。相反地，作者試圖「從這些概念編織出實際的故事」。因此 ，本書敘事足以見證她的自白：「不要用其他東西來暗喻『數』，而是讓『數』以原本的樣子在故事中登場」。

這樣一來，數也變成了本書角色，依其概念自主（autonomy of concept）特性來推動情節的發展。因此，在閱讀這個十分吸引人的故事時，讀者絕對會不自覺地參與其中知識活動，從而對相關概念萌生進一步探索的好奇心。由此看來，本書當然也有數學普及的功能。

現在，我要從本書引述一段情節，來印證川添愛的精彩敘事。她一開始就假設「數之女王是萬物之源，是母之數，是至高神」。其次，「母之數賦予每個『子民』一個數，那是生命本身，也是形塑生命形體的命運數。」然後她又進一步補充：「不管是人類還是我們妖精，都由兩個身體組成。一個是眼睛看得到的『肉體』，另一個是由命運數形成的『數體』」。在本書中，王妃的武器「食數靈」吃的就是這個數體。由於「在肉體與數體交互作用下，生命才得以存在」，因此，「要是其中一個被破壞，另一個也會消失」。

本書將王妃的長男里夏爾特與養女娜婕的命運數設定成互為友愛數。友愛數（amicable number）是目前數學小說敘事的新寵，不過，在本書中，作者卻賦予了全新的詮釋，讓這個未解的數學難題（數學家迄今還不知有多少個友愛數），有了非數學專家也可以敘說的「故事」，這是川添愛的創意，非常令人激賞！

由於受限於篇幅，我無法在此指出本書更多有關「數」的合理實作或論證。事實上，相較於其他的數學普及作品，本書數學角色扮演（或概念推演）還充斥著冒險與奇幻的效果，足見數學敘事的更多可能發揮空間。我要鄭重推薦本書，因為它針對數學角色的小說敘事，啟發我們認識數學更多的有趣面向。

洪萬生
臺灣數學史教育學會理事長

根據文類指標，本書除了冒險內容、奇幻情節的風格之外，最顯著的特色，莫過於作者也展現了數學小說的敘事書寫。我這篇推薦短文，就打算從這個面向切入，來分享我的閱讀心得。

首先，本書作者川添愛應該贊成我在此所做的分類。因為她在書末「解說」中，特別針對本書各章所提及的數學知識（或概念），提供了一個簡要的說明。項目依序如下：因數、質數、合數、質因數分解、過剩數、不足數、完全數、友愛數、費波那契數列、費馬小定理、偽質數、卡麥克爾數、質數生成方式、卡布列克數、三角數、循環數...