大域微分幾何（中）：活動標架法（二版）

中卷前言

中卷的主題是活動標架法。含三篇
篇四　張量的微積分
篇五　Riemann幾何的結構
篇六　活動標架法與大域幾何
共九章，即Ch.13-21。

微分幾何處理的對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

本書中卷先介紹張量的微積分，我們從平均的視角出發，引入均曲率、divergence、與Laplacian，使這些概念具有幾何的直觀，而不只做抽象的定義。活動標架法(moving frames)是處理彎曲空間簡潔而有效的方法，也是中卷的主題。

活動標架法的基本概念是微分式(differential form)。在本書上卷前篇的章B中，我們已經鋪陳ℝn中的微分式，並看到它如何被運用、被拿來有效而漂亮的計算出n度球ℝ、Clifford環面、與Lorentz雙曲面ℍn的Gauss曲率（高維時稱為截曲率）。這是截曲率為常數，而且分別為正、零與負值的三種典型。

微分式是一階世界的概念，不屬於零階世界，亦即：在一個點的微分式，必須把那個點附近的無窮小範圍，放大無窮多倍，這時我們才看得到微分式。例如微分式ω在一塊面域D上的積分，如果用這樣的方式了解，便一目瞭然：原來微分式可以從積分符號中剝落出來，成為一個獨立的概念[篇四，參見Ch.15,§7]。把無窮小世界的微分式，在一塊面域D上的無窮多點「累加」，就得到ω在D上的積分值。微分式ω本身，例如：ω=dxdy是一個獨立游走的概念。這涵意是深遠的。

當然，向量場本身也是一階產物，但因它與零階世界放在一起，直觀上還一目瞭然，所以問題不大。但微分式放到高階世界來了解，相對容易養成直觀，尤其取了外微分之後。

古典的張量分析(tensor analysis)與向量場的共變微分，是處理彎曲空間的一種直接而廣泛沿用的方法，它們容易懂，但不好算。微分式則反過來，不好懂，但容易算，算起來尤其簡潔有效。而且一旦掌握，更可以用來分析彎曲空間(亦即Riemann流形)的幾何結構[篇五]：從建立結構方程開始，清楚的洞悉Riemann流形的局部性質。這件事在上卷曲面論基本定理[Ch.4, §2]中，討論高維超曲面的存在與唯一的時候，已經鋪陳了伏筆。到中卷篇五，藉由Ch.16子流形的結構方程、Ch.18活動標架法的運算基礎、與commutation formula這三樣重要題材，我們進一步把彎曲空間的局部幾何徹底釐清。從這裡借助invariance，躍入大域世界：1943年陳省身漂亮的運用moving frames，給予高維Gauss-Bonnet定理一個內在證明，開啟了大域幾何的紀元。這是篇六的第19章。

就這樣，我們走進篇六，討論活動標架法在大域幾何的重要應用。我們引入Bochner著名的的技法，證明幾個經典的大域定理，如Lishnerowicz、Bochner、Hopf-Alexandrov、Minkowski、Reilly等人的貢獻。

最後一節[Ch.21, §2]我們特別提到Obata定理，其中一個原因是Obata讓我們又細細回顧古典曲面論與測地線變分的技法，把它拿來處理某類Riemann流形M在Laplacian特徵值λ1取得最小的狀態（即敲音最低沉時）。證明此時Riemann流形M必定是最勻稱的n度球，這是球面一個深刻的特徵定理。

中卷前言

中卷的主題是活動標架法。含三篇
篇四　張量的微積分
篇五　Riemann幾何的結構
篇六　活動標架法與大域幾何
共九章，即Ch.13-21。

微分幾何處理的對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

本書中卷先介紹張量的微積分，我們從平均的視角出發，引入均曲率、divergence、與Laplacian，使這些概念具有幾何的直觀，而不只做抽象的定義。活動...

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

1、

這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。

另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。

2、

初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。

今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。

目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。

但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。

中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。

我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。

3、

眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。

這章主題是處理cmc曲面（hypersurface）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。

我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。

但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。

這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

1、

這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民...

中卷前言
《大域微分幾何》三卷書二版序

中卷　活動標架法

篇四　張量的微積分

第13章　平均的概念
第14章　子流形，均曲率與Laplacian
第15章　外微分與Divergence定理

篇五　Riemann幾何的結構

第16章　結構方程
第17章　張量的共變微分
第18章　活動標架法的運算基礎

篇六　活動標架法與大域幾何

第19章　高維流形的Gauss-Bonnet-Chern定理
第20章　Bochner's Technique
第21章　Laplacian的特徵值

附錄
全書參考文獻
全書索引

中卷前言
《大域微分幾何》三卷書二版序

中卷　活動標架法

篇四　張量的微積分

第13章　平均的概念
第14章　子流形，均曲率與Laplacian
第15章　外微分與Divergence定理

篇五　Riemann幾何的結構

第16章　結構方程
第17章　張量的共變微分
第18章　活動標架法的運算基礎

篇六　活動標架法與大域幾何

第19章　高維流形的Gauss-Bonnet-Chern定理
第20章　Bochner's Technique
第21章　Laplacian的特徵值

附錄
全書參考文獻
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