【新裝版】3小時讀通牛頓力學

日常生活中，到處都是力學實驗室

我們即使什麼都不做，只坐在椅子上，也有地球重力造成的力的效果。騎腳踏車前進，能體驗到地表上幾乎所有的運動狀態。搭電梯，可以在短時間內體驗到重力變化形成的運動。此外，去遊樂園搭乘騎乘玩具中最具代表性的雲霄飛車，還可以體驗到日常生活中體驗不到的力學現象。

第一章裡簡單地書明了本書欲涵蓋的事情，以及與其關聯的我們日常生活上體驗得到的事情。所以，幾乎沒有使用最被大家所懼怕的數學公式。

可惜的是，第二章以後數式與計算就會跑出來。這，我建議各位實際棟棟看身體與自己的感覺做比較，或是騎會兒腳踏車確認一下運動的狀態。

力學是將事情單純化，假設這樣就只會變成這樣的法則，套用法則去思考現象。將視情單純化，可能會出現很多不符合現實狀態的理想假設，例如：不考慮摩擦、不考慮抵抗力。所以，若各位感到理想假設下的計算結果與現實不符，可以將該答案想成1.5倍、2倍、1/1.5倍、1/2倍試試看。這種方法稱作補正，並非隨便湊數。

橡皮筋，廚房的磅秤，腳踏車，使用類似這種身邊的東西來做實驗看看吧。

能量是作功的能力－能量的形式和能量守恆

在力學裡定義能量為作功的能力。這裡作功的能力是什麼呢？

對準已經部分釘進木板內的釘子的頭部，手握鐵球舉起至某一高度後放手讓鐵球落下與釘子碰撞，釘子則被完全釘入木板內。透過這一連串的動作思考鐵球的活動，一度舉起而作功，然後落下，作功將釘子釘入。也就是說，被舉起直到碰撞到釘子的前一刻為止，鐵球存在於「能夠作功的狀態，但實際上未作功」。能夠但是不作，這代表作功的能力，亦即能量。
位於高度h的物體持有的能量稱為位能U。其大小以物體的重量x高度表示之，與功有相同的單位「J(焦耳)」。位於同樣高度，質量2m的鐵球相較於質量m的鐵球具有兩倍的位能。使鐵球落下則高度減少，位能也減少。但是，高度h的位置靜止速度v0=0的鐵球，相對位能的減少，得以速度v增加。運動中的物體具有的能量稱為動能T，位能減少的部分轉換成動能。高度h變為0時速度也達到最大速度vl，鐵球於高h處時所具有的位能全數轉換為動能。在此提及的位能與動能的總和稱為力學能量。落下中的鐵球其位能減少的部分轉換成動能，能量的總和並無變化。此為力學的能量守恆定律。

汽車發動、行駛到停止加速度運動

加速度運動，是物體從高處落下，也是汽車發動加速的運動，讓我們從牛頓力學的角度來探討。

假設你開著車，於紅燈P點停止(圖1)。路上交通量很少且視野很好，直線200公尺的遠方你看到一個停止標誌。當交通訊號變綠燈，你以某一程度加速，並以定速度行駛一段時間後，再以某一程度減速，於停止線前停下車子。

圖1的時間—速度線圖中，以圖示再現了你剛才的駕駛狀況。從P點發動進行加速運動，及到Q點之前減速運動，兩者均屬於加速度運動。維持一定速度行駛的運動，是前面已經說明過的等速度運動。

在加速度運動中，每單位時間的速度變化率稱為加速度a。加速度a，使用現象的變化量delta，定義為速度的變化量delta v除以時間的變化量delta t，即定義為delta v / delta t。加速度的單位為速度(m/s) 除以時間(s)，故為(m/s^2)(meter per square second、公尺每秒每秒)。

如圖2中①所示，從P點發動後的加速運動稱為正加速度運動，一般而言會省略「正」的文字敘述，直稱為加速度運動。如②中所示，Q點之前的減速運動稱為負加速度運動。再者，單點測量變化中的速度，可求得該點的瞬間加速度，以一定的加速度a持續加速的運動稱為等加速度。等加速度運動的時間—速度線圖，呈現斜直線。
斜向彈性碰撞－平面的碰撞

至前一節為止，我們探討了直線上的物體碰撞。在這一節我們要來學習平面的物體碰撞。

在圖之①中，試求以速度v在不考慮摩擦的地面發生斜向碰撞，物體的反彈速度v’。(a)為恢復係數為1，故-vy，(b)為恢復係數不滿1的情形，故為-evy。(a)反彈速度v’為vx與-vy的合成速度，(b)的反彈速度v’為vx與-evy的合成速度，求解。

在②中，碰撞前的動量為m1v1的物體1及m2v2的物體2發生的斜向碰撞。將V1與v2分別以x軸方向與y軸方向分解，以5-6節中的v1’與v2’的公式，求解v1x’與v1y’、v2x’與v2y’，並計算其分別合成的v1’與v2’。

在③中為兩物的彈性系數e=0時的碰撞(融合)範例。將數值簡單化，試求實際碰撞後的向量。動量均為2mv，交角60度的兩個物體，碰撞後融合成一體以速度V運動。試求速度V。

將動量的向量組合，形成一個四邊長均為2mv的60度夾角的菱形。菱形的對角線即為合成碰撞後的動量向量，故可知向量的作用線在夾角60度的二等分線上。碰撞後的質量為2m+m=3m，速度為V，則碰撞後的動量為3mV。菱形的對角線長度為2mv cos 30度的二倍，即3mV = 2 x 2mv cos 30度，可求得碰撞後的速度V。

打棒球與飛機的行進—動量的思考

目前為止我們探討了碰撞運動，其中不可或缺的碰撞問題，是打棒球題。如圖1所示，在球棒與球之間發生正碰撞之理想情況下，我們以彈性碰撞的問題來計算看看，打到球後，球棒的速度與球的初速。

預設條件如下。恢復係數e為0.4，球棒的質量m1為0.9kg，球棒速度v1為100km/h，球的質量m2為0.14kg，球的速度v2為-120km/h，擊球後球行進的方向為正(+)。將此條件代入5-6節中的式(3)與(4)中計算得知，擊球後瞬間的球棒速度為58.6km/h，球速為146.6km/h。

然而，右頁中速度v1、v2的單位為km/h。第1項、第2項均與單位無關，故此計算中省略了與m/s之間的單位轉換。

另外，雖與碰撞無關，要使圖2中的飛機飛行，需要有使機體前進的推力。此推力可以使用空氣及噴射氣流的流體作用力與反作用力，與動量兩方面來進行說明。
螺旋槳將空氣往機體後方推動，對螺旋槳飛機施予作用力，此時，空氣產生反作用力來推動飛機前進。同樣的原理，噴射引擎將噴射氣流往機體後方推動，對噴射機施予作用力，同時噴射氣流產生反作用力來推動飛機前進。我們可以牛頓力學求解推向後方的空氣及噴射氣流的動量，與機體前進動量之間的關係。

日常生活中，到處都是力學實驗室

我們即使什麼都不做，只坐在椅子上，也有地球重力造成的力的效果。騎腳踏車前進，能體驗到地表上幾乎所有的運動狀態。搭電梯，可以在短時間內體驗到重力變化形成的運動。此外，去遊樂園搭乘騎乘玩具中最具代表性的雲霄飛車，還可以體驗到日常生活中體驗不到的力學現象。

第一章裡簡單地書明了本書欲涵蓋的事情，以及與其關聯的我們日常生活上體驗得到的事情。所以，幾乎沒有使用最被大家所懼怕的數學公式。

可惜的是，第二章以後數式與計算就會跑出來。這，我建議各位實際棟棟看身體與自己的感...

　　本書以物理學的入門「牛頓力學」為主題，希望讀者能先將全文從頭到尾快速讀過一遍，為此特別繪製了容易閱讀的插圖。

　　力學涵蓋各種不同的領域。在本書中，將以小學至高中的理科或物理課程中所涵蓋的「力」、「能量」、「運動」等基本觀念為主。也就是稱為牛頓力學、古典力學的範疇。

　　日常生活與力學之間有著密不可分的關係。在學校裡學習力學的時間並不充足，大多都以解題結束課程。因此，想必對於一些人來說，力學就維持在似懂非懂的狀態，留下的只是艱深的印象。

　　我想要計畫寫這本書的契機，是因為我認識了一個小學四年級的女孩。編輯人員向我說明此書企劃的大約兩週前，有一個曾經閱讀同一家出版社發行之「流體力學」相關書籍的學生，打電話到我家。

　　女孩對我說，「由於春假的功課，我正在查詢『浮力』相關資料，有些問題想向您請教。」聽說女孩的住址，原來就在我過去生活圈附近，於是隔天我跟她約在她家附近的公立圖書館，在大廳角落的座位區，就這樣聊了約一個小時。

　　女孩熱衷地查詢了許多資料，事先準備的幾個問題，都很切中核心，我也盡可能地以簡單的詞句回答。

　　如果今天是在教高中生，可以列出算式，向學生說明「因為這樣，所以會浮起來」、「因為這樣，所以會沉下去」就結束了，但當時我一邊說明一邊思考，不知道是否究竟能讓小學生理解多少的情況下，對方還能完全理解我的說明，著實令我欣慰。而拿到本書的企劃案，正是我剛剛經歷過這樣的體驗沒多久的事情。

　　因此在這本書中，我會盡量避開嚴格的定義及冗長的算式，希望對於力學有困難印象的人，都能夠理解的方式，去說明與呈現。抱著這樣的期待，我提筆寫下第一章。相信各位讀者經過略讀，就可以概略性地了解本書所涵蓋的內容。

　　然而，從第二章開始，我不得不利用相當篇幅列出許多算式。這是因為力學的說明，最少篇幅的必要算式與例題，還是無法避免的。在這些算式中，我並未使用數學高程度的計算，而僅僅使用一般算術來解答問題。

　　所以，我在說明文中特別注意避開一些數學專用術語，如「把…微分、把…積分…、把…內插」等。

　　但如果實在沒有其他更好的說明方式，我還是會使用三角函數。思考三角函數讓許多人剛起步就跌倒，是令人討厭力學的元兇，因此本書於三角函數的篇幅中，特別設立了「懂了就會」的簡易部份。

　　力學中重要的向量，我不會使用向量記號F箭頭標示。不嚴格要求向量符號箭頭方向，因此使用插畫代之，不致於產生太大的困擾。

　　關於文中的名詞，參考編輯的建議，也使用讀者較易閱讀的標示方式。

　　此外，我將搬運腳踏車、搬運行李等日常生活中常接觸的現象簡化，作為力學的模型。

　　這種種的用心，都是為了能讓讀者順利從頭讀到最後，也是本書的出發期望。各位讀者讀完本書，若能感到「力學其實也不是這麼困難！」我將感到非常榮幸。

　　文末，再次感謝給我此次執筆機會，並提供諸多建言及鼓勵的科學編輯部中右文德先生，還有為了支援讀者的理解而繪製示意圖，將算式細心排版的製作人員。在此表達我由衷的感謝。

　　本書以物理學的入門「牛頓力學」為主題，希望讀者能先將全文從頭到尾快速讀過一遍，為此特別繪製了容易閱讀的插圖。

　　力學涵蓋各種不同的領域。在本書中，將以小學至高中的理科或物理課程中所涵蓋的「力」、「能量」、「運動」等基本觀念為主。也就是稱為牛頓力學、古典力學的範疇。

　　日常生活與力學之間有著密不可分的關係。在學校裡學習力學的時間並不充足，大多都以解題結束課程。因此，想必對於一些人來說，力學就維持在似懂非懂的狀態，留下的只是艱深的印象。

　　我想要計畫寫這本書的契機，是因為我認識了一個...

前言

第一章 力學的第一步
1-1 力學、力與運動的關係
1-2 力是使物體形狀及運動狀態的原因
1-3 慣性與質量：物體運動的傾向
1-4 決定物體重量的要素 重量與重力
1-5 我們生活在重力與慣性之中 重力場與慣性座標系
1-6 書桌上的書所受到的力－力的作用，作用力與反作用力
1-7 摩擦力是在物體接觸面之間產生的相對運動
1-8 描述物體的運動－質點與座標系
1-9 速率與速度 純量與向量
1-10 測量的規定 物理量與單位
1-11 跟孩子玩投球的秘訣 拋球運動
1-12 向量的表示法與運用
1-13 力與力矩平衡 施力在剛體上
1-14 作功使物體移動
1-15 能量是作功的能力 能量的形式和能量守恆
1-16 改變物體運動狀態的動量 動量守恆定律40
專欄 日常生活中，到處都是力學實驗室

第二章 物體的運動
2-1 賽跑運動 基本的平面運動
2-2 速度的國際標準SI單位 速度的單位與換算
2-3 等速度運動的範例
2-4 圖像化解題 等速度運動
2-5 另類的解題思考 如何活用作圖
2-6 汽車發動、行駛到停止 加速度運動
2-7 以等加速度行駛的車子 等加速度運動公式
2-8 等加速度運動的計算，範例(1) 公式解題
2-9 等加速度運動的計算，範例(2) 作圖解題
2-10 重力作用的垂直向下運動 自由落體
2-11 鉛直下拋‧鉛質上拋 鉛直方向的加速度運動
2-12 鉛直拋體運動的練習 練習運用公式
2-13 徒手開根號 直式開方法
2-14 向上斜拋的球如何運動？ 斜向拋射運動
2-15 認識三角函數 三角函數基本介紹
2-16 仰角45度可拋球最遠 斜向拋射範例解說
2-17 雲霄飛車的速度 斜面的運動
專欄 速度與我們的感受

第三章 力與運動
3-1 自然界的四大基本作用力 抵抗力來自電磁力
3-2 力的各種作用 力的種類
3-3 力的合成與分解 向量作圖
3-4 作用於同一點之力的平衡 合力為零
3-5 重力‧重量的單位 牛頓還是公斤？
3-6 靜者恆靜，動者恆動 牛頓第一運動定律
3-7 質量與加速度 牛頓第二運動定律
3-8 作用力與反作用力，非慣性系統的運動 牛頓第三運動定律
3-9 探討電梯的運動 慣性力與運動方程式
3-10 力與運動：電梯與重物 電梯的力學問題
3-11 接觸面上阻礙運動的力 摩擦力
3-12 推車的運動 非慣性座標系的摩擦力
3-13 斜面上物體的運動 斜面與摩擦
3-14 拔河的勝負關鍵在於摩擦力 摩擦力的探討
3-15 探討圓形軌道上的運動 等速圓周運動
3-16 圓周運動的作用力 向心力
3-17 轉彎時身體感受到的力 離心力
3-18 使物體旋轉的能力 力矩
3-19 尋找我們身邊的力矩 簡單的計算範例
3-20 物體受力的力平衡 力的平衡與重心
3-21 推動箱子，但不可倒下 重點在箱子的底面積
3-22 力矩的作用 力偶與力矩
專欄 力矩與 Torque

第四章 功與能量
4-1 實際體驗功的定義 力學的功
4-2 功的廚房實驗 力與功
4-3 作功不輕鬆 動滑輪與組合滑輪
4-4 利用三角形作功的智慧 斜面的作功
4-5 功與能量的關係
4-6 古典力學的物體能量 力學能
4-7 彈簧的功與能 彈性能
4-8 重力為保存能量的力 力學守恆定律
4-9 雲霄飛車的運動 運用能量守恆定律
4-10 鞦韆的擺動 單擺的能量守恆定律
4-11 摩擦力消耗能量 非保存力
4-12 力學能與熱能 作功與熱
4-14 熱量守恆 熱力學第一定律
4-15 能量轉換與腳踏車煞車 熱與作功
4-16 能量大小與作功速率 功率
4-17 差動滑車的作功 功率的計算
專欄 地下鐵軌道的節能對策

第五章 動量與衝量
5-1 動量顯示物體運動的慣性 動量守恆定律
5-2 動量與動能 功式的變形
5-3 能量的作功與衝量 計算範例
5-4 物體的碰撞與反彈 恢復係數
5-5 自由落體的反彈高度 自由落體的恢復係數
5-6 碰撞是重心接近再遠離的運動 碰撞後的速度
5-7 求碰撞後的速度 碰撞的驗證
5-8 斜向彈性碰撞 平面的碰撞
5-9 打棒球與飛機的行進 動量的思考
5-10 水與空氣的運動 流體力學
5-11 水管的水與噴射引擎 流體的動量
5-12 水道的衝擊及衝擊式水車 流體的衝擊力
5-13 流體力學的運用 上升力與下壓力

索引189

前言

第一章 力學的第一步
1-1 力學、力與運動的關係
1-2 力是使物體形狀及運動狀態的原因
1-3 慣性與質量：物體運動的傾向
1-4 決定物體重量的要素 重量與重力
1-5 我們生活在重力與慣性之中 重力場與慣性座標系
1-6 書桌上的書所受到的力－力的作用，作用力與反作用力
1-7 摩擦力是在物體接觸面之間產生的相對運動
1-8 描述物體的運動－質點與座標系
1-9 速率與速度 純量與向量
1-10 測量的規定 物理量與單位
1-11 跟孩子玩投球的秘訣 拋球運動
1-12 向量的表示法與運用
1...