大自然的數學遊戲

池塘中的漣漪
自然模式的對稱性到底從哪裡來呢？
讓我們試著想像一個靜止的池塘，它的表面光滑如鏡，可以把池塘視為一個數學的平面。而且池塘的面積也足夠大，因此雖然具有邊界，仍然能設想成一個無限的平面。
假如我們將一顆石子丟進池塘中，就能看到一個模式——漣漪，也就是許多圓形的波紋，以石子落水的位置為中心向外擴散。我們全都看過這種景象，沒有人會感到驚訝。畢竟我們看到了起因：那顆石子。若是我們未曾看到石子，也沒有看到任何可能擾動水面的東西，那就一定看不到任何波紋，在我們面前的，只是一個平靜而光滑如鏡的池塘罷了。
池塘中的漣漪是失稱的一個例子。一個理想的數學平面擁有大量的對稱性，每一部分都與其他部分完全相同。我們可將這個平面沿著任何方向平移任何距離，繞著任何中心旋轉任何角度，或是利用任何「鏡線」來使它反射，最後它看起來仍會跟原來的一模一樣。
反之，圓形漣漪的模式擁有的對稱性就比較少了，它的對稱僅對應於繞著石子落水點的旋轉，以及通過該點的各個「鏡線」造成的反射。除此之外，再也沒有任何平移、旋轉或反射能使它保持不變。石子破壞了平面的對稱，也就是說在它擾動池塘之後，水面的許多對稱性都消失了。
不過，並非所有的對稱性都消失，這就是我們還能看到一個模式的原因。
然而，這些都沒什麼大不了，因為我們知道全都是那顆石子闖的禍。事實上，由於石子的落水，而使池塘中某一點的地位變得跟其他各處都不一樣，所以漣漪的對稱性正是我們預料中的結果。這些對稱剛好對應於不會挪動那個特殊點的變換。所以說，當漣漪出現時，池塘並沒有發生自發性的失稱，因為我們還能偵測到引起諸如平移對稱消失的原因。
假如一個光滑如鏡的池塘，在沒有任何明顯緣由的情況下，突然產生了一連串的同心圓波紋，那我們就會比較驚訝，甚至大感驚訝。我們會想到，也許是池塘裡的魚擾動了水面，或是的確有什麼東西掉了進去，只是由於飛得太快，所以我們沒注意到。

他們不相信貝魯索夫
人類對於「模式必有明顯起因」的信念，實在根深柢固。俄國化學家貝魯索
夫（B. P. Belousov）在一九五八年發現了一種化學反應，能夠自動形成某種模式，看起來就好像無中生有。他的同事卻都拒絕相信這個結果，他們甚至懶得去檢查貝魯索夫的實驗；在他們看來，貝魯索夫顯然得到了錯誤的結果，檢查他的實驗只是浪費時間而已。
真是太可惜了，因為他的結果毫無錯誤。
貝魯索夫發現的那個特殊模式，並非存在於空間中，而是一種時間上的模式，它的反應會產生一連串周期性的變化。一九六三年，另一位俄國化學家查玻廷斯基（A. M. Zhabotinskii）修改了貝魯索夫的反應，使它也能在空間中形成模式。為了紀念他們的貢獻，類似的化學反應統稱為「貝魯索夫─查玻廷斯基反應」或「B─Z反應」。如今，我們示範這種反應所用的化學藥品比當年的簡單，
這都得歸功於英國生殖生物學家寇恩（Jack Cohen）與美國數理生物學家溫弗瑞（Arthur Winfree）所做的改良。經過他們改良的實驗變得非常簡單，只要能找到必要的化學藥品，任何人都可以動手做。那些化學藥品有點稀罕，不過總共只需要四種。
姑且不提那些實驗裝置，讓我告訴您實驗的過程與結果就好。那些化學藥品都是溶液，要先將它們以正確的順序混合，然後倒進一個碟子裡。混合液起初呈現藍色，然後又變成紅色。將它靜置一會兒，在十分鐘乃至二十分鐘之間，什麼事都不會發生，看來只是一個毫無特色的池塘。在此毫無特色指的是溶液的顏色，那是均勻的紅色。這種均勻色澤沒有什麼好奇怪的，畢竟我們將那些溶液都混到一起了。
接下來，我們將發現有一些微小的藍色斑點出現。這可是令人驚奇的一件事。那些斑點會擴散開來，形成一個又一個藍色的圓盤，每個藍色圓盤中又會出現一個紅色的斑點，使圓盤變成中間有一個紅心的藍圈。藍圈與紅心都會繼續向外擴張，當紅心變成一個足夠大的圓盤時，裡面又會出現一個藍色斑點。這個過程會一直循環不已，因而形成一群不斷增長的「箭靶」—— 一圈又一圈紅藍相間的圓圈。
這些箭靶模式與池塘中的漣漪擁有完全相同的對稱性，不過這回我們卻看不到任何石子。這是一個奇異而神祕的過程，模式（也就是秩序）從無序而雜亂的混合溶液中自動出現。怪不得當年那些化學家不相信貝魯索夫。

池塘中的漣漪
自然模式的對稱性到底從哪裡來呢？
讓我們試著想像一個靜止的池塘，它的表面光滑如鏡，可以把池塘視為一個數學的平面。而且池塘的面積也足夠大，因此雖然具有邊界，仍然能設想成一個無限的平面。
假如我們將一顆石子丟進池塘中，就能看到一個模式——漣漪，也就是許多圓形的波紋，以石子落水的位置為中心向外擴散。我們全都看過這種景象，沒有人會感到驚訝。畢竟我們看到了起因：那顆石子。若是我們未曾看到石子，也沒有看到任何可能擾動水面的東西，那就一定看不到任何波紋，在我們面前的，只是一個平靜而光滑如鏡的池塘罷...

【推薦序】
序
模式、模式、處處皆模式
李國偉

在這本書中，pattern是很關鍵的字眼，但是如何翻譯它卻是很傷腦筋的事。如果你翻開字典，大概多數解釋成「圖案、花樣、式樣、典型」。你可以想像一面龐大的牆，上面貼著美麗的壁紙，壁紙總可以從一塊印好特別設計圖畫的區域出發，再把圖畫反覆向四方擴散開來。這就是pattern的一種最具代表性的具象意義。
壁紙在視覺上帶來的規則性，就反映在圖案、花樣、式樣這些字眼裡。反過來當我們讀到這些字眼時，心裡便自然興起某種圖形的條理。但是我們現在需要把心理的認知向更抽象的層次提升，pattern標誌了物件之間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、抽象的關係、甚至思維的方式。
總而言之，pattern與規律性是密不可分的，它強調的是形式上的規律，而非實質上的規律。譬如說兩個蘋果的組成化學成分相當雷同，但是pattern的規律表現在它們長的樣子類似。
用圖案、花樣、式樣這些字眼翻譯pattern，似乎過於具象，但如果新造一些名詞，像「形樣」、「樣形」，或前面的「形」字都改成「型」字，讀者恐怕很難適應，也不容易掌握它的意思。因此我們採取中國大陸上專家討論這方面理論，已經漸漸約定俗成的翻譯法，把pattern譯作「模式」。

數學的世界
「模式」其實也是一個舊瓶，不過經由本書，讀者可以品嚐到它所容納的新酒，而且好像除了它，別的瓶子還不太容易裝這種新酒。
所謂的新酒，也就是本書所要傳達的核心觀念，就是說數學是研究模式的科學。
在巴比倫的時代，人已經會用數字記帳了。在古埃及的時代，丈量尼羅河氾濫後的田界，已經發展出幾何學。所以數學很久以來，被認為是研究「數」與「形」的學問。十七世紀牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）與萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）發明微積分，開始有能力掌握變動的量。函數與變換的概念，也因而日漸成長為數學裡重要的結構。這種比「數」與「形」更抽象的概念一旦成為數學研究的對象，人類創造各類抽象對象的限制似乎完全消失。數學的世界充滿了不具實存意義的物件，可是它們之間的規律，又持有比物理世界更絕對的確定性。
因此到了現代，數學已經遠超出研究「數」與「形」的範圍。如何刻劃數學研究的對象與特性，成為一個值得令人重新深思的課題。「模式」便是在這樣一種知識發展的背景中，被提出並且賦予統合意義的說法。

風吹草低見牛羊
本書的作者史都華是一位有成就的數學家，更練就一枝生花妙筆，在很多地方傳播數學的新知。他可能是繼《科學人》（Scientific American）雜誌「數學遊戲」專欄作家葛登能（Martin Gardner，《跳出思路的陷阱》及《啊哈！有趣的推理》作者）之後，寫數學普及文章最多產、也最有影響力的一位作家。
本書的特點在充分利用動力學，特別是非線性動力學的實例，說明模式的無所不在。這些數學的成果雖然是非常晚近的進展，但是像碎形、混沌等等新名詞，都能在極短時間內俘虜了大眾幻想的心。
自來水龍頭滴下的水滴，到底是以什麼過程與形式落下？馬匹奔騰的四蹄，到底什麼樣的順序與節奏邁進？環繞樹枝生長的葉片，到底按照什麼規則一圈圈伸展開來？這些現象都是日常生活中最容易看到的，但是它們背後的動力學成因，卻到最近幾年才搞清楚。如果你不看這本書，恐怕還不敢相信很普通的模式，卻具有極奧妙的產生機制。
「天蒼蒼，野茫茫，風吹草低見牛羊。」你可以想像一枝枝草葉在風中擺盪的情景，但是巨大數量的草葉個別的運動狀態，簡直無法精確描述。然而牧草的原則，卻又像浩瀚的海洋，葉尖在風行下會如波浪般有規則、有韻律的起伏。因此一旦尋找到適當的尺度，就有可能發現形態或運動的規律模式。當代的數學仍在努力尋找恰當的語言與工具，去表達與發掘更深刻的模式。作者所倡議的新數學——「形態數學」（morphomatics），恐怕是我們別無選擇、非得邁進的道路。

—— 一九九六年三月於中央研究院
（本文作者曾為中央研究院數學研究所研究員、總辦事處處長、中正大學哲學研究所教授）

【推薦序】
序
模式、模式、處處皆模式
李國偉

在這本書中，pattern是很關鍵的字眼，但是如何翻譯它卻是很傷腦筋的事。如果你翻開字典，大概多數解釋成「圖案、花樣、式樣、典型」。你可以想像一面龐大的牆，上面貼著美麗的壁紙，壁紙總可以從一塊印好特別設計圖畫的區域出發，再把圖畫反覆向四方擴散開來。這就是pattern的一種最具代表性的具象意義。
壁紙在視覺上帶來的規則性，就反映在圖案、花樣、式樣這些字眼裡。反過來當我們讀到這些字眼時，心裡便自然興起某種圖形的條理。但是我們現在需要把心理的認知向更抽象的層次提升，patt...

序 模式、模式、處處皆模式 李國偉
開場白 虛擬幻境機
第一章 大自然的秩序
第二章 數學能做什麼？
第三章 數學是什麼？
第四章 變與不變
第五章 從小提琴到電視機
第六章 因為失稱的緣故
第七章 噠噠的馬蹄聲
第八章 骰子扮演上帝嗎？
第九章 液滴、狐與兔、花瓣
結 語 開創形態數學
附 錄 名詞注釋
延伸閱讀

序 模式、模式、處處皆模式 李國偉
開場白 虛擬幻境機
第一章 大自然的秩序
第二章 數學能做什麼？
第三章 數學是什麼？
第四章 變與不變
第五章 從小提琴到電視機
第六章 因為失稱的緣故
第七章 噠噠的馬蹄聲
第八章 骰子扮演上帝嗎？
第九章 液滴、狐與兔、花瓣
結 語 開創形態數學
附 錄 名詞注釋
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