數學教你不犯錯套書（上下冊套書）

第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼

你該玩樂透嗎？
一般認為，回答不該才是精明。有句老話說，樂透是「笨人繳的稅」，是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收，你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎？
樂透吸引人並非新鮮事，它起源於十七世紀的熱那亞，是從選舉制度中意外產生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裡挑兩位來擔任首長，他們不採用投票選舉，而是以抽籤的方式決定人選：從120張寫著委員名字的籤條抽出2張。沒多久，城裡的賭徒就開始對人選投注龐大賭金。後來，對首長人選下注變得非常受歡迎，賭徒愈來愈難忍到選舉日才玩心愛的遊戲，不過他們很快就理解，如果只是對紙條堆裡挑出的紙條下注，根本就不需要靠選舉這檔事。於是數字取代了政客的名字，熱那亞從1700年起便開始舉辦樂透。當時的樂透在威力球（Powerball）玩家眼中，一定很眼熟：投注的人猜五個隨機抽出的號碼，猜中的號碼愈多，獎金愈豐厚。
樂透很快就風靡全歐洲，再飄洋過海到美洲。在美國獨立戰爭期間，大陸會議與各州政府都用樂透來籌措軍費以對抗英軍。哈佛大學基金在還沒有累積到九位數之前，也曾於1794年與1810年辦樂透，籌款興建兩幢大樓。（那兩幢大樓至今還在當新生宿舍使用。）
但並不是每個人都讚許這種發展。道德家認為樂透其實就是賭博，他們這麼想也沒有錯。亞當‧史密斯（Adam Smith）也反對樂透，他在《國富論》裡說：

從樂透彩在各地都經營得很成功的事實看出，人們很自然會把獲利機會估得過高。完全公平的樂透，也就是全部得利可抵償全部損失的，不僅從來沒有過，以後也不會有。因為要是這樣，經營者就一無所得。……獎金不超過二十磅的樂透彩，縱使在其他方面比一般國營樂透彩更接近於完全公平，但買這種樂透的人恐怕要少得多。為了增加中大獎的機會，有的人會同時購買數張樂透，有的人會合買更多張。但是，你冒險購買愈多的樂透彩，你就愈可能輸，這是數學上再確定不過的定則。假若你冒險購買全部的樂透彩，你肯定會虧損。你購買的張數愈多，損失就愈接近於上述肯定的損失。

亞當‧史密斯的文筆鏗鏘有力，量化思想的做法也確實令人欽佩，但是你不應該盲目相信他的結論。嚴格來說，他的結論是不正確的。一般買樂透的人，並不覺得買兩組會比一組更容易成為輸家，反而應該是有加倍贏的機會。這種想法才是正確的！當樂透的獎勵制度比較單純時，你自己都不難檢查這件事。假設樂透有一千萬組號碼，而只有一個贏家，其中每組號碼賣1元，大獎是6百萬元。
買了全部的號碼的人，是花1千萬元來獲得6百萬元獎金。換句話說，正如亞當‧史密斯所說，採取這種策略注定會成為輸家，而且整整輸掉4百萬元。相較之下，僅買1組號碼的小本經營者比較有利，至少他有千萬分之一的機會可以贏！
但如果你買2組號碼會怎麼樣？你輸的機會必定會降低，雖然只是從千萬分之9,999,999降到千萬分之9,999,998。然而只要你繼續買進號碼組，成為輸家的機會就持續下降，直到你買進6百萬組號碼為止。到那時，你贏得樂透並使獎金跟成本打平的機會剛好是60%，你只有40%的機會成為輸家。這跟亞當‧史密斯講的相反，你買更多樂透反倒讓自己更不容易輸錢。
然而再多買一組號碼，你就必定輸錢（至於是輸掉1元還是4,000,001元，就看你是否中獎而定）。
我們很難重新建構亞當‧史密斯的推理過程，不過他很可能是「所有曲線都是直線」錯誤觀的犧牲者，才會認為既然買光所有樂透號碼必輸無疑，那麼買愈多自然愈可能輸錢。
買6百萬組號碼能使輸錢的機會降到最低，但這不表示樂透就該這樣玩，因為輸多少事關緊要。僅買一組號碼的人幾乎必輸無疑，不過他知道輸這點錢不算什麼。買6百萬組號碼的人雖然輸的機會比較低，但是處境卻岌岌可危。或許你會覺得這兩種選擇都不怎麼聰明。就像亞當‧史密斯指出的那樣，如果國家必定贏得樂透，在賭局中選擇跟國家不同立場並不是好主意。
亞當‧史密斯反對樂透的論點中缺乏了期望值的概念，那是亞當‧史密斯直覺上試圖表達的數學概念。它的功用如下，假設我們持有一個物件，但不確定它的金錢價值，譬如說一組樂透號碼：

9,999,999/10,000,000次：號碼組一文不值
1/10,000,000次：號碼組值6百萬元

儘管有不確定性，我們還是願意賦予每組號碼一個確定的價值。為什麼？好吧，倘若有一個傢伙願意用1.2元買一組號碼，那麼我是該保留這組號碼，還是為了賺2角就賣給他呢？答案取決於我賦予號碼組的價值，是低於還是高於1.2元而定。
現在來計算一組樂透號碼的期望值，我們把任一種可能結果的出現機率，乘上那個結果的價值。在下面簡化的例子裡，一共只有兩種結果：贏或輸，而你得到

9,999,999/10,000,000 ´ 0元 = 0元
1/10,000,000 ´ 6,000,000 元 = 6角

再把上面的結果加總：

0元 + 6角 = 6角

所以你對那一組號碼的期望值是6角。因此如果有樂透迷跑來對你說，願意用1.2元買你手上的那組號碼，期望值告訴你應該成交，但事實上期望值要告訴你的是，一開始就不應該花那1元去買一組號碼。
期望值不是你所期望的值
期望值是另一個不太名符其實的數學概念，有點類似前面討論的顯著性。我們當然不會「期望」一組樂透號碼才值6角，相反的它要嘛值1千萬元，要嘛一文不值，沒有居於中間的價值。
類似的例子，假設我對我認為有10%機會，會跑出第一名的狗押了10元的賭注。如果那隻狗贏了，那麼我會得到100元；如果那隻狗輸了，我就什麼也得不到。這場賭局的期望值是

（10% ´ 100元）+（90% ´ 0元）= 10元

當然，這並非我期望的結局。其實10元根本不是可能的結果，更不是我期望的結果。期望值更恰當的名稱或許應該是「平均值」，因為期望值真正量度的是，如果我對許多隻這樣的狗押了許多次同樣的賭注，我期望發生的結果。打個比方，這種每注10元的賭局我賭了一千次，或許會贏一百次左右（大數法則再次起作用），每次都贏100元，總共贏了1萬元。所以我那一千次的賭注，每注平均贏回來的是10元，長時間看來很可能不賺不賠。
期望值很適合用來標定物件的恰當價格，例如在真正價值並不確定的賭狗場合。如果我用12元下一注，長期下去我很可能會輸錢；反過來說如果我可以用8元下一注，那我或許應該盡量下注。現在很少有人還在賭狗，但是不論是對賭票、股票、樂透定價，或為人壽保險定費率，期望值都可產生同樣的作用。

（摘自本書第十一章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼）

第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼

你該玩樂透嗎？
一般認為，回答不該才是精明。有句老話說，樂透是「笨人繳的稅」，是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收，你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎？
樂透吸引人並非新鮮事，它起源於十七世紀的熱那亞，是從選舉制度中意外產生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裡挑兩位來擔任首長，他們不採用投票選舉，而是以抽籤的方式決定人選：從120張寫著委員名字的籤條抽出2張。沒多久，城裡的賭徒就開...

【序】
什麼時候用得到數學？

此刻，在世界上某間教室裡，有一位學生正向老師抱怨，為什麼課後要計算30條定積分？那會耗費掉他大半個週末。
這位學生寧可做些別的事，事實上他最不想做的就是積分。上個週末他就曾經花了很多時間算另外30條定積分，看起來與這次的定積分好像差別不大。他看不出做這件事的重點，他告訴老師自己的想法。在師生的這場對話中，學生一定會問到一個老師最怕聽到的問題：
「我什麼時候用得到它？」
老師很可能這麼回答：
「我知道計算積分很乏味，但是你要記住，將來你不知道會選擇什麼樣的工作，你現在可能覺得定積分沒用，但也許有一天你幹的那一行，會需要又快又準的算出定積分。」
這種答覆很難讓學生滿意，因為它是假話。老師與學生都知道這不是真話。有多少成人需要用到（1-3x+4x2）-2dx的定積分？或是3q 的餘弦？或多項式綜合除法？了不起幾萬人而已。
老師對這種假話也很不滿意，這我很清楚，因為我當了多年的數學教授，曾經要求成百上千的學生計算定積分。
幸運的是，還有一個比較好的答案，大致如下：
「數學並不只是靠背誦公式來做系列運算，一直算得你耐心與精力全失為止。雖然在你上過的某些數學課裡，數學好像就是那麼回事。學數學要計算定積分，猶如足球員要做體能訓練與柔軟操一樣。假如你想踢足球，我是說能真正的踢足球，到達能上場比賽的程度，你就必須做一大堆無聊、反覆、表面上看來毫無意義的操練。職業球員會有用到那些動作的機會嗎？你不會看到球場上有人丟擲重物或繞著交通角錐轉來轉去，但是球員會用到從日復一日乏味的操練中練出的強度、速度、直覺與彈性。學習這些操練就是在學習踢足球。
「假如你想當職業足球員，或甚至只是想進入校隊，都必須花很多乏味的週末在球場上進行操練，除此之外別無他法。現在給你一點好消息，假如你實在受不了苦練，你還是可以跟朋友一起玩球取樂。你在對方防守的間隙中傳出一球，或踢進一記遠球，獲得的樂趣跟職業球員一樣多。這會比坐在家裡看電視轉播的職業賽更健康、更快樂。
「數學也差不多這樣。你也許不必以需要大量數學的職業為目標，大多數人都如此，你不必覺得不好意思。但你還是可以做數學，其實你也許已經在做數學，只是你不叫它數學。我們在推理的過程中早已融入數學，而且數學會讓你的推理能力增強。會數學就像戴上了X光眼鏡，能從混亂無序的世界表像裡，看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問，它的技術與習慣經歷過許多世紀的辛勤努力與論辯。一旦手中有數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解世界。你需要的只是一位教練，或甚至是一本書，教導你相關規則及基本戰術。讓我來當你的教練，讓我教你如何達成目標。」
因為時間的關係，我很少會在課堂裡說這些話。但是現在寫在書裡，就可以再加以引伸一些。我希望對我在前面提到的那些宏大的斷言，能拿出一些證據，我想告訴你，我們每天生活中碰到的問題，不論是政治、醫藥、商務、甚至神學，都摻雜著數學問題。光認識到這一點，你就會得到一些無法從其他手段獲得的真知灼見。
其實即使我有時間向學生講完激勵人心的演講，但如果這學生夠聰明，應該還是不會被說服。
他會說：「教授，雖然聽起來很有道理，但是太抽象了。你說會運用數學，就能把原來可能會犯錯的事搞對。那到底是些什麼事呢？給我一個具體的例子。」
這個時候我正好可以告訴他，沃德（Abraham Wald）與失蹤的彈孔的故事。
數學家運籌帷幄
就像第二次世界大戰很多的故事一樣，開頭是一位猶太人遭納粹追捕而逃離歐洲，結尾是讓納粹得不償失吃足苦頭。沃德於1902年出生在前奧匈帝國的克勞森堡（Klausenburg）。他進入少年期的時候，已有一場世界大戰寫入了書本，他的家鄉也變成了羅馬尼亞的克盧日（Cluj）。沃德的祖父是猶太人的拉比，父親是猶太潔食烘焙師，但是小沃德幾乎自始就是數學家。他在數學上的天賦很早就受賞識，因此維也納大學錄取他去攻讀數學。他喜愛集合論與度量空間，這是即使以純數學的標準來看，都相當抽象又深奧的課題。
但是沃德完成學業時，已經到了1930年代中期，當時奧地利的經濟十分蕭條，外國人幾乎不可能在維也納找到教職。最終解救沃德的是摩根史坦（Oskar Morgenstern），摩根史坦後來移民美國，並協助發明了賽局理論，但在1933年他是奧地利經濟研究所的所長。雖然摩根史坦只給沃德一個低薪的職位，處理一些零星的數學工作，卻是促成了有利於沃德的機會：因為沃德在經濟學上的經驗，當時在美國科羅拉多泉的經濟學機構考爾斯（Cowles）委員會，提供給他獎學金。雖然政治局面日益惡化，沃德仍不情願跨出會使他永遠離開純粹數學的一步。但是納粹征服了奧地利，終於幫沃德下定出走的決心。不過沃德在科羅拉多泉待沒幾個月，哥倫比亞大學就請他去擔任統計學教授，他再度整裝，踏上前往紐約的征途。
他就是從那裡開始參戰的。
第二次世界大戰期間，沃德主要在統計研究組（SRG）工作，SRG集合了美國統計學界的力量，是如同曼哈頓計畫的機密單位，只不過不是在發展原子彈，而是發展方程式。SRG的所在地也的確座落在曼哈頓，就在距離哥倫比亞大學一個街口的晨邊高地西118街401號。現在那座大樓是哥倫比亞大學的教師公寓，也有一些診所進駐。但是在1943年，那裡是戰時忙進忙出的數學中心。在哥倫比亞的應用數學組裡，數十位年輕女性俯首於桌上型計算機，忙著計算戰鬥機在空中的最佳飛行路線，以便把敵機鎖定在機關砲的射擊範圍裡。從普林斯頓來的研究人員，在另一個房間發展戰略轟炸的規程，而哥倫比亞的原子彈小組就它的在隔壁。
最終在這些小組裡，就屬SRG最具能量，也最有影響力。這個單位結合了類似學系的開放學術氛圍，以及敵愾同仇的目標。SRG的組長華里斯（W. Allen Wallis）說：「只要我們做出建議，經常事情就有所改變。根據沃弗維茲（Jack Wolfowitz）的建議，戰鬥機會搭配不同種類的彈藥，戰鬥機飛行員可能因此成功返回或不再回來。海軍飛機使用的飛彈，裝填的火藥通過格西克（Abe Girshick）設計的取樣方案檢查。飛彈有可能會爆炸而毀掉我方飛機與飛行員，或一舉消滅目標。」
這項任務如此重大，因此必須集結一等一的數學頭腦來進行。按照華里斯的說法，「無論以量或以質而言，SRG都擁有最突出的一群統計學家。」戰後創辦哈佛大學統計系的莫斯提勒（F. Mosteller）在那兒，決策論先驅以及貝氏統計學的推動者莎維奇（J. Savage）也在那兒，麻省理工學院的數學家暨模控學發明者韋納（N. Wiener）會不時來訪。日後獲得諾貝爾經濟學獎的傅利曼（M. Friedman），在那個小組裡經常只算是第四聰明的人。
小組裡最聰明的人通常是沃德。沃德曾經是華里斯在哥倫比亞大學的老師，對小組而言是顯赫的人物。因為他算是來自敵國的外國人，從技術上來說，他並未獲准閱讀他自己寫的祕密報告。在SRG盛傳的一則笑話說，沃德一寫完一頁筆記，祕書就要立刻從他手裡奪過來。從某方面看來，沃德最不該屬於這個小組，因為他天性傾向於抽象化，會迴避直接的應用。但是他想用自己的才能對抗軸心國的動機很明顯。而且每當你想把籠統的觀念轉化為堅實的數學時，沃德正是你最想要的人物。

機身上消失的彈孔
現在問題來了。因為你不希望飛機遭敵方的戰鬥機打下來，所以想要加強飛機的裝甲。但是增加裝甲會讓飛機變重，比較重的飛機既難操控又耗油。飛機的裝甲太厚會成問題，太薄也會成問題，厚薄之間應該有一個最佳解。而之所以把一批數學家塞進紐約的公寓，就是想算出最佳解。
軍方把認為有用的數據交給SRG。美國的飛機從歐洲出任務回來後，全機會布滿彈孔，但分布卻不很均勻，機身上的彈孔較多，引擎部分的彈孔卻很少。

飛機的區段 每平方英尺的彈孔數
引擎 1.11
機身 1.73
燃料系統 1.55
飛機其他部分 1.8

軍方看出了提高飛機效能的機會，可以使用較少的裝甲達成同等的保護作用，也就是把裝甲集中在飛機最需要的部分──中彈最多的區段。問題是該增加多少裝甲？又要在哪些區段加裝？軍方想請沃德幫算出答案，然而得到的結果卻大出他們預料。
沃德說，不該在彈孔多的地方加強裝甲，而是要加強在彈孔少的地方，也就是該在引擎的部分加強。
沃德的洞識在於先問一個簡單的問題：少掉的彈孔到哪裡去了？假如槍彈均勻打在整架飛機上，那麼引擎蓋上不也應該滿布彈孔嗎？沃德很確定自己知道少掉的彈孔到哪兒了，是在那些回不來的飛機上！能返航的飛機在引擎上的彈孔都很稀疏，是因為引擎遭受嚴重轟擊的飛機，根本飛不回來了。大多數安全返航的飛機，機身都像多孔瑞士乳酪，強烈顯示機身禁得起槍彈轟擊，因此不需特別加強裝甲。假如你去醫院的恢復室看看，你會發現腿上有槍傷的人，比胸部有槍傷的人更多，這並不是因為胸部不容易挨槍彈，而是胸部吃子彈的人難以存活。
數學家有套老把戲能使狀況明朗：把某些變數設定為零。在目前的例子裡，可以調整的是飛機引擎中彈後，繼續飛行的機率。把這個機率設定為零，意思是說引擎只要挨了一顆子彈，飛機就會墜落。現在數據會呈現什麼狀況？你會看到返航的飛機，彈孔分布在機翼、機身、機頭，但是就是沒有在引擎上。軍方的分析師有兩種方法解釋這種情形：德國的子彈哪裡都打就是不打引擎，或是引擎是最脆弱的地方。兩種方式都可以說明呈現的數據，不過後者有道理多了。所以彈孔稀疏的地方反而要加強裝甲。
軍方馬上把沃德的建議付諸實施，在韓戰與越戰中，海軍與空軍也持續遵守他的原則。我沒法精確告訴你，有多少美國飛機因此避免墜亡，今日美軍承繼SRG處理數據的部門，毫無疑問會很清楚真實狀況。美國國防當局從來都很瞭解，戰勝的一方並不是因為比對方更勇敢，或更自由，或更受上帝眷戀。戰勝的一方經常是少被擊落5%的飛機，或者少消耗5%的燃油，或能用95%的成本讓步兵多攝取5%的營養。這些都不是製作戰爭電影的素材，卻是打勝真正戰爭的要件。這裡面每一步都需要數學。（摘自本書前言）

【序】
什麼時候用得到數學？

此刻，在世界上某間教室裡，有一位學生正向老師抱怨，為什麼課後要計算30條定積分？那會耗費掉他大半個週末。
這位學生寧可做些別的事，事實上他最不想做的就是積分。上個週末他就曾經花了很多時間算另外30條定積分，看起來與這次的定積分好像差別不大。他看不出做這件事的重點，他告訴老師自己的想法。在師生的這場對話中，學生一定會問到一個老師最怕聽到的問題：
「我什麼時候用得到它？」
老師很可能這麼回答：
「我知道計算積分很乏味，但是你要記住，將來你不知道會選擇什麼樣的工作，你現在可能...

《數學教你不犯錯（上）》

前言 我什麼時候才會用到數學？

PART I 線性思考錯了嗎？
第1章：更不像瑞典
第2章：局部平直，大域彎曲
第3章：每個人都肥胖
第4章：相當於死了多少美國人？
第5章：派餅比盤子還大

PART II 這樣推論可以嗎？
第6章：破解聖經密碼
第7章：死魚不會讀心
第8章：歸渺法
第9章：內臟占卜學
第10章：上帝，祢在嗎？是我，貝氏推論

《數學教你不犯錯（下）》

PART III 期望值是什麼？
第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
第12章：錯過更多班機
第13章：火車鐵軌相交之處

PART IV 認清迴歸，不錯估趨勢
第14章：平庸會出頭
第15章：高爾頓的橢圓
第16章：肺癌令你抽菸嗎？

PART V 存在性的真實意義
第17章：沒有民意這種東西
第18章：「我從虛空中創造出一個新奇宇宙」

結語 如何做才能正確

《數學教你不犯錯（上）》

前言 我什麼時候才會用到數學？

PART I 線性思考錯了嗎？
第1章：更不像瑞典
第2章：局部平直，大域彎曲
第3章：每個人都肥胖
第4章：相當於死了多少美國人？
第5章：派餅比盤子還大

PART II 這樣推論可以嗎？
第6章：破解聖經密碼
第7章：死魚不會讀心
第8章：歸渺法
第9章：內臟占卜學
第10章：上帝，祢在嗎？是我，貝氏推論

《數學教你不犯錯（下）》

PART III 期望值是什麼？
第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼
第12章：錯過更多班機
第13章：火車鐵軌相交之處

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