量子理論--物理概念與數學結構

第一章經典物理概論

在宇宙萬物中，除了各物體所特有的物理屬性外，人們最需要關注的是“觀測基準（observation reference）”，也就是用來描述物理世界的“物理幾何（physical geometry）”，而物理幾何是由經驗建立的，這有別於“先驗（a priori）”的“數學幾何（mathematical geometry）”，請參閱本書〈附錄一 空間結構〉。因此，觀測物理系統在空間的“位置” 及其隨“時刻” 的演化，成為觀察者在探討客觀物理世界時，最基本的課題之一。
首先，本章將以定義“力學詞彙”的方式，來回顧經典力學的基本概念。為了敘述簡潔，我們將“座標系”簡稱為“標架”或“座”，將代表“觀察者”的“慣性時空座（inertial spacetime coordinate system）”簡稱為“慣性座（inertial frame）”，且在本章〈第一•三•L小節 慣性座〉裏定義。由於在“慣性座”裏，觀測和歸納“物理律”最為“單純”，故本書將以“慣性觀察者（inertial observer）”的觀點來建構“力學”。
其次，本章將針對“物理幾何”，作一般性的討論，並探討任意兩個不同“慣性座”間的“座標轉換（coordinate transformation）”。由於“座標轉換”之間的“幾何關係”，可以由其“對易關係（commutation relation）”來總結，因此，本章僅討論座標轉換間的“對易關係”。由於推導「量子力學（quantum mechanics）」，要以此組“對易關係”作為基本依據，因此，為了彰顯將來“推導”量子力學的邏輯過程，我們將僅以“洛倫茲轉換（Lorentz transformation）”的“非相對論近似”，即“伽利略轉換（Galilean transformation）”，來推導各項結果。適用“洛倫茲轉換”的對易關係，請參閱本書〈附錄二 相對論時空結構〉與〈附錄三 洛倫茲轉換對易關係〉。
一•一 字詞定義
首先，我們來討論一個“字詞”的定義。最原始、最單純的概念，是訴諸直觀認識的“基本概念”，而再沒有更基本的概念可以用來描述這個基本概念。因此，“基本概念”無需定義，這也就構成了自明的“無定義字詞”，例如，“時間”、“空間”等。以這些“基本字詞”為基礎，我們就可以對一般字詞作定義，這樣的定義大致可以分為三種類型：概念定義、操作定義、與效能定義。此三種定義，分別訴諸“情”、“理”、“法”，我們依次說明如下。
A. 概念定義
以訴諸感官、心理的概念或圖像來描述“字詞”，就是該“字詞”的“概念定義（conceptual definition）”。
這一類型的定義訴諸直觀感覺，有時比較原始而且粗略。這也是屬於文學的定義，較富有彈性、預留迴旋想像空間。
B. 操作定義
描述如何獲得或觀測“字詞”的實際過程，就是該“字詞”的“操作定義（operational definition）”，或稱“實作定義”。
這一類型的定義，著重以“實際過程”來界定或局限“字詞”的內涵。這也是科學上，特別是物理上較常用的定義，也是較無彈性的定義，甚至有“反客為主”的意味。
C. 效能定義
描述“字詞”的效能，或借助相當的事物來比照描述，就是這個“字詞”的“效能定義（behavioral definition或coordinative definition） ”。
專有名詞的定義是一個極端的例子：“孔子”名丘，字仲尼，就是生於公元前551年、卒於公元前479年，春秋時期的魯國人等等。
D. 定義範例
當然，我們將“字詞定義”分為這三大類型，只是想說明，在作定義時，可以有特別要強調的方面，而任何一個定義，也可以是這三種類型的組合。首先我們以“力”為例，嘗試說明如下：
(i)概念定義：“力”就是推擠或拉扯。
(ii)操作定義：“力”就是物體的“動量變率 （momentum change rate）”。
(iii)效能定義：“力”就是使物體運動狀態改變的原因，例如，磁鐵間的作用力。
我們再以“慣質（inertial mass）”為例，概略說明如下：
(i)概念定義：“慣質”代表物體對其運動狀態改變的“抗拒”。
(ii)操作定義：“慣質”是借助“慣性天平（inertial balance）”來測量的一種物理屬性。
(iii)效能定義：“慣質”將“某特定鉑金屬方塊”對其運動狀態改變的“抗拒”，定義為其量度單位。
一•二 世界的經典認知
為了敘述上的嚴謹，本節將針對描述物理系統時常用的一些“字詞”，在物理上作較為詳盡的定義。我們將定義“物理系統（physical system）”、“物理量（physical quantity）”、以及描述物理量的“動力變數（dynamical variable）”。在作定義時，我們盡可能一般化，希望同時能適用於經典力學和量子力學。必要時，我們也會說明，這些字詞在經典與量子情況下的區別。
A.宏觀與微觀
(1)宏世界
人們觀察“外在世界”，進而歸納得到“宏觀”物理量，例如：距離、時間、質量、速度、能量、體積、溫度等。人類可以直接感受並區分的周遭環境與現象，屬於人們所謂的“宏世界（macroscopic world）”。“宏尺度（macroscopic scale）”的數量級為公分（cm）、克（g）、秒（s）、耳格（erg）等，此即為人們日常使用的“cgs”量度單位。
(2)微世界
“微世界（microscopic world）”的代表，諸如分子、原子、光子、電子、質子、中子、夸克等，皆屬於“原子”或“次原子”的物理系統。“微尺度（microscopic scale）”的數量級約等於或小於10-8公分、10-24克、10-12秒，或者以“有理普朗克常數（rationalized Planck constant）” 耳格•秒（erg•sec）的“大小”為基本尺度，簡稱“普常數”。
(3)宏觀微觀比較
“宏世界”與“微世界”的原始定義，是以“尺度（size）”來區分：“肉眼可見世界”，以及比其線尺度小約一億（108）倍的“肉眼不可見世界”。具體而言，“宏世界”與“微世界”的實質區別是在其“描述完備性（completeness in description）”。
在描述“微世界”時，我們會利用物體各構築成份內一切“需要”考慮到的“自由度（degree of freedom）”；而在描述“宏世界”時，我們僅選取極少數有代表性的“參量”，來總結所觀測的現象。就描述的“完整性”而言，代表一“摩爾（mole，即gram-molecular weight〔克分子量〕）”物質所含分子數的“阿伏伽德羅常數（Avogadro constant）” ，是一個很方便的指標。換而言之，“微觀描述”要比“宏觀描述”仔細約1024倍。
舉個簡單的例子：一個1立方公分的“骰子”為“宏世界”的物體，將其長寬高各切分為一億（108）份，共得1024個細微小方塊，此即為“微世界”裏一般“原子”的大小。
(4)以微觀解釋宏觀
針對“宏觀”物體，我們可以測定一些“宏性質（macroscopic properties）”，例如：溫度、混度(熵)、體積、壓強等。我們知道，物體由“原子”構成，因此，可以嘗試由原子的“結構”及其“相互作用”，來“解釋”或“預測”物體的“宏性質”。
(5)以宏觀推論微觀
然而，我們想要從宏觀物體的狀態，推知其中“各個”原子的狀態，這是不可能的。因為宏觀物體通常包含至少“1024個”原子，僅靠其溫度、混度、體積、壓強等“數個訊息”，當然不可能推知其中各原子的狀態。但是，我們從該物理系統的這“數個訊息”，可以得到其處於“平衡態（equilibrium state）”下的“微性質（microscopic properties）”的統計分佈。
(6)統計物理——微觀到宏觀的橋樑
“統計物理”，又稱“統計力學”，其“目的”是由物體的“微結構（microscopic structure）”及其相互作用，來解釋或預測物體的“宏性質”。它架起了從“微觀理論”過渡到“宏觀理論”的橋樑。統計物理的主要內涵是以“概率統計”方法，來研究多體系統的“力學行為”及其行為“模式”。具體內容，讀者可參閱相關專書。
B.物理系統
“物理系統（physical system）”是指，由客觀存在的“具體”或“無形”的“東西”所組成的“明確聚合（well-defined collection）”。
注意，此處定義的“物理系統”，包含“有形”的粒子與“無形”的場，它們皆“可測”，如電子、原子、聲波、電磁場等。因此，粒子的“勢（potential）”也是物理系統的一部分，甚至包括未極化的“物理真空（physical vacuum）”。
C.物理量
“物理量” 是指，物理系統可以被觀測到的“物理屬性（physical attributes）”。
例如：位置、質量、能量、動量、力、電荷、對稱性等皆為物理量。關於常見基本物理量的定義，請參閱本章〈第一•三節 力學詞彙〉。物理量 的函 ，通常是被當成另一個“物理量”。
D.動力變數
物理系統的“動力變數（dynamical variable）” 是，以時刻 為參數的一個“實變數”，用來描述物理系統於時刻 的物理量 。該實變數的數值範圍，為此物理量的一切可能觀測到的值。
簡單地說，“動力變數” 是數學上的一個變數，用來描述物理量 隨時刻 的演化，例如，位置 、動量 等。動力變數 有兩層含義：其一，標記其所代表的“物理量” ；其二， 代表其隨 而改變的“值”，也就是我們於時刻 觀測此物理量 的結果。動力變數的每個值皆由一個“實數”〔定量〕乘上“單位”〔定性〕來確認。注意，在經典力學裏， 為時刻 的“單值連續函（single-valued continuous function）”；但在量子力學裏， 可為 的“多值非連續函（multiple-valued non-continuous function）”，而每個值皆以某特定概率出現，詳細情況，得留待後文再娓娓道來。
其次，我們來談，選擇“實變數”代表“動力變數”的問題。假設一開始我們就以“實數”來代表“物理量”，則說明“物理量”的運算法則，與“實數”的運算法則相同。如果由某物理量經邏輯程序推導出來的新物理量也為實數，則說明此新物理量也必須滿足實數運算法則。通常我們以“實數”來表達物理量，實際上，也可用“複數”來表達物理量；而實數的表達方式，可看作是選定某特定相位的“複數”。不僅如此，有時兩個相關的物理量，也可用一個複數來表達；也就是說，兩個相關的“實動力變數（real dynamical variables）”，可用一個“複動力變數（complex dynamical variable）”來表達。甚至還可以再乘上一個“相位因子（phase factor）”，以改變複動力變數的組合結構。如此一來，此複動力變數的“實部（陽）”與“虛部（陰）”，成為此複動力變數的兩個組合成份。畢竟，“數學”只是物理中用來作運算的工具，而在數學上，“複數”可定義為遵循某些特定邏輯運算規律的“序實數對（ordered real pair）”。在近代的“幾何代數（geometric algebra）”這門學科裏，還可窺見“複數”的幾何詮釋。

第一章經典物理概論

在宇宙萬物中，除了各物體所特有的物理屬性外，人們最需要關注的是“觀測基準（observation reference）”，也就是用來描述物理世界的“物理幾何（physical geometry）”，而物理幾何是由經驗建立的，這有別於“先驗（a priori）”的“數學幾何（mathematical geometry）”，請參閱本書〈附錄一 空間結構〉。因此，觀測物理系統在空間的“位置” 及其隨“時刻” 的演化，成為觀察者在探討客觀物理世界時，最基本的課題之一。
首先，本章將以定義“力學詞彙”的方式，來回顧經典力學的基本概念。為了敘述簡潔，我們...

本書的撰寫宗旨，不僅在説明什麼是「量子理論」，更在於解釋「為什麼「量子理論」是這樣的。因此，本書適宜物理專業的本科生「自修自習」，或作為「量子理論」相關課程的參考書：有助於糾正「物理概念」與加強「數學根基」。此外，對物理科學有興趣的哲學、工程、或數學專業學者，也可將本書作為「量子理論」的入門參考讀物。

約二十年前，作者將當時在「量子力學」課程方面的教學與研究心得，以中文撰述《量子力學——哲學概念與數學基礎（Quantum Mechanics—Philosophical Concepts and Mathematical Foundations）》（俊傑書局, 臺北, 2004, 1138頁）。由於篇幅所限，書中有甚多割捨之處。因此，七年後再補撰英文版的《Scientific Mathematics—Annotated Handbook（科學數學——注釋手冊）》（五南圖書出版公司, 臺北, 2011, 552頁）。有感於「統計物理」乃是「宏觀物理」的微觀基礎，而「量子理論」屬於「微觀理論」，須借助統計，才能解釋日常所見的「宏觀現象」。因此，接着再撰英文版的《Quantum Statistical Thermodynamics— Mathematics and Glossary》（Springer-Verlag, Berlin, 1010頁），並於2017年定稿，惜因版面及校對問題，一再拖延。後又因新冠疫情，至今尚未出版。「相對論」裏最重要的概念是「真空光速恆定」，而「量子理論」裏最重要的概念是「陰陽互補」，這也是「量子力學」大師，玻爾（N. H. D. Bohr, 1885-1962）所認同的。由於「陰陽」概念源於華夏文明裏的《易經》，故補撰《易經之科學——上帝也擲骰子》（元華文創, 臺北, 2019, 428頁）。
如今，作者與郭明剛博士合作，整理作者歷年來在美國聖母大學（University of Notre Dame）、台灣大學、福州大學、四川大學、與中國科學院大學的有關教學講義。再綜合前四書，並將有關「量子理論」以公設的形式，經由邏輯進行深入探討撰成此書，尤其附加「相對量子力學」與「量子場論」，以補前《量子力學》書之不足。此外，更從「量子規範場論（Quantum Gauge-Field Theory）」的典範，即「量子電動力學」的角度，將「量子碰撞」與「量子躍遷」展示為應用實例。

根據作者近五十年來，在美國、中國大陸與台灣的教學經驗，一般初學者對「量子力學」，往往「知其然，而不知其所以然」。例如，坊間介紹「量子力學」的書裏，大多沿襲德布羅意（L. V. D. de Broglie, 1892-1987）、海森伯（W. K. Heisenberg, 1901-1976）、狄拉克（P. Dirac, 1902-1984）、薛定諤（E. Schrӧdinger, 1887-1961）等人早年的講法，以「位置動量對易關係」 ，作為粒子運動的「基本假設」，來架構整個「量子力學」。這有點像西方魔術師，從硬頂禮帽裏變出一隻活生生的兔子；容易讓初學者有種「丈二金剛，摸不着頭腦」的感覺。因此，作者在前述《量子力學》書中為讀者解密：祇要假設粒子是以「複概密幅（complex probability-density amplitude）」 呈現於「位置空間」，則「位置動量對易關係」就可由數學上「混變數（random variable）」的概念，以嚴謹的邏輯推論得到。這裏的 就是所謂的「波函（wave function）」。

任何物理理論皆以實驗為基礎，「量子力學」也不例外。「量子力學」的建立，源於十九世紀末經典物理無法解釋的幾個實驗現象，如黑體輻射、光電效應、原子光譜規律、固體低溫比熱等。為解釋這些實驗現象而提出「波粒二象性（particle- wave duality）」概念：任何東西的「本質」皆為「粒子」，但其行為遵循「波動」的「規律」。在量子物理描述中，採用「波函」描述波粒二象性，其物理意義由玻恩（M. Born, 1882-1970）的「波函統計詮釋」給出。

在量子觀測中，由於觀測物理量的結果往往呈現為一個「概率分佈（probability distribution）」，即數學裏「混變數」處理的情況；因此，「量子力學」將觀測物理量的「範圍」與「概率」分開來處理。也就是將「觀測運作」與「觀測結果」分開，通過引入物理量對應的「測符（observable）」，並以其「徵值（eigenvalue）」來代表物理量的取值「範圍」；通過引入「態符（state operator）」來描述物理系統的狀態，並以測符與態符來共同決定物理量的取值「概率」。

目前我們知道，宇宙是由衆多不同類型的微觀粒子組成，各類型粒子又多到不可勝數。全部這些粒子憑藉相互作用，整體組合成「相干（coherent）」的「宇宙波函（wave function of the universe）」，這也就是「量子糾纏（quantum entanglement）」的肇始，而每次「觀測」都將造成部分「退相干（decoherent）」。此外，在宇宙裏，內稟屬性完全相同的微觀粒子定義為「等同粒子（identical particles）」。依據實驗觀察，交換等同粒子系統裏任意兩粒子，等同粒子系統的波函必須為「對稱」或「反稱」，由此可將等同粒子分為兩類：「費子（fermion）」與「玻子（boson）」，它們分別遵循「費米-狄拉克統計」與「玻色-愛因斯坦統計」。

「量子理論」屬於「微觀理論」，與統計物理密不可分。統計物理中最重要的概念就是「系綜」。系綜可分為「經典系綜（classical ensemble）」與「量子系綜（quantum ensemble）」，前者為「非相干系綜（incoherent ensemble）」，而後者為「相干系綜（coherent ensemble）」。在經典統計物理裏，利用「經典系綜」來描述大量微觀粒子所構成「宏觀物理系統」的狀態，一般皆為「混態（mix state）」。在量子統計物理裏，則必須利用「量子系綜」來描述「微觀物理系統」的「純態（pure state）」。不論在經典或量子物理裏，物理態皆可分為純態與混態。一般在傳統的經典力學裏，描述的皆為「純態」，無需引入系綜；因此，隱而不談「混態」。然而，在量子物理裏，純態則需用「量子系綜」來描述，而混態需同時用「量子系綜」與「經典系綜」來描述。當觀測考慮「混態」的物理量時，經典統計物理只需作「經典系綜平均」，而量子統計物理則必須先對「純態」作「量子系綜平均」，然後再對「混態「作「經典系綜平均」。

作者在前述《量子力學》一書的前幾章裏，沿着「量子力學」的緣起脈絡，作了綜合性的陳述。同時也將相關物理定律與實驗現象的發現，以及其在西方與中國古代的歷史淵源，作了概略性的介紹。有興趣的讀者可查閲。這對創新物理概念的觸發過程，有甚多值得「借鑒「之處。

本書的撰寫宗旨，不僅在説明什麼是「量子理論」，更在於解釋「為什麼「量子理論」是這樣的。因此，本書適宜物理專業的本科生「自修自習」，或作為「量子理論」相關課程的參考書：有助於糾正「物理概念」與加強「數學根基」。此外，對物理科學有興趣的哲學、工程、或數學專業學者，也可將本書作為「量子理論」的入門參考讀物。

約二十年前，作者將當時在「量子力學」課程方面的教學與研究心得，以中文撰述《量子力學——哲學概念與數學基礎（Quantum Mechanics—Philosophical Concepts and Mathematical Foundations）》（俊傑書局, 臺...

序 言

第一章 經典物理概論
一．一 字詞定義
一．二 世界的經典認知
一．三 力學詞彙
一．四 統計描述
一．五 實驗觀測
一．六 物理量的概佈
一．七 物理系統的狀態
一．八 慣性時空轉換

第二章 量子數學基礎
二．一 矢空間
二．二 矢空間的基
二．三 矢空間拓撲結構
二．四 希爾伯特空間
二．五 簡單粒子的希空間
二．六 算符
二．七 物理系統的測符
二．八 希爾伯特空間表象

第三章 量子物理描述
三．一 量子統計
三．二 量子物理觀測
三．三 物理態的動力描述
三．四 量子純態與混態
三．五 系綜平均
三．六 物理量的不確定關係
三．七 物理態的量子系綜詮釋
三．八 測符徵態的分類

第四章 量子力學推導
四．一 物理公設系統
四．二 量子力學公設
四．三 觀察者的物理世界
四．四 物理態的時空轉換
四．五 態換符一般表達式
四．六 時空轉換與態換符
四．七 態換子對易關係
四．八 動力測符

第五章 相對量子力學
五．一 狄拉克方程的建立
五．二 狄拉克符的數學特性
五．三 協變標記
五．四 矩陣符
五．五 基本力學符
五．六 角稱符
五．七 狄拉克方程的解
五．八 狄拉克態的洛倫茲轉換

第六章 量子場論簡介
六．一 量子力學到量子場論
六．二 粒子運動的量子化
六．三 場的拉格朗治表述
六．四 場的正則量子化步驟
六．五 量子場的基態
六．六 場量子化
六．七 多粒系統的場描述
六．八 量子電動力學

第七章 量子碰撞理論
七．一 量子碰撞基本理論
七．二 孤立系統的演化
七．三 粒子碰撞演化
七．四 旋性表述
七．五 量子碰撞方程
七．六 原子碰撞範例
七．七 碰撞類型間的對稱
七．八 碰撞理論總結

第八章 量子躍遷方程
八．一 量子方程
八．二 躍遷密陣
八．三 量子躍遷
八．四 原子結構術語
八．五 jm陣元結構
八．六 反稱陣元解析
八．七 躍陣主方程的解
八．八 相對混相理論

附錄一 空間結構
附一．一 拓撲結構
附一．二 可微結構
附一．三 仿射結構
附一．四 量度結構
附一．五 歐幾里德空間
附一．六 太虛——時空參考座

附錄二 相對論時空結構
附二．一 洛倫茲轉換
附二．二 視轉角
附二．三 主動觀與被動觀
附二．四 洛倫茲轉換對易關係
附二．五 洛倫茲逆轉換
附二．六 閔可夫斯基時空
附二．七 事件的相關性
附二．八 閔時空的虛軸表述

附錄三 洛倫兹轉換對易關係
附三．一 勻速之間對易關係
附三．二 勻速時移對易關係
附三．三 勻速位移對易關係
附三．四 勻速轉向對易關係
附三．五 對易關係總結

附錄四 量子觀測理論
附四．一 觀測原理
附四．二 磁矩觀測

附錄五 狄拉克函δ函
附五．一 泛函理論簡介
附五．二 函空間
附五．三 廣義函
附五．四 一維狄拉克δ函
附五．五 三維狄拉克δ函

附錄六 三維轉向
附六．一 歐幾里德空間轉向
附六．二 轉向的運作描述
附六．三 轉向的群結構
附六．四 轉向符的相似轉換
附六．五 轉向符的矩陣表象
附六．六 轉向符的矢表象
附六．七 轉向符的對易關係

附錄七 伽利略轉換對易關係
附七．一 轉換的代數結構
附七．二 非轉向間對易關係
附七．三 非轉向與轉向對易關係
附七．四 轉向間對易關係
附七．五 對易關係總結

附錄八 量子力學動象
附八．一 測符的期值
附八．二 薛定諤動象
附八．三 薛定諤方程
附八．四 海森伯動象
附八．五 狄拉克動象
附八．六 以概密定義的動象
附八．七 對稱性與守恆律
附八．八 時能不確定關係
附八．九 動象裏的軌符與場符

附錄九 量子力學舊公設
附九．一 物理態
附九．二 物理量
附九．三 觀測
附九．四 量子化
附九．五 演化
附九．六 相容公設
附九．七 稱化公設
附九．八 對等公設
附九．九 光速公設
附九．十 量子力學新公設

附錄十 粒子態的稱化
附十．一 粒子描述
附十．二 等同粒子系統
附十．三 等同粒子的置換
附十．四 等同粒子的稱化態

附錄十一 主動與被動轉換
附十一．一 座標系
附十一．二 物理系統
附十一．三 座標轉換
附十一．四 座標轉換的相對關係

附錄十二 態換子對易關係
附十二．一 算符公式
附十二．二 初步對易關係
附十二．三 態換子對易關係的簡化
附十二．四 態換子對易關係總結

附錄十三 符集的不可約性
附十三．一 算符不可約性
附十三．二 不可約符集
附十三．三 自伴符集
附十三．四 不可約自伴符集

附錄十四 泡利算符
附十四．一 泡利陣
附十四．二 泡利自旋空間的符基
附十四．三 2×2矩陣展開式

附錄十五 算符公式
附十五．一 算符恆等式
附十五．二 算符對置關係

附錄十六 格林符技法
附十六．一 格林符
附十六．二 格林符應用

附錄十七 角動耦合圖解法
附十七．一 球諧函
附十七．二 角動耦合
附十七．三 圖標
附十七．四 圖形轉換規則
附十七．五 基本圖

參考書目
英中字詞
索引

序 言

第一章 經典物理概論
一．一 字詞定義
一．二 世界的經典認知
一．三 力學詞彙
一．四 統計描述
一．五 實驗觀測
一．六 物理量的概佈
一．七 物理系統的狀態
一．八 慣性時空轉換

第二章 量子數學基礎
二．一 矢空間
二．二 矢空間的基
二．三 矢空間拓撲結構
二．四 希爾伯特空間
二．五 簡單粒子的希空間
二．六 算符
二．七 物理系統的測符
二．八 希爾伯特空間表象

第三章 量子物理描述
三．一 量子統計
三．二 量子物理觀測
三．三 物理態的動力描述
三．四 量子純態與混態
三．五 系綜平均
三...