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工作單設計案例
從迷思出發
在數學教學中，常見學生有各種迷思，如「和用加法、差用減法」的關鍵字迷思、「乘會變大、除會變小」的運算迷思、「以加法解比例問題」的策略迷思、「零點九九循環小於1」的動態無限迷思、「3的倍數加6的倍數為9的倍數」的推理迷思，以及「和的平方等於平方的和」的交換迷思等等，皆是學生在學習過程中，可能產生疑惑或困難，然而，這些迷思可用來設計成，促進學生思考的工作單嗎？若可以，該如何進行？學生學習表現會有何不同？教師本身有何改變？這節將以廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉為案例進行說明。
一、見證成長的美麗足跡
1. 「 等於1嗎？」
在廖老師的教學經驗中，七、八年級學生在學習「數與運算」或「無理數」單元時，會提出「 等於1嗎？」的問題，無論學生向老師提問的原始想法為何，但正因是學生主動提出的疑惑，故可作為主動思考的第一步，她說：「學生主動提出一個數學的問題，真正令感到他們感到「好奇、有趣」，這不正是學生主動思考絕佳的第一步嗎？」學生對此問題感到好奇、有趣，同時，數學教師亦對於如何處理此問題，感到困難，她說：「曾有教師在休息時間向教授提問，「當學生問到會不會等於1的問題時，該如何解釋？」此時，許多原本正在休息的數學教師們，紛紛望向提問者與教授。可見，這不只是個令學生感興趣的問題，亦是個令教師感到不易回答的問題。」針對這同時吸引學生與教師的問題，要如何設計出可提供教師參考的教案，並促成教師自身的成長，成了廖老師的目標，她說：「基於上述兩個理由，研究者在此次工作坊中，不自量力地以「 與1」為研究題目。期盼在教授與伙伴們的協助與砥礪中，能提出一個可供教師參考的教案，更是見證自己成長的一道美麗的足跡」。
2. 「 不等於1！」
廖老師為瞭解曾在高中學過用無窮等比級數推論「 =1」的人，是否仍保有此印象，於是找了三位高中已畢業多年的人進行訪談，而他們皆認為 不等於1。其中一位是大學已畢業多年，且修習社會科系(國中社會科輔導團老師)的A先生，他認為 不等於1，因 表徵著永遠的可能和努力空間，不論數學家如何想，他有自身情感上的思考。以下是廖老師(T)訪談A先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得0.9 ̅會等於1嗎？
A：不會耶，我會說趨近於1。
T：所以你覺得不會「等於」？
A：不會啊，這種感覺就如我常說的名言，完美並不美。
T：太深奧了，願聞其詳。
A：沒有所謂的完美，若完美就失去了再努力與改變的可能。1若表徵為完美，0.9的循環就是永遠的可能與努力的空間。
T：那如果我宣告0.9 ̅會等於1，你會覺得是錯的囉？
A：數學有你的專業考量，人文則有我情感上的思考。
T：你的意思是說，儘管你可能認同我的推論，但情感上，你會覺得兩個不相等？
A：畢竟數學不是我的專業，妳是數學知識，我是數學意識，知識是絕對客觀，意識是人的揣摩。
另一位則是在學的大學生，修習理工科系的B先生，他雖記得高中數學曾經證明過 等於1，但他還是直覺地認為 不等於1，可說 近似於1，但從工程觀點來看，若在誤差的容許範圍內，可將 看成相等於1。以下是廖老師(T)訪談B先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？
B：不會。
T：是喔，為什麼？
B：直覺，以前好像算過。但若仔細一想，應會等於1。
T：為何你又覺得它們會等於呢？
B：一直0.9999999999999999999999....... 好像可以證明耶，可是忘記怎麼證明了，高中數學。
T：你是有「印象」覺得應會相等？
B： 一開始不等於1，是因覺得就算還有一點點的差，它還是有差。
T：那後來為什麼你又覺得會相等了？
B：因為覺得那一點點的差，對於工程上面似乎可忽略，故覺得可近似於1。
T：可是近似於跟相等好像還是不一樣耶……
B：但覺得可直接當作1來看，雖近似於跟相等不同。工程人久了，有些觀念會制式化，太正規，應該說太隨便，只要能用就好。安全係數不要太小就好，不會造成危險，管他那麼多。
第三位則是在學的研究生，修習理工科系的C先生，他認為 不等於1，但在不同的「精確度」要求下， 可以等於1，例如精確位數為個位，小數以下第一位四捨五入後就都是1。即使廖老師追問兩者若不同，那兩數的差值應該是多少時，他以物理所定義的最小單位原子來說明，差值為最小正數，並以「 」來表示。以下是廖老師(T)訪談C先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？
C：看精確度啊，若精確度只有小數點0位數，管他點多少都是1。
T：那不理會精確度，純粹就思維來說的話？
C：不是理工的應該都會說不相等吧
T：怎麼說？
C：寫程式0和1沒弄清楚會出人命的，特別是醫院診療和醫療影像軟體。
T：可是是 ，可不是 0 喔...
C：我知道啊，所以說要看精確度。若只是一公尺的距離，角度差個0.00001度不會有差別。但萬一是太空探險，距離有一光年那怎麼辦呢。
T：那如果精確度是無限大，你覺得會一樣嗎？
C：還是不一樣啊！
T：怎麼說？
C：之前寫程式遇到一個很有趣的問題， ，因記憶體大小有限，所以並不是循環小數。大概是0.333333333× 3換變成0.99999999這樣。話說在數學裡面為什麼會相等？
T：因為若不相等的話，那他們相減應會得到一個數，對嗎？
C：嗯嗯。
T：可是他們相減能得到什麼呢？
C：這太好玩了！請問強子對撞機讓兩個原子相撞，有撞出什麼更小的粒子嗎？再問若真的找到基本粒子，這樣上帝是真的存在嗎？全是觀點問題啦！
T：經過剛剛的討論，你會相信 ＝1嗎？
C：不會。因為相減還不等於 0，是等於 。
3. 「 =1，但…」
廖老師亦訪談了一些國中數學教師，對此問題的處理方式，他們大多以代數方式處理：「令 ，則 ，兩式相減可得 ，因此 ，即 」。如訪談的某位國中數學教師說：「用代數方法證明吧！至於在無限的範疇中可以這樣用嗎？我現在只能用國中生的想法思考。」另一位被訪談的國中數學教師表示，代數方法雖被認為不恰當，但他也只記得此方法，他說：「印象中有聽過教授說，這樣做（代數方法）好像是不對的，可是我只記得這個方法。對於無限循環小數可化為分數，我通常都帶過去。」。
在高中數學課程中，是將循環小數看成是收斂的無窮等比級數，因此「 =1」的論述便以此為基礎，也就是「 」表示無窮等比級數「 」，因此，預先假設極限必收斂後，才進行運算的代數處理方式，被看成是錯的，例如廖老師班上某位學生家長，恰為高中數學教師，這位數學老師(家長)認為上面描述的代數方式，是一種「誤解」，而正確的解法應該如下：
廖老師還引用數學教授單維彰(2008)，發表在科學月刊的「無窮循環小數」一文，調合國中數學教師與高中數學教師，對此問題的教學觀點。單教授認為對於沒有無窮等比級數基礎的學生，教導使用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數，不能說是誤導或錯的，雖此方法只簡略說明，並無告知學生全部事實，未來學習只需增加概念而毋須修改，他說：「許多教師知道如何用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數。以 為例，令x＝ ，則10x＝3＋x，所以9x=3，所以x＝ ，也就是 ＝ 。有些教師則擔心，這種教法會誤導學生而不敢使用。其實毋須多慮，此教法並無說謊亦非誤導，只是略過一個技術性細節而已：先證明循環小數必然收斂，前述作法是正確的。而我們知道循環小數沒有不收斂的，故暫時不告訴學生全部事實，並無誤導：學生將來只須增加觀念，不須修改觀念。」，單教授並以孩子常問媽媽「我是從哪裡來的？」的問題為譬喻，說明誤導和簡略說明的差異，他說：「媽媽若回答『一隻鳥把妳叼到家門口，我把妳撿進來的』就是誤導（對大部分的家庭而言）；但媽媽若回答『天使把妳放進我的肚子裡，我辛苦把妳懷到夠大後才生出來』並不算說謊，只是隱瞞了一點技術性的細節而已」。
4. 你可以再靠近一點！
廖老師經由質性訪談，與文獻資料整理後，針對國中生設計三個子活動，活動一是提問兩數差值，意圖製造認知衝突，並促進思考，她說：「我保留問話的方式，『若不相等的話，他們相減會是多少？』通常此時，他們(學生)會產生認知衝突，並開始思考問題的答案為何？」活動二則是利用時數的稠密性，意圖再製造認知衝突並促成思考，她說：「若你覺得這兩個數不相等的話，那0.9循環會在這裡，那1會在這邊，可是什麼數介於0.9循環到1的中間呢？之後讓他思考這個問題。」活動三則是引導學生利用代數計算，得出兩數相等的結果，雖然廖老師安排此活動，但她不認為此活動對學生學習會有幫助，她說：「這個代數式是個無用的式子，因你跟他講後，他會出現『你在變魔術』的感覺，他會認為你只是用個式子在騙他，因而我覺得此式子對於他的學習，就是0.9循環會等於1，這個感覺完全無任何幫助。」這份工作單設計最主要用意，並非要學生接受或記住「 =1」，而是讓學生能留下思考方法，她說：「我覺得此題目值得做，是因就算最後你不能夠讓他相信說這兩個數會相等，但當你留下一些方法在他心裡面的話，我覺得這還是有意義的。」，其工作單設計如下表XX。
表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(初版)
內容
《活動1：比大小》
1. 你認為 （0.9999999………）和1相等嗎？
2. 如果你覺得 和1不相等，那麼你認為它們相減會得到多少呢？
《活動2：數線上的密室》
3. 在數線上，每兩個點（兩個數）之間，還會有點（數）嗎？為什麼你這麼說呢？
4. 想想看， （0.9999999………）和1之間有點（數）嗎？若有的話，是什麼數呢？
《活動3：友誼的橋樑》
5. 令 x＝0.9999999……＝
10x＝
兩個式子相減，
可得，9x＝
x＝
所以可得到：
編者註解：
1. 學習活動一是讓學生提出直觀的「 」，並藉由兩數差值的提問，意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。
2. 學習活動二則是延續學習活動一，藉由兩數之間是否有其他數的提問，也意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。
3. 學習活動三則是以國中小生，可以理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓學生相信「 」。
5. 選擇「克制直觀」策略
廖老師在工作坊的報告，初版工作單設計想法中，提出此份工作單試驗後的結果。廖老師指出，即使她與試驗學生就工作單問題相互討論，學生仍認為0.9循環和1不相等，她說：「學生的評論：(1)不管0.999......後面的…有幾個9，零點多一定比1小；(2)代數方法感覺像在變魔術，像騙人的。」因此，報告過程中特別拋出教學問題：「如何突破學生認為0.9循環不是1的感覺？」獲得相當多回響，特別是工作坊的授課教授，從無限的過程與結果面向，亦從思維的直觀與解析的面向，分析學生對「0.9循環」的認知，並提出可改變直觀的兩種方式：(1)認知衝突；(2)和專家直觀，以及可行的改變策略，而廖老師將這些評論意見整理如下：
(1) 數學符號可表徵「過程」或「結果」。看到 ，人的反應是一個持續動態的「加」的「過程」0.9＋0.09＋0.009＋……，而1是靜態的「結果」。
(2) 是否也是演算的結果？是，但不是直接演算。 ，換句話說， 與 直接心算，可帶上等號。 是 ，則差一步，不易直接察覺。
(3) 認知上， 小於1是「直觀」（intuition）。理論上，直觀具有立即性、確定性、持久性，因此， 小於1是「不易改變」的直觀。
(4) 改變不當「直觀」，有兩種可能：
A. 立即性的，製造認知衝突，讓「直觀者」感受自己的想法有「不當」，下一步，才設法讓他接受類似 的推理。
B. 培養具有二階直觀的專家，例如你、我。
(5) 認知衝突的設計可有許多策略。可「反問」學生，如果「 ，那小多少？」不算是錯的思維，因認為 的人，也許追問之下，已可明確說出：「不管多小的正數ε， 與1的差都可以比ε還小」因此，相信「 」的直觀者中，一部分已具上述數學，以「1做為極限」的思維，那麼要培養的只是極限的定義、數學的定義。說明上述思維的內容，在數學上以「極限」稱呼。不過，對尚無法發展出上述思維者，就應著力在「克制」的策略上。努力學習把 看成 的過程步驟，克制自己的直觀。」。
6. 回饋後重新再調整
廖老師的初版工作單，經過試驗及報告，並獲得工作坊成員回饋後，重新調整活動內容，將原本兩數比較大小(差值)，和實數稠密性的活動結合，更增加火車接軌，以及數線上兩點距離等活動，企圖以這些經驗銜接，實數稠密性與等值的意義；此外，以分母為9的真分數，及其等值的無窮循環小數，建立一系列結果與過程相等的例子(如 )，希望學生能歸納出兩數等值( )；同時，保留了代數計算兩數等值的活動；最後，增加反省與評論的活動，於是形成〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單的內容(如下表)。
表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(二版)
內容
1. 你認為1是一個數嗎？
2. 你認為 是一個數嗎？
3. 小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。
4. 下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。
5. 你所標示的這兩個點，它們的距離是多少呢？
6. 以下是幾個關於數線的是非題。
（）0和1之間有數。
（）0.5和0.6之間有數。
（）0和 之間有數。
（） 和 之間有數。
（）3和 之間有數。
7. 以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？
8. 現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。
你同意這個式子嗎？
請你完成以下的推論。
經由哪一個式子，可以發現 與1的大小關係呢？它們的大小關係是……？
9. 未知數x也想加入這場遊戲，
如果令 x＝0.9999999……＝
那麼 10x＝＝
兩個式子相減，你可以得到？
10. 經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？
11. 你會怎麼形容 ？
12. 這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？
編者註解：
1. 此份設計主要有四個部分：(1)問題1-7是不等兩數間，必有其他數(實數稠密性)的活動；(2)問題8是過程與結果等值活動；(3)問題9是以代數計算兩數等值的活動；(4)問題10-12則是反思與評價的活動。
2. 第一部份可看到問題1-2用來確認是否為數；問題3則提供接鐵軌遊戲的連接經驗，意圖類比到數線稠密性的問題4 -5上；問題6-7則檢驗等值兩數之間不會再有數字，以用來製造衝突。
3. 第二部份是利用除法運算(過程)建立分數(結果)，與無窮循環小數(過程結果)的等值關係，如 ，意圖讓學生推論出 。
4. 第三部份和初版設計相同，利用國中小生可理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓讓學生相信「 」。
5. 第四部份則是讓學生，重新反思自己對兩數的認知，意圖讓學生產生抑制直觀的經驗。
7. 教學實驗後的微調
廖老師在一個七年級的學生班，使用〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單進行教學實驗，可看到學生對於兩數的觀點，隨著活動的進行而有所改變，詳細結果整理在下個章節，以下是實驗後，廖老師自己提出(1)-(3)點修正想法，和其他教師提出(4)-(6)點的修改想法：
(1). 第6題與第7題之間可再增加一些題目來增強連結。
(2). 第8題的引導似乎有不足，因此許多學生直接從 跳到1，而無法觀察到 在過程中的角色。
(3). 第9題，在式子中，兩式皆出現了兩個等號，干擾學生在兩式相減時的作答，應加以修正。
(4). 第6題的第三小題：3和 之間有數。這個題目讓我容易聯想到 與1是同一個數的2種不同表徵方式。
(5). 我喜歡活動2的設計，藉由循環小數的推導，看到 ＝1。 ，是1，非1，終究還是1啊！。
(6). 其他老師K：活動2的 很容易直接得出1這個答案， 就出不來了，建議稍做調整。
廖老師根據這些意見，微調二版工作單，而得三版的〈你可以再靠近一點： 與1〉臆測活動工作單，如下：
表XX：〈你可以再靠近一點：0.9循環與1〉(臆測活動工作單三版)
內容
《活動之前：Discovery探索頻道之心聲突擊隊》
1. 是非題，圈出你心中的感覺，憑直覺作答並且先不要修改。
（）我認為 等於1。
（） 不等於1， 趨近於1。
（）如果 ＝1寫在數學課本上，那我會相信它是對的。
（）我堅信 不等於1，而且不相信任何 ＝1的解釋。
（）在人的主觀意識裡 不會等於1，在人的主觀意識之外 沒有意義。
（）1若表徵為終點， 就是永遠持續的追求。
（） 原本不等於1，但他和1的差距小到可以忽略，所以 會等於1。
（）差距不論多小都不應該忽略，所以 不等於1。
（）我應該能找到1和 相減的差。
（）我應該找不到1和 相減的差，但是我相信這個差距存在，只是我找不到好的表示方式。
（） 不等於1，因為相減還不等於0，是等於 。
（）我認為在有限的思維裡討論「 是否等於1」的問題是沒有意義的。
（）我認為要討論「 是否等於1」的問題時，直覺並不可靠。所以我拒絕用直覺作答。
《活動1：數線上的密室》
2. 你認為1是一個數嗎？
3. 你認為 是一個數嗎？
4. 小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。
5. 火車軌道和數線，你覺得這兩者有什麼相似之處呢？
6. 如果軌道有斷裂（如上圖右）的地方，那麼火車就無法通過了。請問，你認為數線上有斷裂的地方嗎？為什麼？
7. 下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。
8. 你所標示的這兩個點，它們之間有數嗎？
9. 以下是幾個關於數線的是非題。
題目 ○ × 如果你認為有，請舉一個例子。
0和1之間有數。
0.5和0.6之間有數。
0和 之間有數。
和 之間有數。
3和 之間有數。
和1之間有數。
10. 以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？
《活動2：亦步亦趨》
11. 現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。
(1)你同意這個式子嗎？
(2)請你繼續以下的推論。
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
(3)哪一個式子，可以使你發現 與1的大小關係呢？請你在式子前面打勾。
(4)經由你所打勾的式子，你發現 與1的大小關係是……？
《活動3：友誼的橋樑》
12. 未知數x也想加入這場轟動數學世界的遊戲，
如果令 x＝0.9999999……
那麼 10x＝
兩個式子相減，你可以得到？
13. 經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？
14. 你會怎麼形容 ？
15. 這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？
編者註解：
1. 此版設計主要有五個部分：(1)先備經驗的調查，問題1；(2)數線上的密室，問題2-10；(3)亦步亦趨，問題11；(4)友誼的橋樑，問題12；(5)反思與評價，問題13-15。
2. 此版設計延續二版的設計想法，部份新增與微調，包含：(1)新增教學實驗經驗設計問題1，調查學生在活動前，對兩數相關問題的認知表現；(2)新增問題6，橋接鐵軌與數線經驗；(3)調整問題10，請學生舉例，用來提示學生區別表徵不同與數值不同；(4)調整問題11，隱藏除法運算，引導學生從規律中歸納出 ；(5)調整問題12，減少學生錯誤解「x=9」的產生。
8. 留下的是數學的結構
廖老師參與這次工作坊的過程，對於工作坊林教授對學習的觀點印象深刻，久久不能消退，她說：「有句話始終盤旋迴盪在研究者的心中，那是林福來教授在工作坊第二次上課時所說的一句話：『在數學學習之後，經過一個星期、一個月、三個月……學生還記得什麼？是情境性的？還是記得最後的結論？還是......？？我們期望學生留下的，是數學的結構。』」。當她在設計這份學習單時，設定的主要目的並非學生記住「 」這個結果，而是透過臆測活動引導，讓學生更清楚瞭解 ，並對數學有更濃厚的興趣，她說：「這份工作單的重點不在於，使學生記得 ＝1此結論（若他能記得固然很好，但這卻非此份工作單的最主要目的），而是希望學生能藉著，這份以臆測為策略的工作單引導，對於 的性質，有更多的認識，同時亦能引發對於數學世界的興趣（請姑且允許我們認為「懸疑」、「靈異」、「恐怖」、「驚豔」，都算是種感興趣的形容詞）」。
9. 設計不能囿於成見
廖老師從實驗結果發現，透過問題的提問可引導學生思考，並促成學生調整自己的概念，她說：「經由觀察學生作答，可發現學生能藉著一些提問，引發主動思考，而在經由一連串的主動思考後，個別學生亦能不同程度地調整自己的直觀感覺。」活動過程中，學生逐漸接受兩數相等的觀點，有些學生克制了直觀後認為「 」，但有些學生在既有直觀下接受相等並認為「 」這奇怪的結果，廖老師以工作坊林教授提到，禮記學記篇的「強而弗抑」加以詮釋，她說：「令人哭笑不得的是，有部分學生最後竟得出「 」的結論然而開心的是，學生至少將「＝」也納入可能裡。
但令人無言的是，這是個怎麼看、怎麼怪的式子阿！這時，也只能用老師說的「強而弗抑」來自我安慰了。」不過，更令廖老師驚訝的是，原本她認為學生應最不能接受，代數計算無窮循環小數的等值分數活動，實驗結果卻顯示，經過此活動後，更多的學生開始相信「 」。此外，這活動對學生的衝擊亦不小，還有不少學生認為這是最喜歡的活動，如學生寫下「因為它證明了 」、「太可怕了！」、「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」等，這些結果促使廖老師，反思自己設計活動的想法，她說：「令人驚訝的是，研究者認為最難令學生接受的第三個活動，竟有學生是因它才相信 ＝1，亦有為數不少的學生表示，最喜歡第三個活動。這也提醒研究者，未來在設計教學活動時，應盡量減少因個人的喜好與成見，而對於教學方法有所偏廢的情況。」
二、學生的表現
1. 「 」不是數！
從二版問題1與2的結果來看，雖29位學生一致認為1是數，但其中8位學生不認為 是數，但並沒有寫下說明，只有編號S11的學生寫下：「嗯！」但有趣的是，若 不是數，應不會出現在數線上，亦無法和1比大小，更無法論述和1相等，但試驗的結果有學生認為 不是數，卻在數線上標示比1小。
2. 小於1，但非常接近1！
從問題4的數線標示結果來看，有6位學生標出 與1位置相同，但其中5位(S02, S08, S09, S11, S19)將標示塗大，只有1位(S24)直接標示；有17位學生將 標示不同於1的位置上；其餘6位學生則未標出 的位置，其中5位(S01, S06, S12, S18, S27)僅標出0.9的位置，另1位(S22)則是寫下「很接近很接近1」。顯然，除了無標示的學生和S24外，其他學生均認為接近的兩數是不同的。
從問題5的兩位置距離結果來看，學生表示距離的形式雖不同，但大多數學生(19位)認為兩者之間有距離，即兩數不同，如距離為「 」有6位(S01, S06, S13, S23, S28, S29)；「 」有2位(S05, S14)；「 」有3位(S10, S17, S19)；「≒0」、「一個小單位」和「0.1」則各有1位(S11, S12, S18)；「 」有5位(S02, S15, S16, S21, S25)。有少數學生(4位)認為兩者之間的距離為零，寫下距離為「0」的有4位(S07、S08、S20、S24)，不過學生表示距離為零時，並不意謂著兩數相等，就如S26表示距離「可以是0.0……1，也可以是沒有吧！」。最後有5位學生未寫下兩位置的距離，其中1位表示「不知」。綜觀以上兩個問題的結果，僅有1位學生明確表示「 」的觀點，其餘大部分學生認為，「 小於1，但非常接近1」的看法，但距離問題似乎對他們的認知產生干擾的作用。
3. 等於1嗎？
從問題6的是非題來看，學生知道兩個不等值的數之間還有其他數，但有半數以上學生(18位)，將表徵方式不同的3和 看成不同(值)，顯見廖老師的問題設計，亦引出學生另一種直觀。從問題7的結果來看，學生觀點開始產生變化，前面問題是以 觀點，回答的學生開始產生疑惑，例如「S02： 好像是1，又好像不是。」、「S09：數學是矛盾的。」、「S10：有點矛盾， 可以等於1，也可以不等於1。」、「S13：嗯…那個， ！！（不肯定中）」、「S20：有點奇怪，好像一樣，又好像不一樣。」甚至原認為兩數不同，且有距離的學生，開始認為兩數相同，如S11、S19和S21三位均表示「 」此外，原將兩數標示相同位置，並認為距離為零的學生S24，卻表示「 與1的距離幾乎為0」。可見學生對兩數認知的改變十分多樣。
4. ！
從問題8的結果來看，已有6位學生經由這一系列真分數，以及其等值的無窮循環小數，如 ，可歸納出 。當再次提問比較 與1兩數大小時，有9位學生表示「 」，多於問題7的3位，但仍有12位學生認為「 」。從問題9代數方法，計算無窮循環小數的結果來看，17位學生可解出「x=1」，6位學生錯誤解出「x=9」，其餘則未解出。此活動最特別之處為，某些學生解出「x=1」時，對其原本的認知造成衝擊，例如，學生S13在問題1-8都顯示出「 」的觀點，但當他利用代數計算方式解出「x=1」時，寫下這個結果對他的衝擊：「太可怕了！」。經過前面三個主要活動：火車軌道(兩個不同實數之間的數與距離)、分數歸納(分數及其等值無窮循環小數)、代數演繹(代數計算無窮循環小數的等值分數)等，再由問題10重新讓學生描述兩數 與1的關係，有5位認為小於或等於：「 」，有12位認為相等：「 」，合計有17位學生，已將兩數相等列入關係中，可見經過這些活動後，尤其是經過代數計算活動，認為兩數會相等的學生更多！
5. 有趣！好玩！令人驚豔！
從問題11的結果來看，11位學生最喜歡火車軌道活動，他們大都認為「有趣」或「好玩」，較特別的是，有學生認為「可動動腦」、「因為很酷」；有3位學生最喜歡分數歸納活動，他們認為「好玩」、「很懸疑」；有7位學生最喜歡代數演繹活動，有些學生認為「因為它證明了 」，有些學生則認為「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」；有3位學生認為三個活動都喜歡，除了「好玩」的理由，有位學生表示「數學真奧妙」。
三、編者的話
符號「 」，從數學本質上來看，它同時表徵潛在無窮累加過程「 」與潛在無窮累加的收斂結果1，此符號會被看成是表徵累加的過程，無論累加至第幾項，其結果都小過1，因此很容易推得 的觀點；從認知來看，人對潛在無窮過程的認知，常以直觀處理，且常是錯的，如有名的芝諾悖論，這樣的直觀具有立即性、確定性與持久性，不容易改變，例如廖老師訪談幾位成人的表現，即使曾學習過論證方式，卻仍以直觀回答，要改變不當的直觀，則可從解析下手，例如廖老師提問學生兩數相差多少？或兩數之間是否有數？引導學生從解析的觀點思考，產生與直觀不同的結果，造成認知衝突，引動學生思考，才有機會進行直觀的克制或調整。在此工作單設計內，便提供了幾個可能的策略，如引導學生以解析進行思考的提問，「兩數之差是多少？」、「兩數位置是否相同？」、「兩數之間是否還有其他數？」等；另外，引導學生從幾個無窮循環小數，以及其等值分數的案例，歸納形成兩數相等的臆測，以及利用國中學生可理解的，代數計算等值無窮循環小數的方式，論述兩數等值等，不同策略的結合與使用，皆值得再深入探索。
工作單設計與實驗：廖惠儀(高雄市大仁國中)
林壽福(臺北市蘭雅國中)
吳如皓(臺北市蘭雅國中)
文章編撰：陳建誠(明志科技大學)
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