數學樂園—從胚騰（Pattern）學好數學

第三章
磚瓦（鑲嵌）飾的奧妙
前 言
同學們！你們是否想過：當感性而賞心悅目的美術作品，遇上理性而結構嚴謹的數學時，會擦出什麼樣的火花？
相信你一定或多或少看過漂亮的壁紙、地毯、領帶、服飾、包裝紙等的裝飾，事實上這些都是平面鑲嵌的應用。最早對於鑲嵌的觀察是自然界的六角形蜂窩，公元前4世紀古希臘數學家帕普斯就觀察到，蜜蜂只用正六邊形製造牠們的巢室，希臘人發現並證明了能鑲嵌平面的正多邊形案例。從古代一些地板鑲嵌的圖案，說明當時工匠已經學會使用正多邊形。（參引書3）
回教藝術家是鑲嵌飾的宗師，在阿拉伯文明中，藝術家與數學家是一體的。在西班牙的阿爾罕布拉宮，埃舍爾（M．C．Escher）為13世紀摩爾人的鑲嵌藝術所鼓舞，創作了很多令人驚嘆的藝術極品。（參引書1）
這個單元會讓你獲得數學與藝術結合的養分，掌握其中隱含的幾何知識和技巧，能畫出自己獨特的鑲嵌圖案，最重要的是能感受到學習幾何的樂趣與興奮。
小萱參加一整天數學園遊會的闖關遊戲，晚上很累，倒到床上就呼呼大睡了。大概是不久前看了「古墓奇兵」的錄影帶，小萱在沈沈的夢鄉中，進入了古埃及最神秘的地底隧道………
古墓探秘
小萱也不知為什麼自己有勇氣走在這樣黑的一個隧道裡，她隱隱約約感到，只要通過這段隧道，似乎就能找到埋沒千年的大密寶。此時，她緊握著手電筒，一步一步向前踏去。忽然，前方豁然開朗，原來出現了寬一百多公尺的大裂縫，而從這頭通道對面那頭的洞口，只有一條小路搖搖欲墜地接連著。小萱仔細一看，那一條小路竟是由多個正多邊形接合而成的。（如下圖）
這條路看起來好像隨時都會垮掉，小萱不得不懷疑，是不是每個圖形都藏有玄機，只要一步走錯，就免不了粉身碎骨的命運了。
正在徬徨無助之際，小萱看到路的前方有一行字，雖然有些模糊但依稀可以辨識，那一行字是：「妳的每一步都是無限延伸的基礎！」小萱看得霧煞煞，……。一咬牙，想說先走第一步再說吧！當她正要踏第一步踩下那個正五邊形的剎那……
突然聽到一聲：「且慢！」
小萱回頭一看，原來悟空出現了。
小萱：「太好了！有你在一切就沒問題了。」
悟空：「先別急，我們來想一想！提示的字句說：『妳的每一步都是無限延伸的基礎！』，那我們就來看看，有哪些正多邊形可以無限延伸鋪滿整個平面！」
你知道有哪些正多邊形能被用來緊密地鋪滿整個平面嗎？
你能幫小萱化解危機嗎？
1. 正方形可以鋪滿整個平面嗎？（☆）
2. 承上題，正三角形可以嗎？（☆）
3. 承上題，其他如正五邊形、正六邊形、……可以嗎？哪些正多邊形可以鋪滿整個平面？你是否能歸納出一般性的結論，請寫下你的發現，並述明理由。（☆☆☆）
4. 如果你解上題有困難，請利用提供的智慧片或泡棉（或電腦螢幕上提供的模板），動手操作看看，再歸納你的結論。（☆☆）
加油站
所謂「磚瓦（鑲嵌）飾」是利用封閉的圖形所作的一種排列，它們可以完整地覆蓋平面，並且沒有重疊，也沒有留下縫隙。
阿寶參加一整天數學園遊會的闖關遊戲，晚上很累，倒到床上就呼呼大睡了。大概是不久前看了「王者天下」的錄影帶，阿寶在沈沈的夢鄉中，進入了中世紀最美麗的卡卡城邦………
城邦傳奇
卡卡城裡最著名的就是有一位美麗的卡卡公主，卡卡國王為了替他挑選一位有智慧的丈夫，於是公告全國，不論你的財富多寡、地位高低、身材高矮，任何人都可以來應選。這個公告發佈以後，卡卡城裡的青年蜂擁而來，都想看看自己是不是和卡卡公主可以締結良緣。卡卡國王對眾人說：「應徵者請入宮殿之中，把牆上的錦囊取下，若能解決錦囊裡面的問題，就能娶公主為妻。」但是，卡卡青年們竟然沒有一個人能解決這個問題。就在大家一籌莫展的時候，阿寶鼓起勇氣踏進宮殿之中──二十一世紀的智慧帶給他的信心吧！──，胸有成竹地打開了錦囊，想不到錦囊裡竟是一個平面設計的題目。內容是這樣的：「宮殿裡有八個大廳分別供八位王子使用，現在想要重新設計地磚圖案，地磚圖案必須由兩種或兩種以上的正多邊形構成，且在每一頂點處按照同樣的次序相遇。八間廳堂的樣式不可重複。」阿寶看得傻眼了，不知該怎麼辦，聽說卡卡城裡的第一才子曾設計好七間廳堂，卻功虧一簣！就在阿寶緊張到腦海一片空白的時候，聽到有人在喊他。
沙僧：「阿寶，你還好吧？」
阿寶：「大糟糕了，我的腦袋亂七八糟、毫無頭緒！怎麼辦？」
沙僧：「別急，一步一步慢慢來，我們先來想想，有哪幾組正多邊形可以密合地拼在一起呢？…..」
沙僧：根據文獻記載，由同一邊數的正多邊形構成的鑲嵌，稱為正則鑲嵌（regular tessellation）（註：上頁1∼4題就是正則鑲嵌的例子）；由兩種或兩種以上的正多邊形構成，在每一頂點處按照同樣的次序相遇時，就稱為半正則鑲嵌（semiregular tessellation）。舉例來說，如右附圖，圖中以數學記號表示環繞每一頂點（順時針或逆時針旋轉）的正多邊形類型，記為（3, 6, 3, 6）。
阿寶：我先自己製作紙模板，旁邊則還有一部電腦提供GSP操弄環境，兩者可以互相參照印證，再來歸納結論！
底下題目是沙僧引導阿寶探索、發現的設計，請你也試試看！
5. 請你利用自己製作的（或在GSP上提供的）模板，拼出所有的半正則鑲嵌圖形，並且將它們畫出來或拍下來，進一步說明可以拼成的理由，另外用數學記號表示不同的類型。（☆☆☆）
6. 承上題，如果解題有困難，那麼用下面分析的方法，可以協助你找出所有的鋪法來。為了便於觀察，請你先完成正多邊形的度數計算，並填入空格中：（☆☆）
分析釋例（依結合的正多邊形種類分）
A、 用一個正三角形和另一種正多邊形的鋪設
a. 用一個正三角形。它的每一內角60﹛A當拼排時，這些正多邊的頂點集中於一點，它們的總和＝360﹛A所以360﹛?0﹛?00﹛C從表中可以看出，正十二邊形內角度數150′O300〞漲]數，它們相除的商是2，得到60﹛?50﹛?＝360﹛A因此可以用一個正三角形和兩個正十二邊形形成（3, 12, 12）的類型。
b. 承ａ題，請你用類似方法找出正三角形和另一種正多邊形拼排的半正則鑲嵌圖形的例子。共有五種，請你都找出來，並寫出它們的類型。（☆☆☆）
B、承上題，扣除重複和不符的，我們可以歸結得到由兩種正多邊形鋪成的鑲嵌圖案共有＿＿＿ 種。（☆☆☆）
C、用三種正多邊形鋪設，共有＿＿＿ 種。（☆☆☆）第四章
一筆畫之生存遊戲
【人物介紹】
姓名：伊克斯．普羅雪夫（Explousive）探長
職業：爆破專家
專長：拆製炸彈、爆破、思考數學題目
破案率：100％
破案秘技：利用數學方法破解各種炸彈機關和陷阱
特徵：一副墨鏡、八字鬍、動不動就耍帥，
　　　還有不管天氣多熱都會穿著一件皮大衣
【小偵探養成訓練】──歸納推理能力
第一關 營救市長的兒子
第二關 解脫壁虎的煩惱
第三關 為貓咪找到回家的路
第四關 智慧大考驗
第五關 與大師心靈相會
第一關　營救市長的兒子
＿＿班 ＿＿號　姓名：＿＿＿＿
跨年晚會當晚，尤拉市的市長接到一名自稱數學狂人的電話，內容如下：本人已經在市政大樓內部某處，裝置了10噸的C－4塑膠炸藥，若半小時內沒匯出1016美元的話，後果自行負責……順帶一提，你的寶貝兒子現正在那堆炸藥旁「睡覺」呢！如果你敢拆炸彈的話，那你肯定是活得不耐煩了……
心急如焚的市長趕緊找來安全人員，搜索市政大樓內每個角落，很快的在地下一樓停車場，發現了一輛裝滿炸藥的貨櫃卡車。在弄醒昏迷中的市長兒子之後，立刻請專家來拆炸彈。
市長的兒子說，他被劫持後，歹徒們在他的卡車上放了一個貨櫃，又蒙上他的眼睛，把車子開進了停車場。車停後不久，他只聽到歹徒說了一句：「要一次畫完……」就被打昏了。
炸彈專家伊克斯探長趨前一看，怪怪！從來沒見過這種引信──只見引信上面畫了一些奇怪的圖案，卻沒發現其他的密碼鎖……
「『要一次畫完』？難道是要找出可以一筆畫到完的圖嗎？」伊克斯探長拿起紙和筆，動了動腦，馬上就發現引信上的圖案中，只有一個圖能一筆畫完。於是，他大膽的伸出手畫了上去。果然，計時器在瞬時間停止了計時……
★同學們！請你想想伊克斯探長是怎麼辦到的？
【北市興雅國中 911 王昱澄 編劇】
【問題】：引信上哪一個圖可以不重覆，一筆畫回原來的出發點？（☆）
第二關　解脫壁虎的煩惱
＿＿班 ＿＿號　姓名：＿＿＿＿
伊克斯探長智勇雙全，輕易破解了綁匪的炸彈，救出市長的兒子。這一役讓他的數學實力再度增強許多，並且也啟發他更多的數學靈感。
有一天他休假在家，傍晚在自家樓頂的空中花園澆花時，無意間發現一隻壁虎在蜘蛛網架上覓食，這讓他聯想到，拆解歹徒所設陷阱時使用的方法，靈感一來，他自行設計了兩道題，練練腦袋：
1. 這隻壁虎打算尋遍蜘蛛網架上每段木條，覓食。為了節省體力，牠希望不走重覆的路，最後也還能回到原出發點。請問牠辦得到嗎？（畫出簡單的路徑圖作說明，並按所經過頂點或線段的順序，對它們進行編號。）（☆）
2. 承上題，如果題目改為：壁虎希望不走重覆的路，最後則不必回到原出發點。請問牠辦得到嗎？（比照上題，請你也畫出簡單的路徑圖，並作標示。）（☆）
伊克斯探長解完壁虎的問題後，意猶未盡，他深入探討，想進一步找出到底哪些圖形可以一筆畫，哪些圖形不可以一筆畫，能否歸納出一個規律或通則來。
3. 同學們！解完前三題，你們有什麼發現可以先告訴伊克斯探長的？（☆☆）
第三關　為貓咪找到回家的路
＿＿班 ＿＿號　姓名：＿＿＿＿
聰明的伊克斯探長收集大量文獻資料，並且閱讀了大數學家尤拉的傳記，在思考和嘗試一段時間後，有所領悟。他利用興雅國中校園建築圖形、該校同學所畫以及書上提供的卡通圖，設計了一序列頗具趣味和思考深度的題目，自娛娛人。
根據探長的說法，上面第二關兩題的思考，其實涉及所謂：「一筆畫問題」，它起源於歷史上有名的「七橋問題」。在還沒開始解題之前，探長說了底下的故事：
七橋問題
沿著俄國和波蘭的邊界，有一條長長的普雷格爾河。這條河流經俄國的古城哥尼斯堡(K

第三章 磚瓦（鑲嵌）飾的奧妙 前 言 同學們！你們是否想過：當感性而賞心悅目的美術作品，遇上理性而結構嚴謹的數學時，會擦出什麼樣的火花？ 相信你一定或多或少看過漂亮的壁紙、地毯、領帶、服飾、包裝紙等的裝飾，事實上這些都是平面鑲嵌的應用。最早對於鑲嵌的觀察是自然界的六角形蜂窩，公元前4世紀古希臘數學家帕普斯就觀察到，蜜蜂只用正六邊形製造牠們的巢室，希臘人發現並證明了能鑲嵌平面的正多邊形案例。從古代一些地板鑲嵌的圖案，說明當時工匠已經學會使用正多邊形。（參引書3） 回教藝術家是鑲嵌飾的宗師，在阿拉伯文明中，...