數學起源 ：進入古代數學家的另類思考

名人推薦：臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生

1-1 史前數學
埃及第一個法老王曼尼斯（Menes）的儀式權杖頂端上，刻著現存最早的數學文獻。他大約生活於西元前3000年，他的權杖上用象形文字記載著征戰的事蹟。那銘文記錄著搶奪來的400,000頭公牛、1,422,000頭羊以及120,000個俘虜。如圖1-1上所示，圖片裡有公牛、羊還有雙手反綁的俘虜。曼尼斯是否浮誇他的戰功，是很有趣的歷史問題，但從數學來看，卻不是什麼特別重要的事。這件事的重點是，遠在很久很久以前，人們就能記錄下很大的數目。這也暗示著在西元前3000年之前的幾個世紀，也就是書寫被發明之前（史前時期），有些數學符號就已經被使用（來記數）了。
目前已知有兩個方法可以認識史前人類的想法和文化。首先，我們可以透過考古學家發現和詮釋下的古代工藝品而得知，另一方面，也可以經由觀察現代世界中的原始文化（部落），從而推論史前思想和習俗如何發展，來了解史前文明。這兩種不同的進路，對於我們研究理念與知識的發展而言，都是很有用的。
在考古學上最令人興奮的發現之一，便是1937年，由阿伯索洛姆（Karl Absolom）所帶領的團隊，在捷克中部挖掘出來的物品。阿伯索洛姆發現距今30,000年前的狼骨，在圖1-2裡可以看到其中一部分，5個刻痕一組，在狼骨上總共有55個刻痕。前25個刻痕被兩條一樣長的刻痕分開。雖然我們不知道他們怎麼將這些刻痕刻在骨頭上，但比較合理的解釋是，史前人類非常慎重地刻上這樣的記號，或許他記錄的是某些收集的數量，也許是毛皮，也可能是有多少位親戚，或可能是記錄某個事件發生之後所經歷的天數。我們可以合理地假設他是為了計算每一樣收集來的東西所作的刻痕。如果這樣的詮釋是正確的，那麼，我們可以從中確認史前人類已經對兩個很重要的數學概念有了初步的認識。一個是兩個不同集合的一對一對應（one-to-one correspondence），也就是狼骨上的刻痕和他所計算的事物之間的對應。另一個則是計數系統的基底（base）概念。刻痕上25個刻痕以5個一組的方式安排，顯示出一個以5為基底的計數系統的雛型。
人類學的研究更加鞏固了我們有關史前已有數目概念存在的信念。1889年，哈頓（A. C. Haddon）發表了一篇關於托里斯海峽（Torres Straits）西方部落的研究報告。在沒有書寫文字的情況之下，那些部落人的數數方式如下：1，urapun；2，okosa；3，okasa-urapun； 4，okosa-okosa； 5，okosa-okosa-urapun；6，okosa-okosa-okosa。6以上則稱之為ras。現今精熟數學的學生們可以輕易了解這是以2為基底的計數系統。如果托里斯海峽部落的人們能了解這樣的概念，或許他就會用使用不同的字來表示4，而且，也不會將比6大的數字以ras表示。
賽登柏格（A. Seidenberg）最近發表了一篇有關於計數起源的論文（參考本章末的第12篇參考文獻），他認為計數是為了從前的宗教儀式而創造。其中，他引述原始部落以及古巴比倫人早期宗教文獻的許多研究成果，顯示參與宗教儀式的人必須按照一定的順序，這同時也說明計數的發展與確定儀式順序這個目的息息相關。從上述兩個研究來看，2進位是他最早可追溯並查驗的計數方式，這似乎暗指托里斯海峽的原住民和幾千年前祖先所用的計數方法是一樣的。
史前時代的這兩個數學概念「配對和計數」，剛好對應到現代生活與現代教育之中，有關數目的兩種不同的進路。其中一個是19世紀後半葉由康托爾（Georg Cantor, 1845-1932）提出的集合概念，以及兩個集合之間的一對一概念。有時候，吾人也稱此為數目的基數進路（cardinal approach）。大約在康托爾開始發展現代集合論的時代，皮亞諾（Giuseppe Peano）也企圖將自然數和其相關之算術公理化。所以，他設立了五個公理，其中之一便是每個自然數都會有後繼元素。而我們把這稱作數目的序數進路（ordinal approach）。對比於前述的基數進路所提到的配對概念，序數進路強調的是計數的概念。這兩個進路其實相互等價，但我們在此只是想強調，這些底蘊基本概念的「古代性」（antiquity）已經被數學家加以推陳出新，而成為現代數學系統重要的一部分。
其他有關於數學概念的史前證據並不難找到，吾人可以看到洞窟壁畫裡一些比例和對稱概念，就像技巧熟練的藝術家一樣，畫出非常寫實的動物和獵人。從畫中顯現出打獵的人和四隻腳的動物，則與數目及一對一概念有關。陶器上亦可發現精巧的幾何設計。在歐洲，經由考察史前畫作也發現他們對於馬車和馬的不同觀點。古巴比倫時代，可能是用以建築寺廟的概略圖，也已經在巴基斯坦的古城Mohenjo-Daro被挖掘出土，其中出現一把十進位的直尺。雖然考古學上的發現很有趣，但若我們從數學的觀點來探討，對於歷史時期（historic period）的研究則更顯價值。接下來，我們把注意力轉移到古埃及與古巴比倫的早期書寫系統上。
1-2 最早的數學文獻
雖然歷史遺跡、銘文、曼尼斯的權杖上都記載著最早的書寫數目，不過大部分我們所知關於埃及人的數學活動，主要還是從紙莎草紙上面的文字得知。紙莎草紙類似我們現今所用的紙，它是利用生長在尼羅河邊的紙莎草製成的。從這些文獻，我們可以研究西元前兩千年前的埃及數學，但為什麼起源於埃及呢？
希羅多德（Herodotus，約西元前450年）察覺到埃及人每年被迫在尼羅河氾濫之後重新劃分土地界線，為此目的，測量員就必須擁有簡單算術與幾何的實用知識，於是，很多當時的計算過程被留下來。不過，典型的埃及數學是描述算術過程和幾何關係，但未提及其底蘊的通則。所以，我們只能知道埃及人如何計算，並猜測他們如何發展這些方法。我們解讀和研究這許多問題的詳細解答，以尋找他們計算方法背後的原因。
希臘數學家德謨克利特斯（Democritus，大約西元前460 - 370年）欣賞埃及人的數學，並將之和自己的研究成果相媲美，他寫道：「在說到以證明來建構直線時，沒有人，甚至連所謂埃及的拉繩索的人 （rope stretcher） 都無法勝過我。」他所指的埃及的拉繩索的人，可能是測量員（surveyor）的意思，而他最主要的工具就是那綑繩索。如圖1-3所示，是一個抱著自己那捆繩索的拉繩索的人之雕像。
圖1-3　測量員抱著捆好的準繩。哈特薛普斯特女王（Queen Hatshepsut）時期雕塑的塞尼姆特（Senemut）像，今收藏於羅浮宮。

現今所知道的最古老的埃及數學文本之中，包含了很多日常生活中的實際問題，像是計算穀倉的容量、商店建築物所需的磚塊數量，或者是做麵包、啤酒所需儲存的穀物總量。
《萊因德紙草書》（Rhind papyrus）是我們獲得埃及人算術知識的最好來源，它是以於1858年從路克索（Luxor）購買此紙草書的英國人萊因德（A. Henry Rhind）命名的。後來，他又賣給了現在陳列展示的博物館。西元前1650年，抄寫者阿姆斯（Ahmes）複製了這本紙草書，有時候我們也以他的名字稱呼這本書，儘管根據作者自述，本書事實上取材自西元前2000年到1800年之間更古老的作品。書中總共包含了80個問題，除了包含許多實用問題的解答之外，有些問題也涵蓋了幾何概念，但也包含很多沒有實用價值的問題。從書中可以窺見作者以解決他自己提出的問題為樂。
其他四本規模小一點的重要埃及數學文獻，分別是《莫斯科紙草書》 （Moscow papyrus）、《卡夫紙草書》（Kahun papyrus）、《柏林紙草書》（Berlin papyrus）和《皮革卷》（leather roll）。還有很多因為貿易而散落世界各地的紙草書，但那些書的內容只包含少許的埃及數學。
我們無法得知《莫斯科紙草書》明確的發現地點，因此，它是以保存這本書的城市命名。本書在1920年開始被學者解讀，直到1930年文本才被完全公開。這本紙草書包含了30個範例問題，從本章的圖1-9之中（見第46頁）可看到本書的一部分內容。
大約在1900年左右，英國人在卡夫（Kahun）發現了一本紙莎草書，因而為之命名。這本書包含了算術方法的應用，但相對地沒有那麼重要。
歷經漫長的時間之後，《皮革書》已經完全乾燥而且變硬，很難在不被破壞的情況下完整打開，但現在的化學方法已經可以使它軟化並且保存。現在，這本《皮革書》正陳列在大英博物館，我們將在1-9節再繼續探討。

1-1 史前數學
埃及第一個法老王曼尼斯（Menes）的儀式權杖頂端上，刻著現存最早的數學文獻。他大約生活於西元前3000年，他的權杖上用象形文字記載著征戰的事蹟。那銘文記錄著搶奪來的400,000頭公牛、1,422,000頭羊以及120,000個俘虜。如圖1-1上所示，圖片裡有公牛、羊還有雙手反綁的俘虜。曼尼斯是否浮誇他的戰功，是很有趣的歷史問題，但從數學來看，卻不是什麼特別重要的事。這件事的重點是，遠在很久很久以前，人們就能記錄下很大的數目。這也暗示著在西元前3000年之前的幾個世紀，也就是書寫被發明之前（史前時期），有些數學符號就已...

初等數學史的根本魅力
我任教數學史有近四十年的經驗，學生層次包括大學部及研究所。在我使用的教材或參考文獻中，《初等數學史》（The Historical Roots of Elementary Mathematics）始終是上上之選，尤其是本書第6章〈歐幾里得〉所刻畫的《幾何原本》之知識結構及其歷久彌新意義，更是最足以清晰說明古希臘數學的獨特風貌，令數學史愛好者印象深刻。如果高中階段的數學學習也包括數學經典的研讀，那麼，本章〈歐幾里得〉內容就是《幾何原本》的絕佳替代。
從經典的位階來看，歐幾里得的《幾何原本》（The Elements）為何重要？這是因為它與中算經典《九章算術》的對比，大有助於我們理解希臘數學 vs. 中國數學之迥異風格。事實上，在《九章算術》主要提供算則（algorithm）解題的特性之映照下，《幾何原本》所彰顯的「假設＋演繹」（hypothetico-deductive）的結構面向，即使在初等數學層次，也相當足以激發學生的知識探索好奇心。因此，從數學史的連結切入，《幾何原本》的恰當解讀固然是數學通識的必備素養，然而，如從數學史與（中學）數學教學的連結切入，那麼，《幾何原本》所能帶給讀者的教學或學習啟發，就不是其他數學典籍所能望其項背了。
顯然，本書《初等數學史》三位作者正是以《幾何原本》為例，為我們示範數學史如何與數學教學連結，而這也是HPM的宗旨。所謂HPM，原是歸屬於國際數學教育委員的一個研究群 -- International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics -- 的簡稱，後來也用以簡稱這個專業的學門。不過，本書在1976年（英文版）發行時，這個學門尚未成熟。儘管如此，本書作者都經由數學史的實際授課經驗中，注意到：如果我們引導學生採取如同古代數學家一樣的步驟解決問題，並且在面對同樣困難時思考答案的合理性，「這就是欣賞古代學者的聰慧與創意之最佳途徑。我們發現學生欣然介入這種學習數學史的深入進路，以及他們經由古代、另類的解題進路之分析，而得以理解當今數學。」換言之，HPM進路為我們更深刻理解現代數學，帶來了不可或缺的啟發。
本書這種HPM進路以及其第6章的精彩獨到，是我十分樂意推薦本書及其中譯的主要原因。公元2000年，由於HPM主席Jan van Maanen（任期1996-2000）及前一屆主席John Fauvel（任期1992-1996）的委託，我承辦HPM 2000 Taipei國際研討會，讓台灣數學教育的HPM面向得以和國際學界接軌。也因為如此，我在多次與Jan的會面中，得以從容地跟他討論HPM及數學史（他是荷蘭數學史家Henk Bos的徒弟）。記得有一次，我提及本書時，他欣然回憶它的荷蘭文母本之影響。事實上，本書的許多材料來自一部荷蘭文的Van Ahemes tot Euclides，由（當時任教於Utrecht大學的）第一作者Bunt及其他多位學者合撰。至於英文版則主要經由第二作者Jones的修飾與延拓，他發表過一些HPM相關論文，頗受同行矚目。總之，如果讀者有意分享HPM的深刻關懷，那麼，本書將是極佳的入門選擇。當然，如果讀者的著眼點是數學史本身，那麼，由於「本書涵蓋了初等數學的（西方）歷史根源：算術、代數、幾何及數論」，所以，讀者對於數學史的基本問題意識，想必很容易上手才是。
基於有關起源的HPM進路，在本書中，「中小學數學課程中的大部分單元之起源都經過討論」，因此，誠如作者在「序言」所強調，本書適合用在中小學數學教師之培訓及專業發展，或作為中學生的補強教材，在十二年國教的多元選修課程之中，它絕對會有一席之地。另一方面，本書「第1，2，3，6和8章」，尤其適合充當作未來的小學教師之課程。這個現成的HPM文本，對於我們團隊較少著力的這個小學數學面向，確實意義非凡，值得我們學習與發揚。
最後有關譯者，他們都是現職的中學數學教師，在臺灣師範大學數學系就學時，都曾經是我的數學史專業研究生，在數學史及其與數學教學之關連等方面，都擁有相當紮實的素養。也因此，他們分章負責中譯本書，絕對足以勝任。在定稿前，為了慎重起見，他們更是開設臉書，對本書內容進行細緻的討論。不過，掛一漏萬，缺漏在所難免，我謹以推薦中譯者及審訂者的身份，至盼讀者指正為要。

洪萬生
臺灣師範大學數學系退休教授

初等數學史的根本魅力
我任教數學史有近四十年的經驗，學生層次包括大學部及研究所。在我使用的教材或參考文獻中，《初等數學史》（The Historical Roots of Elementary Mathematics）始終是上上之選，尤其是本書第6章〈歐幾里得〉所刻畫的《幾何原本》之知識結構及其歷久彌新意義，更是最足以清晰說明古希臘數學的獨特風貌，令數學史愛好者印象深刻。如果高中階段的數學學習也包括數學經典的研讀，那麼，本章〈歐幾里得〉內容就是《幾何原本》的絕佳替代。
從經典的位階來看，歐幾里得的《幾何原本》（The Elements）為何重要？這是因為...

序言
本書具備許多獨有的特色，其內容都源自於三位作者實際的數學史教學經驗。
本書的內容著重於單元的選擇，而不在題材的包山包海。儘管讀者在此書中，可能找不到其他參考書籍會出現的某些特定資訊，然而，我們所介紹的各個主題都有足夠的深度，使得學生們可以在一個真實的歷史情境中，實際地從事數學知識活動。他可以像古埃及人一樣地作長除法，像巴比倫人一樣解二次方程，以及如同歐幾里得時代的學生一樣，研究幾何學。參與古代數學家經歷過的數學活動與問題，並面對他們所遭遇的相同困難，最終獲得問題的答案，便是欣賞早期學者之聰慧與創意的最佳途徑。我們（三位作者）也發現，學生們享受著這種深入學習數學史的方式，並且能藉由分析古代的且另類的數學方法，增益他們對現代數學的理解。
本書涵蓋了初等數學的歷史根源：算術、代數、幾何及數論。它省略了許多晚近發展的數學單元。近代所發展的諸多數學主題，都超乎大學數學系的專業範疇，同時，若僅僅在一個膚淺的層次上討論這些概念，並沒什麼太大的意義。具備足夠高中數學知識背景的學生，一定可以藉由研讀本書而獲益；同時，本書大部分的內容（例如：巴比倫、埃及、希臘，以及其他記數系統和計算用的算則），都屬於一般國中生可理解的程度。
由於本書討論了一般中小學數學課程所包含的多數主題的起源，所以特別適合未來的數學教師閱讀。我們過去的經驗也顯示：這些材料的份量，足以提供開設一學期三學分的數學史課程，而這門課是以數學主修的學生或未來的中學數學教師為對象。本書的內容（特別是第1、2、3、6和8章）也適合當作培育未來小學教師的課程，並作為中學生的補充教材，以及一般讀者怡情養性之用。我們誠摯地期許，相較於過去的讀物，本書能將數學史惠及更廣大的閱聽大眾。
本書中的許多材料來自一部荷蘭文本，Van Ahemes tot Euclides （Wolters, Groningen），由當時任教於烏崔特大學的奔特（Lucas N. H. Bunt）博士，以及他的合作者 Catharina Faber-Gouwentak博士、E. A. de Jong修女、D. Leujes、H. Mooij博士以及P. G. Vredenduin博士所共同撰寫。書中包括了許多由瓊斯（Phillip S. Jones）所貢獻的修飾與延拓，其中包括有第6章的後半部、第7章的前半部，以及第8章的大部分。他的小冊子《理解數目：它們的歷史與用途》（Understanding Numbers: Their History and Use）的大部分內容已經併入本書。至於貝迪因特（Jack D. Bedient）則加入了本書草稿的最後組織工作。
作者群由衷地感謝Bruce E. Meserve教授，他的許多建議對於本書初稿的改善貢獻良多。同時，他的協助與鼓勵也支撐著此一計畫直到完工。作者群也想對Prentice-Hall出版社的工作同仁之襄助表示謝忱。而Anna Church和Emily Fletcher負責打字工作，也是我們深懷感激的。

奔特（Lucas N. H. Bunt）
瓊斯（Phillip S. Jones）
貝迪恩特（Jack D. Bedient）

序言
本書具備許多獨有的特色，其內容都源自於三位作者實際的數學史教學經驗。
本書的內容著重於單元的選擇，而不在題材的包山包海。儘管讀者在此書中，可能找不到其他參考書籍會出現的某些特定資訊，然而，我們所介紹的各個主題都有足夠的深度，使得學生們可以在一個真實的歷史情境中，實際地從事數學知識活動。他可以像古埃及人一樣地作長除法，像巴比倫人一樣解二次方程，以及如同歐幾里得時代的學生一樣，研究幾何學。參與古代數學家經歷過的數學活動與問題，並面對他們所遭遇的相同困難，最終獲得問題的答案，便是欣賞早期學者之聰...

目　錄
序言
1. 埃及數學 　
1-1 史前數學　
1-2 最早的數學文獻　
1-3 記數符號　
1-4 算術運算　
1-5 乘法　
1-6 分數和除法　
1-7 紅色輔助數　
1-8 2÷n表　
1-9 皮革卷　
1-10 代數問題　
1-11 幾何　
2. 巴比倫的數學　
2-1 一些史實　
2-2 巴比倫的記數符號　
2-3 基本運算　
2-4 開方法　
2-5 巴比倫的代數　
2-6 巴比倫文本　
2-7 巴比倫的幾何　
2-8 的近似值　
2-9 另一個問題和揮別巴比倫　
3. 希臘數學的開端　
3-1 最早的記載　
3-2 希臘計數系統　
3-3 泰利斯和他的重要數學成就　
3-4 畢達哥拉斯與畢氏學派　
3-5 畢氏學派及其音樂　
3-6 畢達哥拉斯學派的算術　
3-7 畢氏學派的命數論　
3-8 畢氏學派的天文學　
3-9 畢氏學派幾何學　
3-10 不可公度量線段與無理數　
4. 古希臘的著名問題　
4-1 導言　
4-2 希波克拉堤斯和新月形求積法　
4-3 其他新月形　
4-4 希波克拉堤斯的幾何　
4-5 倍立方體　
4-6 三等分任意角問題　136
4-7 希庇亞斯和化圓為方　
4-8 希臘三個著名問題的相關證明　
5. 歐幾里得的哲學先驅　
5-1 哲學與哲學家　
5-2 柏拉圖　
5-3 亞里斯多德和他有關敘述句的理論　
5-4 概念與定義　
5-5 特殊概念與未定義項　
6. 歐幾里得　
6-1 幾何原本　
6-2 歐幾里得的《幾何原本》之結構　
6-3 定義　
6-4 設準與共有概念　
6-5 幾何作圖的意義　
6-6 設準III的意圖　
6-7 全等　
6-8 全等　
6-9 平行線相關之理論　
6-10 面積之比較　
6-11 畢氏定理　
6-12 歐幾里得的比較面積法與現代之差異　
6-13 幾何代數與正多邊形　
6-14 《幾何原本》中的數論　
7. 後歐幾里得時代的希臘數學：歐幾里得vs.現代方法　
7-1 希臘數學的跨度　
7-2 阿基米德及埃拉托斯特尼　
7-3 阿波羅尼亞斯　
7-4 海龍及丟番圖　
7-5 托勒密及帕布斯　
7-6 希臘方法的回顧　
7-7 歐幾里得系統的反對見解　
7-8 演繹法的意義　
7-9 歐幾里得的系統並非是純演繹式的　
7-10 幾何學如何以單純演繹的方式建立？　
7-11 一個四點的系統　
8. 後希臘時期的記數系統與算術　
8-1 羅馬數碼　
8-2 算盤以及有形的算術　
8-3 阿拉伯數碼　
8-4 早期的美國位值記數系統　
8-5 位值記號的晚期發展　
8-6 不同記數系統之間的轉換　
8-7 非十進位制之中的加法與減法算則　
8-8 非十進位制之中的乘法算則　
8-9 分數、有理數與位值記數　
8-10 無理數　
8-11 算術的現代理論基礎　
8-12 現代記數系統　
部分習題的提示及解答　

目　錄
序言
1. 埃及數學 　
1-1 史前數學　
1-2 最早的數學文獻　
1-3 記數符號　
1-4 算術運算　
1-5 乘法　
1-6 分數和除法　
1-7 紅色輔助數　
1-8 2÷n表　
1-9 皮革卷　
1-10 代數問題　
1-11 幾何　
2. 巴比倫的數學　
2-1 一些史實　
2-2 巴比倫的記數符號　
2-3 基本運算　
2-4 開方法　
2-5 巴比倫的代數　
2-6 巴比倫文本　
2-7 巴比倫的幾何　
2-8 的近似值　
2-9 另一個問題和揮別巴比倫　
3. 希臘數學的開端　
3-1 最早的記載　
3-2 希臘計數系統　
3-3 泰利斯和他的重要數學成就　
3-4 畢達哥...