數學也可以這樣學

推薦序
為數學教育提供一條新路
/ 財團法人臺北市九章數學教育基金會董事長孫文先
  英國數學家羅素（Bertrand Russell, 1872-1970）曾經說：「數學，如果正確地看，它不但擁有真理，而且也具有至高的美……。」更有許多數學家讚嘆數學具有簡潔性、和諧性、奇異性的美，它們以數學的符號美、抽象美、統一美、和諧美、對稱美、形式美、有限美、奇異美、神祕美、常數美等形式體現出來。義大利數學及物理學家伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）也曾經說過：「數學是上帝用來書寫宇宙的文字……它的符號是一些三角形、圓形等幾何圖形，沒有藉諸它們的幫助，我們就不可能理解任何一個字。」意即在宇宙、自然界、日常生活與動植物行為中，處處都存在著數學的蹤跡。
 但是在我國的數學課堂中，傳授的內容幾乎只是有名無實的抽象概念、煩悶的計算與公式，老師的講課也是一道題目接著一道題目的解題，只期望學生能在各類型的考試中取得好成績。鮮有老師會花點時間告訴學生：巴特農神殿、人體上的黃金比；葉子在莖上以夾角為137°28” 的黃金角排列，這樣使得通風、採光最好；花瓣的數量通常是3, 5, 8, 13, 21……的斐波那契數，而斐波那契數列前後兩項比趨近於黃金比；蜂房的構造之夾角為 109°28” 與 70°32’，這是最省材料的結構；飛雁飛行成人字形，一邊與其飛行方向夾角是 54°4”8’，這是阻力最小的飛行方式。老師們也很少提及：雅格布伯努利（Jakob Bernoulli, 1654-1705）所謂「雖然改變了，我仍然和原來一樣」的對數螺線；內接於圓的四邊形中，以正方形面積最大，但內接於球的六面體中，體積最大的不是正六面體，而其他面數的多面體都是以正的多面體體積最大；萊布尼茲藉由中國的易經的啟發，發展二進制，成為現代科學、計算機、密碼學等研究的重要工具；德國醫生發現人體潮汐現象、體力週期23天、情緒週期28天、智力週期33天，它們都呈現正弦曲線的變化。更幾乎沒有老師願意利用課堂或課餘時間，指導學生繪製或摺疊正多面體模型。在這樣的教學風氣下，無怪乎我們的學童徒具數學解題知識，而空間想像能力匱乏、動手操作能力笨拙、美學素養貧瘠。
 一位好的數學老師要教導學生獲得未來生活上必需的基本計算技巧、思辨能力與時空概念。一位好的數學老師不僅要傳授數學知識與理論，還要講出數學的魅力與樂趣。他應該引導學生們欣賞數學之美，讓他們嚐嚐數學家苦思不解的滋味與解決難題時瞬間迸發的喜悅，啟發學生的想像力，並使他們願意從事及渴望從事長期的科研工作。本書各章節提供許多活動與實作素材，使學生實際觸摸、感受、領悟與推廣許多重要的數學內涵。
很多人可能會質疑如果拿課堂寶貴的時間來做這些看似無益於提高考試分數的活動，對學習數學真的有幫助嗎？在此我要提出九章數學俱樂部的實際經驗與大家分享。聚會時我們從來不教數學解題，而是開拓學員的視野，養成學員自學的態度、動手的習慣、追根究柢的精神。經歷多年來的實踐，九章數學俱樂部的學員不僅在各項考試中都能名列前茅，由於他們長期浸淫在創新的思維中，他們在各領域的學術研究中也都是佼佼者。所以採用本書作者所引領的方式教學，不僅不會使課堂沉悶乏味，更能激發學生探索的精神，可誘導出學生特殊的才藝，建立其自信心，考試分數也自然提升不少，同時分組活動也可培養團隊合作的情誼。
 很榮幸洪萬生老師帶領幾位中學數學老師中譯此書，本書是作者從二十多年的教學材料中摘錄成書，尚有許多有趣的數學活動內容可以再添入，希望在職的數學老師們模仿本書作者的教學理念，為本書疊磚添瓦。再者，現今電腦科技發達，許多動態繪畫軟體，如Geometer’s Sketchpad、Cabri 3D 等，提供幾何作圖的方便性與準確性，再加上強大的著色與動態功能，必定可使繪製的作品繽紛璀璨，希望懂得操作電腦的讀者可將本書發揚光大。當現今大家在高唱翻轉教育之際，本書為數學教育提供一條新路。

推薦序
為數學教育提供一條新路
/ 財團法人臺北市九章數學教育基金會董事長孫文先
  英國數學家羅素（Bertrand Russell, 1872-1970）曾經說：「數學，如果正確地看，它不但擁有真理，而且也具有至高的美……。」更有許多數學家讚嘆數學具有簡潔性、和諧性、奇異性的美，它們以數學的符號美、抽象美、統一美、和諧美、對稱美、形式美、有限美、奇異美、神祕美、常數美等形式體現出來。義大利數學及物理學家伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）也曾經說過：「數學是上帝用來書寫宇宙的文字……它的符號是一些三角形、圓形等幾何圖形，沒...

導言

第一章 大自然中的數學
．技巧的複習與回顧  ．圓的形式  ．六邊形的形式  ．螺線的形式
．阿基米德螺線  ．等角螺線  ．斐波那契數及其數列  ．斐波那契螺線
．斐波那契以及「黃金切割」  ．1.618 或 0.618？
 
第二章 畢達哥拉斯與數目
．為何畢達哥拉斯？  ．數目  ．質性的數目  ．各種數目系統
．十進位數目，指數寫法（長式）和我們普遍的簡寫形式
．長式和簡式寫法  ．二進位數  ．度量  ．距離與角  ．角的度量
．熟悉的度量工具  ．數目的種類  ．質數和伊拉托森尼斯篩子
．質數的篩子  ．畢氏三數組  ．畢氏定理  ．演示  ．婆什迦羅的證明
 
第三章 柏拉圖立體
．柏拉圖立體  ．歷史上的柏拉圖立體  ．平面圖形
．三種特殊的直角三角形  ．正立方體摺紙  ．三種三角形的細節
．碗和馬鞍  ．葉面及其孔洞和皺摺  ．中心點與外圍  ．四面體
．正四面體在哪裡？  ．正八面體  ．正八面體展開圖  ．正八面體實例
．正六面體（或正立方體）  ．正六面體展開圖  ．正六面體實例
．交錯穿插的正立方體和正八面體  ．正二十面體與正十二面體
．正二十面體展開圖  ．正二十面體的黃金分割結構  ．正十二面體
．再談黃金矩形  ．正十二面體展開圖  ．歐幾里得《幾何原本》第十三冊
．歐拉法則  ．學生作品
 
第四章 節奏與週期
．旋轉、節奏與週期  ．時間  ．輪子  ．圓和直徑
．圓周與直徑  ．阿基米德應用多邊形的進路  ．用正八邊形來計算
．圓周  ．微小、中等及巨大的尺寸
．圓形  ．白天、夜晚及內布拉星象盤  ．奠基於哥白尼的當代基本圖像
．季節  ．地球繞著太陽的橢圓路徑  ．克卜勒的行星運動定律
．大的和小的連結  ．人類和宇宙的節奏

導言

第一章 大自然中的數學
．技巧的複習與回顧  ．圓的形式  ．六邊形的形式  ．螺線的形式
．阿基米德螺線  ．等角螺線  ．斐波那契數及其數列  ．斐波那契螺線
．斐波那契以及「黃金切割」  ．1.618 或 0.618？
 
第二章 畢達哥拉斯與數目
．為何畢達哥拉斯？  ．數目  ．質性的數目  ．各種數目系統
．十進位數目，指數寫法（長式）和我們普遍的簡寫形式
．長式和簡式寫法  ．二進位數  ．度量  ．距離與角  ．角的度量
．熟悉的度量工具  ．數目的種類  ．質數和伊拉托森尼斯篩子
．質數的篩子  ．畢氏三數組  ．畢氏...