不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一...

名人推薦：專業推薦
李政憲，新北市林口國中老師
洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
游森棚，臺灣師範大學數學系教授

我要大力推薦這本書！有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養，我尤其希望有語文閱讀自信的讀者，一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世，因為這攸關公民科學素養的必要選項。
——洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長

這是一本非常特別的數學科普書！我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。本書的視野和高度在數...

形狀

數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。
形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？
當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了─生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。
假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：

世界上有幾種形狀？

這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。
我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。
可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。


新規則

如果一個形狀不需要剪剪貼貼，只要拉伸或擠壓就能變成另一個形狀，則這兩個形狀相同。


這個規則是拓樸學（topology）的核心概念，拓樸學就像是比較寬鬆模糊的幾何學。在拓樸學中，形狀以極薄且可無限延展的材料形成，像橡皮或麵團一樣，可以任意拉扯、扭轉和改變。在拓樸學中，形狀的大小並不重要。

此外，正方形和矩形相同，圓形也和橢圓形相同。

現在奇怪的事情來了！如果用這個「拉伸或擠壓」規則來思考，圓形和正方形也是相同的形狀！

先別急著告訴朋友，我們看到有一本書上說正方形是圓形！別忘了：背景前提很重要。在拓樸學中，正方形確實是圓形，但在藝術或建築、日常對話，甚至幾何學中，正方形當然不可能是圓形。如果有一輛自行車的輪子是正方形，這輛自行車一定騎不遠。
但現在我們研究的是拓樸學，研究拓樸學時，我們不用理會揉一揉就會消失的尖角這類小細節。我們會忽視長度和角度、直線邊或曲線邊或波浪邊等外表的差異，只看形狀的核心，也就是構成這個形狀的基本特徵。拓樸學家觀察正方形或圓形時，看到的是一個封閉迴圈，其他的都只是我們拉伸或擠壓它所形成的特徵。
這就像問：「項鍊是什麼形狀？」項鍊用某種方式拿著就是正方形，換一種方式又變成圓形。但不管我們怎麼改變，項鍊都有個不會改變的基本形狀，無論是正方形、圓形、八角形、心形、新月形、水滴形，或是七百一十六邊形。

這個形狀有許多不同的形式，所以不能稱為圓形或正方形。我們有時稱它為圓形，但在拓樸學說法中，這種形狀的正式名稱是S1。S1是項鍊、手鐲或橡皮筋、跑道或賽車場、護城河或國家邊界（假設沒有阿拉斯加）、字母O和大寫D的形狀，或是任何形狀的封閉迴圈。如同正方形是一種特定的矩形，這些形狀也都是特定的S1。
還有其他形狀嗎？如果這個拉伸和擠壓規則太過寬鬆，結果把許多不同的形狀通通歸成一個大類，這樣也不行。還好這個規則不會這樣，還是有其他種形狀和圓形不同。
例如線：

一條線可以彎成接近圓形，但是要變成真正的圓形，線的兩頭必須接在一起，但這樣不行。無論我們如何彎轉一條線，線的兩端一定各有一個點，形狀就到此為止，這兩個端點不能去除。我們可以任意移動和拉遠端點，但端點是這個形狀不變的特徵。
同樣地，「8」也是另一個不同的形狀。8沒有端點，但中間有個特殊的交叉點，這個點有四條線向外延伸，而其他點則只有兩條線往外。無論怎麼拉伸和擠壓，都不可能使這個交叉點消失。
仔細想想，這個資訊已經足以讓我們回答「世界上有幾種形狀？」這個問題。答案是無限多種，以下是我的證明：

證明

我們觀察一下這組形狀。如果在原本的形狀上畫一筆，就會生成新的形狀。

每個新形狀都比前一個形狀有更多的交叉點和端點，所以一定是不同的新形狀。如果一直添加下去，將會得到無限多個不同的形狀，因此形狀有無限多種。

故得證


這樣可以接受嗎？我們要做的只是找出這樣一組無限多種形狀，而且它顯然能永遠不停地生成新形狀。

形狀

數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。
形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？
當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經...

一窺當代抽象數學的面向
游森棚
（臺灣師範大學數學系教授）

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。
這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

這是數學嗎?!
讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。
然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。
我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明Jordan Curve Theorem這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間, 我覺得我在外星球上……
這是數學嗎?!

數學研究什麼
是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。
如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。
用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心
這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。
由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。
要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。
書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

未盡之言
最後再回到讓全班譁然的Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別——這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……
我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。
無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

一窺當代抽象數學的面向
游森棚
（臺灣師範大學數學系教授）

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。
這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

這是數學嗎?!
讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高...

推薦序 一窺當代抽象數學的面向 游森棚
推薦序 不用數字，數學也可以非常有趣！ 洪萬生

拓樸學
形狀 流形 維度

分析
無窮 連續體 映射

代數
抽象 結構 推論

基礎
對話錄

建模
模型 自動機 科學

繪圖者簡介

推薦序 一窺當代抽象數學的面向 游森棚
推薦序 不用數字，數學也可以非常有趣！ 洪萬生

拓樸學
形狀 流形 維度

分析
無窮 連續體 映射

代數
抽象 結構 推論

基礎
對話錄

建模
模型 自動機 科學

繪圖者簡介