史丹佛頂尖學者裘．波勒、《大腦解鎖》作者、youcubed.org網站創辦人、數學教育領導者新作！
《心態致勝》作者卡蘿．杜維克盛讚：「裘．波勒是當前最優秀的教育工作者之一。她不但深諳教學的藝術，同時知道如何幫助其他教師也成為優秀教師。」
提到數學，你想到什麼？
．三角函數、微積分、排列組合……全都是無字天書。
．因為數學不好，所以大學科系的選擇受限，感覺自己低人一等。
．數學很可怕，但出社會以後根本就用不到。
其實，數學真的很重要，並不是只為了考試和升學！
數學並不只是生搬照套公式和硬背一個個困難的解法，而是我們用科學方式看待世界所有現象的方法。
本書作者是史丹佛的教授，他從自己的實務經驗出發，發現數學教學方式的不同，竟然能夠影響到孩子的未來！
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過去為什麼大家都認為數學很難，自己沒有數學天賦？
過去，在傳統的數學教育、成績掛帥文化中，每一個數學問題，只有一種解法，也只有一個答案。這種文化剝奪也削弱我們思考與學習數學的能力。於是，數學變成智力排名、評判和劃分等級的工具。不只教師、家長，連帶的，學生都覺得成績就代表數學能力，進而，認為自己天生就學不會數學。
但，史丹佛大學知名數學教育學者裘．波勒（Dr. Jo Boaler）告訴我們：事實並非如此！「數學是人人需要的基本知識和能力，也是每一個人都能獲致的」。
數學不是只有單一解法或答案，裘．波勒指出，任何數學概念都能有多種思考、觀察和解決的方法，善用多元化的方式教授數學，學生就能順利進入數學世界，學會數學，欣賞數學，並運用數學。
那，要怎麼喚起學生的數學腦？
過多的考試、錯誤的評鑑方式、誤解數學只有一套解題法，以及對「數學天賦」的錯誤認知等原因，造就學生無法發展數學腦。 裘．波勒認為，我們就要從幫助學生認識數學多樣化著手，從教學到評鑑都需要改變。
1. 學習如何學習
僵化的數學教育與考試制度下，教師追著教學目標，趕著進度，導致學生只能硬記、死背來學習，無法真正了解所學。為解決這個困境，裘．波勒認為，應從學習「如何學習」開始。
學習如何學習，指的是透過去思考「自己認知」的過程，就是去認識、理解、與反省自己的學習，包含對自我的認知（了解自己的能力）、對任務的認知（感知任務的難度） 以及對策略的認知（知道運用策略來學習）。舉例來說，我們常在考試中遇到不會的題目，通常會運用一個技巧，那就是去反推出題者的意圖，思考出題者可能是要考什麼概念，就比較能想出解法。同理，不管是教師或學生，去思考和反省自己教學或學習狀況、內容和解題的方式，就可以更好的「學習方式」。
2. 養成樂於挑戰的心態
傳統的教育環境裡，我們時常會看到兩種學習心態上的迷思，第一，掙扎或失敗是一種弱點，頭腦不好的人才會如此。另一個則是，大多數成功的人不會掙扎。長久下來，學生和老師都會認為，掙扎、錯誤和失敗，代表你對某一個學科不行。
但，事實正好相反。
「正視錯誤正是任何學習最重要的一環」，而且，有掙扎、錯誤和失敗，代表的是，大腦正在發揮令人驚異的活動。「我們面對困難的方式會改變我們的學習方式」，所以將學習心態從固定型心態轉變為成長型心態，養成樂於挑戰的心態，也是養成「數學腦」重要的一步。
3. 建立心智模型
傳統的數學教育，傾向教導「方法」與「規則」，舉例來說，就是我們常見的，先教公式和算法，再去做大量的題目。這種教學無法讓學生學會數學外，也會讓他們習慣「學習」就是死記，硬背。
裘．波勒認為，要學好數學，得從「建立心智模型」開始。心智模型是我們對事物在世界如何運作的思考與解釋。透過這樣的心智模型，我們能對學習到的概念或知識進行思考與審視，從而，幫助我們面對問題時，找到解決問題或執行的方法。
以學習數學為例，小時候我們學習數數，老師都會用蘋果或實物來問個數，透過視覺化的表達，我們很快會意識到數數的概念與意義，進而感受到數字與實物的關聯性。在這樣的學習循環認識下，我們可能會形成以下這樣的學習模型：了解概念→學會定義→懂得關聯性→應用。有了心智模型後，就能慢慢構建出自己的學習方式，達到目標。
4. 建立練習與回饋的模型
為了要鞏固上述三點強化數學多樣化的學習，需要練習與回饋的模型。裘．波勒指出，模型要著重學生的思考、創造力和解決問題的能力，所以練習必須有目的，教師最好著重，能夠幫助學生強化「心智模型」或「概念與關聯性」的練習。
在回饋上，則要利用對比案例，給學生應用的題目，針對學生想法給予回饋意見，而非針對學生本身。
突破僵化的數學學習後，我們須具備數學腦的三大能力
1. 核心數學概念
指的是算術，包括四則運算和分數。這個領域的數學，就是大家所說的「數感」。
2. 數據素養
指的是分析數據和解決問題，包括比、比值等概念，讓人看到一個量相對於另一個量的關係。
3. 線性方程
描述生活中的事物如何相互關聯的數學領域。
數學裡，有什麼能力是職場上最重要的能力？
答案是「估算力」。其實，我們日常最需要的數字不用那麼精確。透過大概估算的能力，可以幫我們在日常生活中解決不少問題。
更多精彩應用請見本書。
作者簡介：
裘．波勒
史丹佛大學數學教育系教授、數學學習網站youcubed共同創辦人、國際學生評量計畫（PISA）分析師，同時也是在MOOC講授數學教學及學習課程第一人，迄今發表九本著作及大量研究論文。
波勒曾在白宮、亞斯本思想節（Aspen Ideas Festival）、教育作家協會會議（Education Writers Association conference）、醫學及商業研討會發表演說，也是美國全國數學督導委員會（NCSM）和美國全國數學教師協會（NCTM）舉辦的數學會議專題演講者。媒體爭相報導波勒的研究，包括《紐約時報》、《讀者文摘》、《時代雜誌》、《科學美國人》、《哈清格報告》、《華爾街日報》、CNN、《大西洋月刊》等。
2015年創立的數學學習網站youcubed，已觸及超過2.3億名學生，讓教師和家長有機會了解神經科學與數學學習的新知識。BBC推崇波勒為「改變教育面貌」的八位教育家之一。
譯者簡介：
廖月娟
美國西雅圖華盛頓大學比較文學碩士。曾獲誠品好讀報告2006年度最佳翻譯人、2007年金鼎獎最佳翻譯人獎、2008年吳大猷科普翻譯銀籤獎。譯作繁多，包括《賈伯斯傳》、《你要如何衡量你的人生？》、《旁觀者》、《謝謝你遲到了》等數十冊。
章節試閱
序言
友人邀請我去一家昂貴的餐廳，與英國最大的社群媒體平台執行長及其夫人共進晚餐。餐廳高級、奢華，是典型矽谷名流出入之地。入坐時，我有些惶恐不安，不知這個晚上會如何。這次餐敘是一位友人牽線的，他深知我對數學教學的熱情，也認識那位執行長的夫人，認為那位執行長將對我的志業有所幫助。過去幾年，我都在矽谷生活、工作，知道這種關係是矽谷結構的一部分，也是這個地區創新和生產力增長的一個重要原因。
一開始，我就察覺這次餐敘很不尋常，跟我參加過的任何一場宴會都大異其趣。做東的執行長就像我們這些受邀的賓客不在場似的，不是在講手機，就是在跟他公司的人員交談，忙著擬定工作計畫，還從公事包拿出一疊文件。不管有意或無意，這種行為使我們看起來就像閒雜人等。他的夫人見狀，面露尷尬，數度瞥向旁若無人的老公和他的工作團隊。直到上菜，執行長才不得不把文件收起來，放進公事包裡。飯吃到一半，他才注意到我的存在。他抬起頭來，盯著我，不以為然地說：「所以，你認為我們的數學教育應該改革？」接著，他喋喋不休地告訴我，他的數學有多好，在中學和大學時期拿下多少數學獎項。這時，我察覺到這個人不好對付。多年來，我明知吃力不討好，還是一直努力想要改善數學教學─我知道數學教育改革最大的障礙，正是那些數學好的人。這些人通常認為數學教育不應該改變。他們認為，數學是很難的，他們數學成績優異，足以證明他們高人一等。但是如果你對我有點了解，就會發現我是這樣的人：我願意卯足全力幫助學生，幫他們解決真正的問題。於是，我打算採取我常用的一種策略，讓那位執行長瞧瞧一種不同的數學。我解釋說，神經科學家讓我們得以觀察大腦如何處理數學，尤其重要的一點是，在我們思索數學問題時，大腦哪些部位會變得活躍，特別是大腦的視覺路徑。接著，我問那位執行長是否願意看看一張有趣的數學圖片─我在遇見新朋友時常會這麼做。他同意了。我挑了我最喜歡的一張，也就是數學教育家露絲．帕克（Ruth Parker）繪製的圖片。
這樣的問題通常是用來幫助學生思考「模式增長」，進而使用代數符號來表示這種模式或關係。上數學課時，學生常會碰到這樣的問題：例10 會有多少個正方形？例100 呢？例n呢？這些都是好問題，但如果能激發數學多樣性的思維，則會是更好的問題。
通常，老師在課堂上會要求學生畫出一張數字表，然後盯著這張表格，直到看出其中規律。學生通常會注意到，表上的數字是有規律的，比方說拿其中一個例子來看（如例2），把這個數字加1（變成3），平方之後得到9，就是正方形的數目。透過這個加1 再平方的模式，就可求出任何一個例數的正方形數量。用代數來表示就是 (n ＋ 1)2。這種模式的表達式 (n ＋ 1)2 是一個二次函數。如果學生只是操弄數字和符號，不知其中關聯性或涵義，就會錯過了解數學函數的重要機會。在我的研究中，我改變提問的方式。雖然這只是小小的改變，意義卻很大。我不再問，每一例各有幾個正方形，而是問：你怎麼看這種模式的增長？多出來的正方形在哪裡？這些就是那晚我向執行長提出的問題。
執行長的回答讓我驚訝。他不是看不到增長的模式，他看得到，也能描述給我聽。他說，他看到每一列頂端多出來的正方形。其他人描述說，他看到正方形落在每一列頂端，就像「雨滴」從天而降。圖1.3 顯示這種「雨滴」型態和其他人看到的增長模式。
執行長分享他的看法之後，提出一個問題。我第一次聽到這樣的問題。他問道：「不是每一個人都這樣看嗎？」他的語氣流露出真正的疑惑。我沒告訴他，不是的，每一個人的看法不盡相同，我只是請同桌的每一個人分享他們的看法。於是， 每一個人輪流表達意見，結果發現每一個人都有不同的看法。執行長聽得目瞪口呆，好像從未想過看待數學問題的方式不只一種。他不可置信地搖搖頭，終於把注意力轉移到我們身上。
用不同的方式問問題，打開眼界，用更廣闊的角度來看數學，這點很重要。如果學生只是用狹隘的眼光來解題，就會盯著那張數字表，企圖看出其中的規律，再用代數來表達，也許最後能看出這是 (n ＋ 1)2，還是不明白為什麼是這個二次函數， 也不知道這代表什麼意義。我們問學生，他們如何看出這種圖形模式，經過一番思索，對這個函數，就能有更深的了解，且能透過視覺，看出圖形模式的增長：後一例每一列頂端總是比前一例多一個正方形。最清楚的一例就是圖1.3 的最後一種。這就是為什麼我們用 (n ＋ 1)2 來描述這種增長模式。
我也在這場餐會中分享我非常熱中的一件事。這件事是根植於一件重要的神經研究，也就是數學多樣性的價值。「多樣性」（diversity）意謂不同、差異。在本書，我將用「數學多樣性」一詞，來涵蓋人的多樣性價值（種族、文化、社會等的不同），以及我們看待數學、學習數學的不同方式。我也將用「數學腦」（mathish）一詞來描述利用數學思考現實世界的一種思維方式。對學生來說，這將是一種非常有用的思考工具。如果能擁抱數學多樣性和數學腦的概念，無論一個人的教育程度、性別認同、種族或族裔為何，都可踏入廣大、豐富的數學天地。
研究顯示，學生的多樣性（student diversity）是合作、解決問題、展現同理心、學習成就等的關鍵。1 但研究也告訴我們，如果能用不同的眼光看數學這門學科，了解數學有許多不同的解法，就能增進學習成就，激發學習動機，讓學生覺得數學有趣，更喜歡數學。2 多樣性的兩個層面─人與人之間的差異和數學本身的差異─看似分開獨立，也能以美妙的方式結合，相互增強，相輔相成。我們鼓勵別人和自己有不同的想法並重視這點。可惜，大多數的人只知道狹隘的數學，認為數學都有標準答案。我們該揚棄這種思路，擁抱數學多樣性。
那天晚上，執行長看到的數學多樣性讓他非常震撼。學校和家庭往往缺乏這樣的多樣性，殘害個人與數學的關係，令人從小就討厭數學。有些人數學很好，但學的是狹隘的數學和標準答案。這樣的人，就算數學再高分，也無法掌握整個數學範疇和數學的力量。一個人若是接觸數學的多樣性，就能別具隻眼，以不同的眼光來看每一個與數字、空間和數據有關的情境。
序言
友人邀請我去一家昂貴的餐廳，與英國最大的社群媒體平台執行長及其夫人共進晚餐。餐廳高級、奢華，是典型矽谷名流出入之地。入坐時，我有些惶恐不安，不知這個晚上會如何。這次餐敘是一位友人牽線的，他深知我對數學教學的熱情，也認識那位執行長的夫人，認為那位執行長將對我的志業有所幫助。過去幾年，我都在矽谷生活、工作，知道這種關係是矽谷結構的一部分，也是這個地區創新和生產力增長的一個重要原因。
一開始，我就察覺這次餐敘很不尋常，跟我參加過的任何一場宴會都大異其趣。做東的執行長就像我們這些受邀的賓客不在...
目錄
第1章 人人都有數學腦
第2章 數學腦養成①：學習如何學習
第3章 數學腦養成②：樂於挑戰的心態
第4章 數學腦養成③：用估算培養「數感」
第5章 數學腦養成④：用可視化培養「心像」
第6章 數學腦養成⑤：從概念與關聯性切入
第7章 數學腦養成⑥：建立練習與回饋的模型
第8章 多樣化體驗才是真正的數學
致謝
注解
第1章 人人都有數學腦
第2章 數學腦養成①：學習如何學習
第3章 數學腦養成②：樂於挑戰的心態
第4章 數學腦養成③：用估算培養「數感」
第5章 數學腦養成④：用可視化培養「心像」
第6章 數學腦養成⑤：從概念與關聯性切入
第7章 數學腦養成⑥：建立練習與回饋的模型
第8章 多樣化體驗才是真正的數學
致謝
注解
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