媒體推薦：「趣味橫生……他用清晰易懂、愉悅迷人的風格闡明了深奧難解的問題。」――《科學人》雜誌（ American Scientist）「興味盎然……〔巴羅〕展現了他的魅力和才思……」――《自然》雜誌（ Nature）「論據強而有力……言簡意賅……讀來引人入勝。」――《舊金山紀事報》（ San Francisco Chronicle）

翻開探索無限的第一頁’ Ifthereisa Universaland Supreme Conscience Iamanideainit． After Ihavedied Godwillgoonrememberingme，andtoberememberedby God，tohavemyconsciousnesssustainedbythe Supreme Conscience，isnotthat，perhaps，tobeimmortal？’「若是存有一種宇宙至高意識，我就是那裡面的一個觀念。我死後，上帝還會記得我，而留在上帝的記憶中，令我的意識由至高意識來維繫，難道那，或許，不就是不朽嗎？」烏納穆諾（ Miguelde Unamuno）「無限」（infinity）和「書」之間存在著若干關係。永無結局的故事書、收納一切可能藏書的圖書館、包含一切已然，也收入所有未然的書，或是自行撰寫的書、撰寫自己的書、講世上沒有書的書，還有在開始之前就結束的書。所以當你發現自己正在閱讀一本談無限的書，應該不會比我發現自己正在寫這樣一本書那麼感到驚訝。不過，就以這種在網際網路上買不到的東西來講，「無限」卻是個異數，只因為它到處都見得到。無限出現在教會布道場合、所有最好大學的數學講堂、談「生命、宇宙和萬事萬物」的科普書籍篇幅，還有全世界的神祕玄學，而同時歷史學家卻提醒我們，曾經有人因為談論無限而被綁上火刑柱燒死。霎時之間，這就成為多方領域的重要課題，包括對現實的神祕冥想（猶如神祕主義者向漢堡店老闆點餐：「給我來一個什麼都有的！」），也見於我們熟悉的科幻和奇幻領域。這所有東西真的都扯得上關係嗎？無限真的有那麼大嗎？幾千年來，西方人認為地球上沒有比無限更能煽惑人心的觀念。事物有可能永遠開展，它們不必有起點也不必有終點，不必有中心也不必有邊際，但這種觀點卻違反西方識見。它威脅要使全能的神讓出祂獨一無二的無限地位，把地球從宇宙中心貶謫外放，還泯滅宇宙創世之一切事件的獨一性和特殊意義，它大有可能讓一度僅屬或然的成為必然。然而，引人朝那個方向去思索的誘惑很強，而且一旦開始反覆去從事某樣事情，接著就不難想像永不停止會是什麼樣子。無限就只是一件接著一件！而這種單純和複雜的撩人組合，至今依舊存在於我們身邊。無限是種難以清楚掌握的微妙觀念，也很容易就陷於一廂情願，成為無用的思維，不過就街坊百姓來講，無限就不是那麼出人意表，也比能夠相提並論的任何抽象概念都更容易理解。我們對其中奧妙有免疫能力；這種保障或許是得自宗教傳統，於是我們先天對無限就有種奇妙認識，也或許只因凝望黑暗夜空而生；我們從自己的計數方式得知，不可能有最大的數，倘若還有疑問就加一，不過你可以嗎？然而，無限依舊是個奇妙的題材，它棲身於形形色色的基本人類問題的核心。人能不能永遠活下去？宇宙會不會有終點？它有沒有起點？宇宙有沒有「邊」，或者它完全是廣大無邊？儘管我們並不難想像出種種永遠開展的數列清單，或接續不止的時鐘「滴答」樣式，除此之外，卻還有幾種看似更難以應付的無限。比方說無限溫度或無限亮度（這種物理現象真的是無限的嗎？還是說無限只是「有限但大得令人生畏」的簡略說法？這類無限的問題似乎還更難理解，超過許多傳統宗教信仰應許信徒的無止境未來。永生不必然就要在此時此刻發生任何無限之事，這只表示，永遠都會發生某種情況），始終有那時那刻。另一種也是由宗教所激發的無限，並且和某種觀念約略相符：就是有個擁有無止境力量、知識的神，而這也是西方多項宗教傳統的關鍵成分。此種觀念同時成為另一種熟悉的試金石，讓所有人都能驗證無限的概念。我們不必是個數學家，也會覺得這種超無限並不陌生，不過你會認同嗎？確實有必要具備數學家的若干素質，才能領悟另一類無限。數字始終不斷開展，而無限似乎只不過是來自不斷計數且永遠不止的所得結果。不過當然是永遠辦不到，數學的無限性看起來就像是種永遠無法實現的諾言，一種數值的彼得潘、一種永遠達不到目標的簡略說法，那是種潛能，卻並非現實，一個比所有數字都大的數字，真是這樣嗎？我們已經開始察覺，除此之外還有其他各種不同無限，而且人們有可能相信一種，卻排斥另一種。在本書裡面，我們要從不同角度來探討這類無限。我們會看到，人類思維是如何開始擁抱無限的觀念，接著又對其蘊涵裹足怯步。我們會看到論戰如何火爆上演，爭執就在我們的有限宇宙當中，是否真有任何真正的無限具體成形；或者無限是否就是事件不當描述的人的產物，是否終究都要在無限未來實際發生呢，或者是要被一項隱密原理排除於現實之外，而那項原理便支持宇宙之邏輯一致性。我們會發現，數學家最後就要養成習慣，把無限當成一種真正的實體來處理，拿它們來做加減，把不同無限全都拿來分門別類，確定它們的大小，還察覺有些比其他的更大──無限的更大。不過，我們會在我們的故事裡面，穿插一些傳言，讓無限之悖論拓展到令人料想不到的領域。時間沒有終點的觀念’ Eternity’saterriblethought． Imean，where’sitallgoingtoend？’「永恆是種可怕的想法。我的意思是，這一切要到哪裡才會結束？」湯姆．斯托帕特（ Tom Stoppard）「不朽」，曾有人說：「是我們的人性向未知所展現的最英勇姿態。」這針對日常現實本質所作的反應，可不能等閒視之。人類和其他生物同樣都會死亡，人們必須具有哲學家的涵養，才能明確區分時間和我們的時間體驗之別。比較簡單的見解是在別人死後察覺，時間對我們而言還是繼續行進。四季會有更迭變化，而生長、衰敗和新生循環，則始終綿延不絕，人們對這種事態的心理反應也各有不同。就某些人來講，面對人類必須死亡的反應，便是把死亡視為一種假象，或視之為一道接待長廊，帶領人們通往一種更圓滿的、無止境的存在型式，這種高等存在型式之所以圓滿，就是由它永無止境的性質定義而來。另有些人則認為，人類生命循環和其他生命循環都是一樣的，而我們也會重獲新生，這就是變遷循環的一部份。這兩種觀念都導致一種無止境存在的期望，我們根據周遭所見的來做推斷，對我們所棲身並佔有顯眼地位的宇宙，產生一種令人滿意的展望，永生期望便由此而生。這種觀念可以扮演要角，使不同人群凝聚結合，讓他們面對逆境時依舊鬥志昂揚，並激勵他們獻出生命來捍衛袍澤。時間確有終點的觀念很難維繫，至少和維繫時間沒有終點之信念同樣困難。這會是什麼意思呢？這會有什麼感受呢？唯有當未來出現某種慘烈劇變，要把一切全都摧毀，這種觀念才有意義（不過就算是在神話當中，當這種戲劇性事件完結之後，接下來也始終都要發生某種事情。把時間帶向終點，似乎也意味著沒有演員，沒有神來決定世界的命運。怪的是，身處基督教世界，我們都是在天生有始有終的世界中成長，也都不去傷腦筋來掛慮無始無終的世界），世界一向就是如此。然而，看來其中最奇怪的，肯定就是有限的世界，也就是世界必須存在的某種理由：某人或某種東西在外界條理安排、提供背景脈絡和存在的理由。把我們的宗教遺產拿開，那麼採信世俗事物將永遠持續不絕，或許還更合乎常理。然而我們卻自相矛盾，基督教遺產卻強化一種預期，認為事情都是永續不絕，不論有沒有我們都沒有關係……’ Worldwithoutend． Amen’「無盡的世界。阿門」無窮境的空間’ Theeternalsilenceoftheseinfinitespacesterrifiesme’「無限空間的永恆寂靜把我給嚇壞了！」布雷斯．帕斯卡（ Blaise Pascal）《思想錄》（ Pensees）綜貫整段人類歷史，他們最偉大的分享經驗就是夜空景象〔原註：乍看之下這好像很單純，其實還更微妙。隨著離地高度不同，天空外觀會出現大幅變化，而受天空外觀啟迪創出的神話和傳奇，也隨著各種特徵（好比天極周圍夜空的表觀旋轉）產生系統變化並映現出不同的風貌。若想深入閱讀有關這類影響的文獻，參見 J． D． Barrow， The Ardul Universe， Oxford University Pressand Penguin，1995以及書中參考文獻〕。夜空黝黑一片，滿布明亮天體，這是古代生活的非凡特徵。這帶來故事靈感，提供導航作法，也誘人崇拜。這讓人類覺得，自己在廣大宇宙間有個地位，而且是種謙遜的地位。在繁星點點的暗夜之中，我們顯然只是毫不起眼的一點，黑暗不斷擴展，說不定還永不止息。它要怎樣終止？再一次，宇宙邊際的觀念，比宇宙無邊際的觀點更難掌握。這種邊際之外是哪種世界，還有它會是在哪裡？黑暗夜空或許就是個籠罩我們的黯淡外殼，就像是天界的穴壁，頂篷有點點光明。或者假設我們住在島上，還是局部環海的大陸，那麼就會看到，環境可能存有迥異的變化。太空可能有邊際，就像沿岸陸地也有邊際，邊際之外不盡然是什麼都沒有，只不過是不同的東西，某種我們選擇不稱為太空的東西。聖經裡的《創世紀》中有一段精彩之極的故事，人類英勇探尋，想觸及天空，要像神那樣，最後，《創世紀》的作者群提到巴別塔（ Thetowerof Babel）〔原註：蘇美文和巴比倫文的 Babel（巴別）顯然是個雙關語，意思是「神的門口」，而balal則是混淆的意思〕，把它當成一段傳奇，來說明人類語言的起源。然而，造塔人絕對不只是做這種打算，他們計畫讓他們的塔廟「塔頂通天」。

自此以後，巴別就成為無望追尋的代名詞，手持長矛向風車衝鋒，古代世界的千禧巨蛋（ Millennium Dome）〔譯註：英國為慶祝千禧年籌建之大型巨蛋建築，西元2000年底博覽會結束後，迄今大半時間閒置〕。就某些人而言，思及繁星點點的無盡太空是種誘惑，引人脫離自我，追求超人神性；然而除了敬畏，那種宇宙魅惑多半也要令人心生同等恐懼。

17世紀的法國哲學家布雷斯．帕斯卡（ Blaise Pascal）對我們說過：「當面對周遭太空的潛無限，還有和永恆時間相比，我的生命又是多麼短暫，這時，敬畏和恐慌便油然而生。」俄國藝術家沃希利．康丁斯基（ Wassily Kandinsky）也曾說過：「壯闊寂靜，就像一道無從毀壞，向無限延伸的冰冷牆面」。

如今，我們對太空之浩瀚和「域外」之物的本質，了解已經遠勝從前。發現未知的魅力依舊，不過也有迥異之處。我們這幾個世代成為人類的先驅，有辦法從太空看地球。在浩瀚太空當中，地球的特殊面貌，扮演一種重要角色，加速推展1960年代的環保運動訴求。我們以有限的生命，身處浩瀚萬象的中心，這讓我們躊躇審視，重新思索人類科技要把我們帶向何處，還有隨科技發展而累積的風險，受累的是微妙平衡的環境，而地球就要賴此，才能成為適於居住的美麗行星。計數’ Theanimalswentintwobytwo， Hurrah！ Hurrah！？「動物一對一對走進來，萬歲！萬歲！」傳統兒歌針對古代計數和計算系統所作研究，讓我們深入了解古人喜歡算什麼東西，還有他們所採用的作法。最簡單的系統，最初是包含代表1和2的示數詞，這可以拿來做簡單組合，計算比較大的數量。這些較小的數詞，通常都是專門針對要計數的物品而設計的，例如：兩顆石頭和兩隻手是由不同的數詞來代表。至今，我們在英文中依舊看得到這種現象，其中有許多代表2的特殊數詞，都是看要計數的是哪種東西而定：兩隻禽獸、兩位音樂家、兩兩配對、雙重、雙人組、夫妻、二中取一等等，雖然都含有2的意思，卻是以不同的單字來代表。只有少數幾種文化，對非常大的數字表現特殊興趣，比較單純的文化，對此就不是很講究，當談到大數之時，只是以或能代表「許多」的字眼來形容。這類形容詞或取字面意義，不然就取其意象，比方說以頭頂毛髮，或海邊沙粒來間接表示。假使想要加總石塊、黏土或紙張，那麼很快就要開始涉獵記數法：尋找簡練作法來記錄數字。我們今天所用的系統簡單俐落，這是源自古印度。有了這套系統，我們只需使用：0、1、2、3、4、5、6、7、8和9，就可以代表任何有限數量。這其中祕訣是，這些符號的相對位置，帶有符號意義之相關資訊。因此，對羅馬軍團百人隊隊長而言，Ⅲ便代表數字3，但對我們來講，這卻表示111（100＋10＋1）。

採用印度十進制，我們就能寫出長度無止境的符號串。然而，另外還有一種不必用上記錄系統的數字構思方式，最原始的直覺就是，拿手中的數字加1或減1。比如大清早時，每當有1隻綿羊進入草地，就在地面擺上1塊石頭，然後當太陽下山後，只要有1隻綿羊離開，就取走1塊石頭，那麼就算不需要清點羊隻，也可以知道有沒有羊走失。當著手在計數石堆上逐一增添石塊，人們就開始看出，不論在哪種情況下，都可以不斷增添1塊，只需要另一塊計數石就成了。如果想要繼續地計數，就需要有無窮無盡的計數石蘊藏，人們對這種事態的反應，便決定是否認定自己有辦法永遠計數下去。假使認為，實體計數石是不可或缺的，那麼除非世界包含無限數量的計數石，否則將來石塊就會用完。不過，如果相信計數石的數量無限，那麼就已經具有無限的信念。倘若人們並不覺得計數石不可或缺，那麼不論出現哪種情況，就始終都可以加1。這就像是小孩子玩的最大數遊戲，每當選定一個數字，就始終都可以再加1，並找出一個更大的數字。然而，實際使用這項對策之時，就必須有辦法用字彙來表達這個較大的數字，而且也必須清楚道出那是個較大的數字。就我們的十進制系統而言，我們始終都能夠表達出十倍於原來數值的數字，只要在數字的最右邊增加1個零就成了；所以，好比34便可以增長到340。這種窮舉不盡的數字列表，便顯示了我們發明來代表數量的記數法和符號，所扮演的關鍵角色。我們所採用的印度及阿拉伯記數系統相當簡約，也蘊涵相當聯想。採用這種作法，不論是多大的數字，只要紙張夠大，都有辦法記錄。它不會在數字大到某個臨界水準，就突然失效；它也不必用上新的符號發明。這樣一來，它當然可以助長一種直覺，認為數字是永遠擴展。然而，稍後我們也會看到，這和無限卻不是完全相同。

翻開探索無限的第一頁’ Ifthereisa Universaland Supreme Conscience Iamanideainit． After Ihavedied Godwillgoonrememberingme，andtoberememberedby God，tohavemyconsciousnesssustainedbythe Supreme Conscience，isnotthat，perhaps，tobeimmortal？’「若是存有一種宇宙至高意識，我就是那裡面的一個觀念。我死後，上帝還會記得我，而留在上帝的記憶中，令我的意識由至高意識來維繫，難道那，或許，不就是不朽嗎？」烏納穆諾（ Miguelde Unamuno）「無限」（infinity）和「書」之間存在著若干關係。永無結局的故事書、收納一切可...

序
第一章 萬物多紛擾翻開探索無限的
第一
頁／無限之宣示／芝諾時間
第二章 無限：或假還真與虛實之間黑暗正午／純亞里斯多德派的關係／無限和上帝／淺論康德
第三章 歡迎光臨無限大飯店飯店／無限大飯店住房經驗／無限大飯店的帳目／
第四章 無限非大數無瑕之誤解／「薩克森的艾伯特」悖論／伽利略悖論／琴瑟和鳴／區隔
0、 1／2和1的幽明界線／可列無限／不可列無限／浩瀚無限
第五章 康托爾的瘋狂處境康托爾父子／克羅內克爾紀事／康托爾、上帝和無限：親密的三合一關係／淒苦告終道盡一生
第六章 無限三風味三足鼎立／來學點物理課題／裸性無限／遼闊的藍色遠方／捉襟見肘的無限
第七章 宇宙是否無邊無際？萬事萬物為所何？／宇宙學潛入地下／彎曲宇宙／位相的問題／均勻性的問題／加速度的問題／那麼我們的處境為何？／光明
第八章 無限重複悖論沒有任何原創事物的宇宙／大逃亡／時間版本：去過、做過／講不完的故事／無限道德觀
第九章 世界永無盡頭歷史上的其他世界／脫離塵世／暴脹：四面八方，無處不在／意識干預：黑衣特務／模擬宇宙／我們該怎樣活下去？
第十章 打造無限機器超級任務／摩擦湯姆森燈／談點挪威規矩／收尾問題／相對性和奇妙的縮小人／時機的問題／牛頓派超級任務／相對性超級任務／大霹靂和大崩墜
第十一章 永生不死童年末日／永生社會學／
【 Q A專欄】無止境未來的問答專欄／陌生的、熟悉的、被遺忘的／違犯倫常的時光旅行／祖母悖論／執著不變的歷史／來自未來的訪客／金融界的時光旅客：永動生財機／為什麼無法改變過去／無限，要到哪裡才會結束？後記

序
第一章 萬物多紛擾翻開探索無限的
第一
頁／無限之宣示／芝諾時間
第二章 無限：或假還真與虛實之間黑暗正午／純亞里斯多德派的關係／無限和上帝／淺論康德
第三章 歡迎光臨無限大飯店飯店／無限大飯店住房經驗／無限大飯店的帳目／
第四章 無限非大數無瑕之誤解／「薩克森的艾伯特」悖論／伽利略悖論／琴瑟和鳴／區隔
0、 1／2和1的幽明界線／可列無限／不可列無限／浩瀚無限
第五章 康托爾的瘋狂處境康托爾父子／克羅內克爾紀事／康托爾、上帝和無限：親密的三合一關係／淒苦告終道盡一生
第六章 無限三風味三足鼎立／來學點物理課題...