媒體推薦：德福林成功地讓我們窺見數學的美麗內蘊，同時展現其於外在世界的實用性。這本書敘述清楚，圖解豐富，從頭至尾既可親可近，又充滿熱情。—《經濟學人》雜誌（The Economist）

心中一直有想要問的數學問題，卻擔心無法理解答案的人士，德福林的《數學的語言》是絕佳的參考書籍。—波士頓書評（Boston Book Review）

誠如伽利略所言：「自然這部大書只能被那些通曉其中所寫語言的人閱讀。這個語言正是數學。」德福林便是此種語言的絕佳導師。—《科學美國人》雜誌（Scientific American）

欲瞭解數學的藝術，它的過往與現今，唯...

序曲　何謂數學？（節錄）

一切都不只是數目



何謂數學？隨機向人們提問，你可能獲得的答案是：「數學是有關數目的一種學問。」如果你繼續追問他們所謂的學問是哪一種，或許你可以誘導他們提出譬如「那是一種有關數目的科學」之描述。不過，這大概是你最多可以得到的資訊。而這一種有關數學的描述，在大約二五○○年前，就已經不再正確了。



在這樣一個巨大的誤導之下，你所隨機抽樣的人們無法體會數學研究是一種興旺且無所不在的活動，或是接受數學經常相當程度地貫穿吾人日常生活與社會大部分活動的看法。這毫不令人意外。



事實上，「何謂數學？」這個問題的答案在人類歷史過程中，已經數度更易了。



到西元前五○○年左右為止，數學的確是有關數目（number）的一種學問。這是古埃及和巴比倫時期的數學。在這些文明中，數學所包括的，幾乎都以算術（arithmetic）為主。它大部分屬功利取向，而且充滿了「食譜」的特色（譬如，「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」）



從大約西元前五○○年到西元三○○年的這一時期，是希臘數學的時代。古希臘的數學家主要關心幾何學（geometry）。誠然，他們按幾何方式，將數目視為線段長之度量，而當他們發現有數目缺乏對應的線段長時，有關數目的研究就停頓下來了。對於希臘人而言，由於他們強調幾何學，所以，數學不只研究數目，而且也是有關形狀（shape）的學問。



事實上，幸虧有希臘人的現身，數學才進入研究領域，而不再只是度量、計算和會計等技巧的大雜燴。希臘人對於數學不只是功利取向，他們視數學為一種知性探索，其中包含了美學與宗教成分。泰利斯（Thales）引進了如下想法，亦即：數學上精確陳述的斷言（assertion），都可以被一個形式的論證（formal argument）邏輯地證明出來。這一創新標誌著定理（theorem）－－數學的基石－－的誕生。對希臘人而言，這一進路在歐幾里得（Euclid）《幾何原本》（The Elements）出版時，攀上了顛峰。這一部西方數學經典，在歷史上因流傳度僅次聖經而聞名於世。

運動中的數學



一直到十七世紀中葉，英國牛頓（Isaac Newton）和德國萊布尼茲（Gottfried Leibniz）彼此獨立地發明微積分之前，數學的整體本質未曾有根本的變革，或者幾乎沒有任何顯著的進展。實質來說，微積分是研究運動（motion）和變化（change）的一門學問。在此之前的數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態議題上。現在，引進了處理運動和變化的技巧之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、機械裝置的運作、液體的流動、氣體的擴散、如電力和磁力等物理力、飛行、動植物的生長、流行病的傳染、利潤的波動等等。在牛頓和萊布尼茲之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間（space）的一門學問。



大部分涉及微積分的初始問題都導向物理的研究；事實上，該時期很多偉大的數學家也被視為物理學家。不過，從大約十八世紀中葉之後，當數學家著手瞭解微積分為人類帶來的巨大力量背後是什麼，他們對於數學本身有著遞增的興趣，而不只是關注數學應用而已。因此，當今日一大部分純數學被發展的時候，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間以及研究數學的工具的一門學問。



發生在二十世紀的數學活動之爆發相當戲劇化。在一九○○那一年，世界上所有的數學知識可以裝入大約八十部書籍之中。而在今日，現有數學將必須有十萬部書籍才能容納。這種非比尋常的成長，不只源自從前數學的增進，許多新的分支也已經湧現。在一九○○年，數學可以合理地被視為包括了大約十二個主題：算術、幾何、微積分等等。至於今日，六十到七十之間的不同範疇，將是一個合理的數字。某些主題，譬如代數和拓樸學（topology），已經細分為不同的子領域；至於其他主題，譬如複雜理論（complexity theory）或動態系統理論（dynamical systems theory），則是全新的研究領域。

模式的科學



給定數學活動如此巨大成長這一事實，對於「何謂數學」這個問題，一時之間唯一的簡單答案，好像就是有一點愚昧地說：「那是數學家賴以維生的憑藉。」一種特定的研究之所以被歸類為數學，並不是基於什麼被研究，反倒是基於它如何被研究，也就是說，基於被使用的方法論。在大約最近的三十年間，一個為大部分數學家所同意的有關數學的定義，才終於出現了：數學是研究模式的科學（science of patterns）。數學家的所作所為，就是去檢視抽象的模式－－數值模式、形狀的模式、運動的模式、行為的模式、全國人口的投票模式、重複機會事件（repeating chance events）的模式等等。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的週遭世界、源自空間和時間的深度，或者源自人類心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說：

算術與數論研究數目與計算模式。

幾何學研究形狀模式。

微積分允許我們處理運動模式。

邏輯學研究推論模式。

機率論處理機會模式。

拓樸學研究鄰近（closeness）與位置（position）模式。

本書將運用八個主題，涵蓋計算模式、推論與溝通模式、運動與變化模式、形狀模式、對稱與規則模式、位置模式、機會模式，以及宇宙的基本模式，以傳遞現代定義的數學的一些訊息。雖然略去了數學的一些主要領域，它應該為當代數學為何提供了一個不錯的全盤意義。每一個主題的處理，儘管只是在純描述的層次，卻一點也不膚淺。



現代數學有一個甚至對不經意的觀察者而言都屬顯然的面向，那就是抽象記號的使用：代數表現式、複雜形式的公式，以及幾何圖形。數學家對抽象記號的依賴，恰好反映了他所研究的模式的抽象本質。



實在（reality）的不同面向需要對應不同的描述（description）形式。譬如，研究土地的地勢或是對某人描述如何在一個陌生的小鎮找路的最恰當方法，就是畫一張地圖，文字內容就遠遠地不便。依此類推，在藍圖的形式中，線條的圖示是標示一棟建築物的構圖最恰當的方法。至於記譜法（musical notation），則或許是實際演奏這支曲子之外，傳遞音樂的最恰當方法。



就各種抽象的、「形式的」模式與抽象的結構而言，描述與分析的最恰當手段就是數學，利用數學記號、概念與程序。比方說，代數中的象徵性記號（symbolic notation），就是描述加法與乘法這種一般運算性質的最佳手段。以加法的交換律為例，它可以寫成如下文字：



當兩個數目相加時，它們的順序並不重要。

不過，它通常寫成如下的符號形式：

m + n = n + m

這樣就呈現了多數數學模式的複雜性與抽象程度，要是我們使用象徵性記號以外的東西來描述，將是令人卻步地繁瑣。因此，數學的發展已經涉及抽象記號穩定增加的運用了。

不可見的宇宙



今日，我們生活在一個技術型的社會（technological society）。當我們沿著地平線環顧四周，在地球表面上，已經愈來愈少有地方見不到我們的技術帶來的產品：高樓、橋樑、電線、電話線、路上的汽車、天上的飛行器。溝通曾經需要物理的近距離，今日我們大部分的溝通則是由數學作為媒介，沿著電線或光纖，或者經由以太網路（the ether），按數位形式來傳遞。電算機——機械執行數學（運算）——不只是我們的桌上型電腦而已，它們存在於每一個事物之中，從微波爐到汽車，從兒童玩具到電子心臟定調器等等。數學——基於統計學的形式——被用以決定我們將食用哪些食物，將購買哪些產品，將看到哪些電視節目，以及將投票給哪些政客。正如工業（革命）時代的社會燃燒煤礦以啟動引擎，在今日資訊時代，我們所燃燒的主要燃料，則是數學。



還有，當數學的角色在過去半個世紀內變得愈來愈重要，數學也愈來愈隱身在我們的視界之外，構成一個支撐我們的不可見宇宙。正如我們的一舉一動都受制於自然的不可見之力（譬如重力），我們現在生活在一個由數學創造，並且由不可見的數學定律支配的不可見宇宙。



本書將帶領你進行那個不可見的宇宙之旅。它將對你顯示：我們如何使用數學，去看它不可見結構的某些部分。在這趟旅程中，你可能發現你所遭遇到的視界顯得怪異而陌生，就像那些遙遠的土地一樣。然而，所有的陌生感，並非來自我們將要旅行的一個遙遠的宇宙，而是我們所居住的宇宙。

序曲　何謂數學？（節錄）

一切都不只是數目



何謂數學？隨機向人們提問，你可能獲得的答案是：「數學是有關數目的一種學問。」如果你繼續追問他們所謂的學問是哪一種，或許你可以誘導他們提出譬如「那是一種有關數目的科學」之描述。不過，這大概是你最多可以得到的資訊。而這一種有關數學的描述，在大約二五○○年前，就已經不再正確了。



在這樣一個巨大的誤導之下，你所隨機抽樣的人們無法體會數學研究是一種興旺且無所不在的活動，或是接受數學經常相當程度地貫穿吾人日常生活與社會大部分活動的看法。這毫不令人意外。



事...

〈譯者序〉直指數學知識核心的模式

文/洪萬生

何謂數學？有關這個問題的答案，當然沒有標準的版本。以最近台灣所出版的數學普及書籍為例，從新潮的《社會組也學得好的數學十堂課》，到古典的《數學是什麼？》，都企圖回答此一問題，而且，它們各自的作者顯然都提供了相當成功的現身說法。如此說來，本書《數學的語言》之賣點何在？難道這純粹只是出版社編輯想湊個熱鬧？

　　

事實上，新潮也罷，古典也罷，前兩書的解說策略顯然都直接訴求了數學知識活動的參與，換言之，正如同數學家的諄諄告誡：想要理解數學是什麼，最好的進路就是做數學（do mathematics）！因此，針對前兩書，你必須備好紙筆，專注地跟著計算與論證，否則閱讀的效果自然大打折扣。然而，《數學的語言》卻完全不同，正如作者指出：本書是「按照更大讀者群可以接近的一種格式」，述說「數學是有關模式的鑑別與研究之故事」。既然如此，作者的書寫在論述（discourse）與敘事（narrative）之間，就力求折衷與平衡。而這，當然也允許本書的形式與內容，為它自身的普及屬性，做了最有說服力的背書。

　　

本書既然強調敘事，那麼，如何以「模式」（pattern）為主軸，或許是最佳抉擇。這是因為從一九八○年代以來，數學家大都同意何謂數學的這一個新解：數學是研究模式的一種科學（a science of patterns）。如此一來，我們所熟悉的數學分支，就可以綜合統攝在模式之下了。譬如說，算術與數論研究數目與計算之模式；幾何學研究圖形之模式；微積分允許我們處理運動之模式；邏輯學研究推論之模式；機率論處理機會之模式；拓樸學研究鄰近與位置之模式，等等。而為了傳遞數學的這個現代定義的一些訊息，「本書將運用八個主題，涵蓋計算模式、推論與溝通模式、運動與變化模式、形狀模式、對稱與規則模式、位置模式、機會模式，以及宇宙的基本模式」。無疑地，這種說法將數學從它傳統上被認定為最直觀的（或狹隘的）研究對象（如數目與圖形）解放出來，從而可以從容地觀照人世間無所不在的模式。

　　

數學模式既然無所不在，那麼，我們掌握它的目的，顯然不僅止於針對「何謂數學？」提供一個具有「現代性」的回答吧。事實上，有關數學，還有另一個更根本的問題，那就是：掌握了這些模式做什麼用？當吾人應用數學來研究某些現象時，數學的回報是什麼？作者的答案是：「數學讓不可見變成可見。」（Mathematics makes invisible visible.）而這一洞識，也正是本書英文版的副標題！譬如說吧，牛頓的數學幫助我們「看到」那些讓地球繞著太陽旋轉，以及造成蘋果從樹上墜地的不可見之「重力」（gravity）──儘管重力概念是不是一個權宜的假設，他也始終說不清楚！又如，吾人利用十九世紀馬克士威爾所發現的電磁方程式，藉以讓那些不可見的無線電波，變成可以「看到」。還有，語言學家喬姆斯基使用數學去「看」，而且描述我們認定為文法語句的不可見的、抽象的文字模式，於是，他得以將語言學轉變成為一門蓬勃發展的數理科學。

　　

更具體地說，本書作者利用了八章的內容，從計數（含算術與數論，第一章）、心智推論（第二章）、運動現象（第三章）、圖形（含幾何、對稱與拓樸學，第四、五、六章）、機會事件（第七章）到物理宇宙（第八章），分別提煉其各自模式，進而據以說明這又是如何促成相關數學的巨大進展。現在，我們就針對這八章內容，提供一個極其簡要的說明。

　　

第一章的重點是質數相關理論（含密碼學之應用）與費馬最後定理的簡介。有了這個預備，作者在第六章有關拓樸學的深入討論之後，再回過頭來，完結費馬最後定理的故事。其實，在第一章中，作者也提及抽象化概念之為大用，尤其是數學仍然處在搖籃階段的時候。

　　

第二章針對數學證明的嚴密性所需之邏輯推論模式，進行一個歷史的回顧性說明。其中極為重要的故事情節，有康托爾發明集合論之後所引發的羅素悖論，對數學基礎所造成的深層危機，以及希爾伯特積極回應的形式主義之崛起，乃至於哥德爾不完備定理的最終致命一擊。不過，最有茶餘飯後談助的插曲，則莫過於數學家如何利用「模式」，找到隱藏在書寫文字中的「指紋」。

　　

第三章討論數學家如何馴服無限概念，然後，據以建立有關運動與變化之模式。同時，為了微積分的極限理論之完備，作者也論及實數與複數之歷史發展。接著，作者再從解析數論切入，說明黎曼函數如何為我們揭開質數的隱藏模式。至於第三章最令人意想不到的內容，則是作者告訴我們：應用傅氏分析學，只要給定足夠多的音叉，我們就可以演奏貝多芬第九號交響曲。

　　

第四章主題是歐幾里得《幾何原本》，以及所延伸之非歐幾何、尺規作圖與五種柏拉圖正多面體等單元。此外，作者還提及圓錐曲線、解析幾何、射影幾何以及高維度幾何學之應用。而「最麻辣的」情節，莫過於作者提及柏拉圖如何說明五個正多面體與其宇宙生成論之關係，以及無獨有偶的克卜勒之論證：恰好只有六個行星的原因，是每個行星和下一個行星之間的距離，必定和一個特定的正多面體有關，而正多面體剛好只有五個。當然，作者的評論更是發人深省：「就細節而言，柏拉圖和克卜勒兩人對於原子論的想法都是錯誤的。但是，就尋求以數學的抽象模式理解自然模式的意義而言，他們的研究所秉持的傳統，直到今天仍然具有高度成效。」

　　

第五章的主題是群的模式與底蘊美學的對稱之密切關連，這是因為正如作者指出：對稱的研究，捕捉了形狀更深刻、更抽象的一個面向。而從變換觀點切入，群之概念當然就堂而皇之地走進來了。因此，在本章中，作者雖然提及許多與美學有關的數學如地磚鑲嵌、壁紙圖案、雪花與蜂巢結構，甚至於格子與球裝填問題等等；然而，群結構所表現的模式，顯然才是正道。

　　

在第六章一開始，作者就運用一九三一年設計的倫敦地下鐵地圖，以及在科普書籍中相當膾炙人口的克尼斯堡七橋問題，來引進拓樸模式之概念。其他單元如莫比烏斯帶、甜甜圈與咖啡杯、紐結分類，乃至四色定理等等，也都是非常「性感的」（sexy）題材。當然，代數理論（尤其是有關群與多項式）協助打造研究工具，也是非常具有啟發性的敘事。最後，基於橢圓曲線的拓樸模式之深刻掌握，英國數學家懷爾斯終於證明了三百多歲的費馬最後定理。

　　

在第七章中，作者從機率論的誕生，談到巴斯卡有關「機會的幾何模式」之研究。再論及壽險與機率之關係，以及期望值之研究如何啟發吾人考慮人為因素。其他如鐘形曲線、統計推論以及平均人的概念，都有助於機會的抽象模式之探討。此外，在金融數學的脈絡中，作者也說明經濟學家如何利用數學，幫忙吾人在高度易變的權證交易市場中做出優選。

　　

正如第三章一樣，第八章的主題也是物理學中的數學模式。不過，本章顯然意在強調：儘管數學在物理上的應用，具有悠久歷史的優良傳統，但是，過去十幾二十年不斷發生的，卻是另一個方向的工作：將物理中的概念與方法應用到數學上，並取得新的發現。

　　

總之，本書內容在凸顯模式旨趣的同時，誠如作者所說，也兼顧了數學的歷史發展與它當前的廣度，因此，他乃能將數學「形容成人類文化一個豐富而生動的成分」。基於此一進路，作者在書寫時，就充分地發揮了他自己的數學（史）洞識，相當值得推許。譬如說吧，在評論微積分的極限理論發展時，作者對於牛頓與萊布尼茲 vs. 哥西在數學物件上的認知對比，就是相當深刻的觀察，十分有助於我們理解十七到十九世紀的分析學之算術化（arithmetization of analysis）的歷史發展。

　　

最後，我們必須提醒讀者：本書由於論及當今數學發展的實質內容，因此，非常抽象層次的理論之鋪陳，遂變得完全不可避免。同時，也由於「抽象概念的認識與表現它們的適當語言之發展，真的是一體兩面」，所以，閱讀本書時雖然不必預設數學知識或能力，但是，發掘意在言外的資訊之閱讀習慣，卻是十分必要。值此閱讀力即國力的呼聲中，如何培養穿透字面、直指知識核心的能力，或許本書所念茲在茲的模式，就是最佳的試金石了。

（本文作者為台灣師範大學數學系退休教授）

〈譯者序〉直指數學知識核心的模式

文/洪萬生

何謂數學？有關這個問題的答案，當然沒有標準的版本。以最近台灣所出版的數學普及書籍為例，從新潮的《社會組也學得好的數學十堂課》，到古典的《數學是什麼？》，都企圖回答此一問題，而且，它們各自的作者顯然都提供了相當成功的現身說法。如此說來，本書《數學的語言》之賣點何在？難道這純粹只是出版社編輯想湊個熱鬧？

　　

事實上，新潮也罷，古典也罷，前兩書的解說策略顯然都直接訴求了數學知識活動的參與，換言之，正如同數學家的諄諄告誡：想要理解數學是什麼，最好的進路就是做...

前言
序曲　何謂數學？
第1章數目為何靠得住？
第2章心智的模式
第3章動靜有數
第4章當數學成型
第5章數學揭開美之本質
第6章當數學到位
第7章數學家如何決疑
第8章數學揭開宇宙的深層模式
後記
索引

前言
序曲　何謂數學？
第1章數目為何靠得住？
第2章心智的模式
第3章動靜有數
第4章當數學成型
第5章數學揭開美之本質
第6章當數學到位
第7章數學家如何決疑
第8章數學揭開宇宙的深層模式
後記
索引