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【推 薦 序】

這是一本極好的科普讀物，有動人的故事，有深入的見解，有詩意的感觸，也描述了數學王國的美麗與輝煌。

──楊振寧（物理學家）

我讀過蔡天新的詩和散文，很有文采，知道他是數...

3. 奧瑪．海亞姆的世界

一、身體的世界

若要瞭解波斯數學家、詩人奧瑪．海亞姆的生活軌跡，我們必須先來談談他的故鄉霍拉桑（Khorasan）這個歷史地名，它的另一個中文譯名是呼羅珊，這個詞在波斯語裡的含義是「太陽之地」，意即東方。雖然霍拉桑如今只是伊朗東北部的一個省分（其省會城市馬什哈德 Mashhad，是什葉派穆斯林 Shia Islam 的朝聖之地），以製作圖案精美的手織地毯聞名。但在從前，它所包含的地域卻要寬廣許多，除了霍拉桑省以外，還包括土庫曼（Turkmenistan）南部和阿富汗（Afghanistan）北部的廣大地區；確切地說，北面從裏海（Caspian Sea）到阿姆河（Amu Darya），南面從伊朗（Iran）中部沙漠的邊緣到阿富汗的興都庫什山脈（Hindu Kush）。有些阿拉伯地理學家甚至認為，該地區一直延伸至印度邊界。

……

作為一個數學家，海亞姆生活過的國家之多（依照今天的行政劃分是四個，不含朝聖地沙烏地阿拉伯王國 Kingdom of Saudi Arabia）恐怕只有古希臘的畢達哥拉斯可以超出，後者居留過的地方包括希臘、黎巴嫩、埃及、伊拉克和義大利。而綜觀古代世界的詩人，儘管職業需要他們浪跡天涯，卻似乎無人有此等幸運。大概正因為如此，荷馬在他的史詩《奧德賽》裡讓主人公歷盡十年的海上迷途才返回故鄉，而但丁（Dante Alighieri）則在他的《神曲》（Divina Commedia）裡親身經歷了地獄和天堂。海亞姆之所以能雲遊四方，恐怕與他出身於手工藝人家庭有關，也得益於伊斯蘭的勢力範圍之廣。

1048年 5 月 18 日，海亞姆出生在古絲綢之路上的納霞堡（Naishapur），如今它是一座只有十幾萬人的小城，離開馬什哈德僅 70 多公里，以製陶藝術聞名。他先在家鄉，後在阿富汗北部小鎮巴爾赫（Balkh）接受教育，巴爾赫位於喀布爾（Kabul）西北約三百公里處，離開他的故鄉有千里之遙。正如「海亞姆」這個名字的含義「帳篷製作者」那樣，奧瑪的父親是一位手工藝人，在動亂的時局裡，他經常率領全家從一座城市遷移到另一座城市。海亞姆在《代數學》（Treatise on Demonstration of Problems of Algebra）的序言中如此寫道：「我不能集中精力去學習代數學，時局的變亂阻礙著我。」儘管如此，他仍寫出了頗有價值的《算術問題》（Problems of arithmetic）和一本關於音樂的小冊子。

大約在1,070年前後，20 歲出頭的海亞姆離家遠行，他向北來到中亞最古老城市之一的撒馬爾罕。曾被亞歷山大大帝征服的撒馬爾罕那時正處於（土耳其）突厥人的統治之下，其時「一代梟雄」成吉思汗和義大利旅行者馬可．波羅均未出世，他們後來從不同的方向以不同的方式踏上這塊土地。海亞姆來此是應當地一位有政治地位的大學者邀請，他在主人的庇護下，安心從事數學研究，完成了代數學的重要發現，包括三次方程的幾何解法，這在當時算最深奧、最尖端的數學了。依據這些成就，海亞姆完成了一部代數著作《還原與對消問題的論證》，後人簡稱為《代數學》，他也因此成名。

不久，海亞姆應塞爾柱王朝（Seljuk）第三代蘇丹馬利克沙（Malikshah）的邀請，西行至都城伊斯法罕（Isfaham），在那裡主持天文觀測並進行曆法改革，並受命在該城修建一座天文臺。塞爾柱人本是烏古思部落的統治家族，這個部落是居住在中亞和蒙古草原上突厥諸族的聯盟，其中的一支定居在中亞最長的河流——錫爾河（Syr Darya）下游，即今天哈薩克（Kazakhstan）境內靠近鹹海的地方，並加入了伊斯蘭教遜尼派（Sunnite）。11 世紀時他們突然離開故土，向南爾後向西，成為一個控制了從阿姆河到波斯灣，從印度河到地中海的大帝國。一個世紀以後蒙古人的遠征，無疑是受此鼓舞，他們和突厥人本是同宗，不同的是，蒙古人只有一部分皈依了伊斯蘭教。

由於塞爾柱人沒有自己的文化傳統，他們接受了轄內波斯經師們的語言，波斯文學廣為流傳，波斯的學者和藝術家也得到了尊重，這一點與馬其頓人（Macedonians）對希臘的征服如出一撤。正因為如此，海亞姆才有機會去首都。現在我們必須要說說伊斯法罕這座城市，它是今天伊朗僅次於首都德黑蘭（Tehran）的第二大城市，有一百多萬人口，以宏偉的清真寺、大廣場、水渠、林蔭道和橋樑聞名（這一景象，我於西元2004年夏末抵達時仍依稀可辨）。除了塞爾柱王朝以外，波斯帝國的國王阿拔斯一世（Abbas Ⅰ the Great）也曾定都此城，使其成為 17 世紀世界上最美麗動人的城市，擁有「伊斯法罕：世界的一半」（Esfahan is half of the world）的美譽，這一句波斯諺語流傳至今。

馬利克沙是塞爾柱王朝最著名的蘇丹，1072年，年僅 17 歲的他便繼承了王位，得到了老丞相莫爾克的鼎立輔助。馬利克沙在位期間，繼承了父親的事業，征服了上美索不達米亞（Mesopotamia）和亞塞拜然（Azerbaijan）的藩主，吞併了敘利亞和巴勒斯坦的土地，並控制了麥加、麥迪那（Medina）、葉門（Yemen）和波斯灣地區。據說他的一支軍隊抵達並控制了君士坦丁堡對岸的尼西亞（Nicaea），拜占庭帝國遂遣使向西方求救，於是才有了幾年以後十字軍的首次東征。與此同時，國內的人民安居樂業，蘇丹本人對文學、藝術和科學均表現出了極大的興趣，他廣邀並善待學者和藝術家，興辦教育、發展科學和文化事業。

在歷史學家看來，馬利克沙統治下的伊斯法罕以金光燦爛的清真寺、奧瑪‧海亞姆的詩篇，以及對曆法的改革聞名，其中後兩項皆與海亞姆直接有關。無疑這是海亞姆一生最安謐的時期，他僅擔任伊斯法罕天文臺台長就達 18 年之久。遺憾的是，到了1092年，馬利克沙的兄弟、霍拉桑總督發動了叛亂，派人謀殺了莫爾克，蘇丹隨後也在巴格達突然去世，塞爾柱王朝急劇衰退了。馬利克沙的第二任妻子接收了政權，她對海亞姆很不友善，撤銷了對天文臺的資助，曆法改革難以繼續，研究工作也被迫停止。可是，海亞姆仍留了下來，他試圖說服和等待統治者回心轉意。

大約在1096年，馬利克沙的第三個兒子桑賈爾（Sanjar）成為塞爾柱王朝的末代蘇丹，此時帝國的疆土早已經收縮，他更像是霍拉桑的君主了。儘管成年以後，桑賈爾也曾征服阿姆河和錫爾河之間的河間地帶，並到達印度邊境，但最後仍兵敗撒馬爾罕。1118年，他不得不遷都至北方的梅爾夫（Merv），那是中亞細亞的一座古城，其遺址位於今天土庫曼的省會城市馬雷（Mary）。海亞姆也隨同前往，在那裡他與他的弟子們合寫了一部著作《智慧的天平》（Balance of wisdoms），用數學方法探討如何利用金屬比重確定合金的成分，這個問題起源於阿基米德。

晚年的海亞姆獨自一人返回了故鄉納霞堡，招收了幾個弟子，並間或為宮廷預測未來事件（梅爾夫離開納霞堡不遠）。海亞姆終生未娶，既沒有子女、也沒有遺產，他逝世之後，學生將其安葬在郊外的桃樹和梨樹下。海亞姆的四行詩，在 19 世紀中葉被譯成英文以後，他以詩人的名聲傳遍了世界，至今他的《魯拜集》（Rubaiyat）已有幾十個國家的一百多種版本問世。為了紀念海亞姆，1934年多國共同集資，在他的故鄉修建了一座高大的陵墓。海亞姆紀念碑是一座結構複雜的幾何體建築，四周圍繞著八塊尖尖的菱形，菱形內部鑲嵌著伊斯蘭的美麗花紋。

二、智力的世界

海亞姆早期的數學著作已經散失，僅《算術問題》的封面和幾片殘頁保存在荷蘭的萊頓大學（Universiteit Leiden）。幸運的是，他最重要的一部著作《代數學》流傳下來了。1851年，此書被 F. 韋普克從阿拉伯文翻譯成了法文，書名叫《奧瑪．海亞姆代數學》，雖然沒趕上 12 世紀的翻譯時代，但比他的詩集《魯拜集》的英文版還是早了 8 年。1931年，在海亞姆誕辰八百周年之際，由 D. S. 凱西爾英譯的校訂本《海亞姆代數學》也由美國哥倫比亞大學（Columbia University）出版了。我們今天對海亞姆數學工作的瞭解，主要是基於這部書的譯本。

在《代數學》的開頭，海亞姆首先提到了《算術問題》裡的一些結果。「印度人有他們自己開平方、開立方的方法，……我寫過一本書，證明他們的方法是正確的。我並加以推廣，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根。這些代數的證明僅僅以《原本》裡的代數部分為依據。」這裡海亞姆提到他寫的書，應該是指《算術問題》，而《原本》即歐幾里德的《幾何原本》，這部希臘數學名著在 9 世紀就被譯成阿拉伯文，而義大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）和徐光啟合作把它部分譯成中文，已經是 17 世紀的事情了。

海亞姆所瞭解的「印度演算法」主要來源於兩部早期的阿拉伯著作《印度計算原理》（Principles of Hindu Reckoning）和《印度計算必備》（Things Sufficient to Understand Hindu Reckoning），然而，由於他早年生活在連接中亞和中國的古絲綢之路上，很可能也受到了中國數學的影響和啟發。在最遲於西元前 1 世紀就已問世的中國古代數學名著《九章算術》裡，提出了開平方和開立方的一整套法則。在現存的阿拉伯文獻中，最早系統地提出自然數開高次方一般法則的，是 13 世紀納西爾丁（Nasir al-Din al-Tusi）編撰的《算板與沙盤算術方法集成》。書中沒有說明這個方法的出處，但由於作者熟悉海亞姆的工作，因此數學史家推測，極有可能出自海亞姆。可是，由於《算術問題》失傳，這一點已無法得到證實。

海亞姆在數學上最大的成就是用圓錐曲線解三次方程，這也是中世紀阿拉伯數學家最值得稱道的工作。所謂圓錐曲線，就是我們中學學到的橢圓（包括圓）、雙曲線和拋物線，可以通過圓錐與平面相交而得。說起解三次方程，最早可追溯到古希臘的倍立方體問題，即求作一立方體，使其體積等於已知立方體的兩倍，轉化成方程就成了 x3 = 2a3。西元前 4 世紀，柏拉圖學派的梅納赫莫斯（Menaechmus）發現了圓錐曲線，將上述解方程問題轉化為求兩條拋物線的交點，或一條拋物線與一條雙曲線的交點。這類問題引起了伊斯蘭數學家極大的興趣，海亞姆的功勞在於，他考慮了三次方程的所有形式，並ㄧㄧ予以解答。

具體來說，海亞姆把三次方程分成 14 類，其中缺一、二次項的 1 類，只缺一次項或二次項的各 3 類，不缺項的 7 類，然後透過兩條圓錐曲線的交點來確定它們的根。以方程 x3 + ax = b 為例，它可以改寫成 x3 + c2 x = c2 h，在海亞姆看來，這個方程恰好是拋物線 x2 = cy 和半圓周y2 = x（h-x）交點 C（如圖）的橫坐標 x，因為從後兩式消去 y，就得到了前面的方程。不過，海亞姆在敘述這個解法時完全採用文字，沒有方程的形式，讓讀者理解起來非常不易，這也是阿拉伯數學後來難以進一步發展的原因之一。

海亞姆也嘗試過三次方程的算術（代數）解法，卻沒有成功。但他在《代數學》中預見，「對於那些不含常數項、一次項或二次項的方程，或許後人能夠給出算術解法。」五個世紀以後，三次和四次方程的一般代數解法，才由義大利數學家提出；而五次或五次以上方程的一般解法，則在 19 世紀被挪威數學家阿貝爾（Niels Henrik Abel）證明是不存在的。值得一提的是，解方程在歐洲的進展並不順利，義大利幾位數學家因為搶奪三次和四次方程的發明權鬧得不可開交，甚至到了反目成仇的地步，而阿貝爾的工作至死都沒有被同時代的數學家認可。

在幾何學領域，海亞姆也有兩項貢獻，其一是在比和比例問題上提出新的見解，其二便是對平行公理的批判性論述和論證。自從歐幾里德的《幾何原本》傳入伊斯蘭國家以後，第五公設就引起數學家們的注意。所謂第五公設是這樣一條公理，「如果一直線和兩直線相交，所構成的兩個內角之和小於兩直角，把這兩條直線延長，它們一定在那兩內角的一側相交。」無論在敘述和內容方面，這條公理都比歐氏提出的其他四條公設複雜，而且也不是那麼顯而易見，人們自然會產生證明它或用其他形式替代的欲望。18 世紀的蘇格蘭數學家普萊菲爾將其簡化為如今的形式，即過直線外一點能且只能作一條平行線與此直線平行，但仍然不那麼自明。

1077年，海亞姆在伊斯法罕撰寫了一部新書，書名就叫《辯明歐幾里德幾何公理中的難點》（Commentary on the Problematic Postulates of the Book of Euclid），他試圖用前四條公設推出第五公設。海亞姆考察了四邊形 ABCD，如圖所示，假設角 A 和角 B 均為直角，線段 CA 和 DB 長度相等。海亞姆意識到，若要推出第五公設，只需證明角 C 和角 D 均為直角。為此，他先後假設這兩個角為鈍角、銳角和直角，前兩種情況均導出矛盾。有意思的是，這種處理問題的方式與 19 世紀才誕生的非歐幾何學有著密切的聯繫。事實上，假設前兩種情況為真，就可以直接導出非歐幾何學，後者是現代數學最重要的發現之一。

遺憾的是，海亞姆並沒有意識到這一點，他的論證就註定也是有缺陷的。他所證明的是，平行公設可以用下述假設來替換：如果兩條直線越來越接近，那麼它們必定在這個方向上相交。值得一提的是，非歐幾何學發明人之一的俄國人羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）也生活在遠離西方文明的喀山（Kazan）。喀山是少數民族聚集的韃靼自治共和國的首府，與伊斯法罕同處於東經 50 度附近，只不過喀山在裏海的北面，而伊斯法罕在裏海的南面。儘管海亞姆沒有能夠證明平行公設，但他的方法透過納西爾丁的著作，影響了後來的西方數學家，其中包括 17 世紀的英國人、牛頓的前輩——沃利斯（John Wallis）。

除了數學研究以外，海亞姆在伊斯法罕還領導一批天文學家編制了天文表，並以庇護人的名字命名之，即《馬利克沙天文表》（Malik-shah Astronomical Tables），現在只有一小部分流傳下來，其中包括黃道座標表和一百顆最亮的星辰。比製作天文表更重要的是曆法改革，自西元前 1 世紀以來，波斯人便使用祆教（Zoroastrianism）（創立於西元前 7 世紀）的陽曆，將一年分成 12 月365天。阿拉伯人征服以後，被迫改用回曆，即和中國的陰曆一樣：大月 30 天，小月 29 天，全年354天。不同的是，陰曆有閏月，因而與寒暑保持一致；而回曆主要為宗教服務，每 30 年才加 11 個閏日，對農業極為不利，盛夏有時在 6 月，有時在 1 月。

馬克利沙執政時，波斯人已經重新啟用陽曆，他在伊斯法罕設立天文臺，並要求進行曆法改革。海亞姆提出，在平年365天的基礎上，33 年閏 8 日。如此一來，一年就成了365又 8 / 33天，與實際的回歸年（地球繞太陽自轉一圈所用時間）誤差不到 20 秒，即每4,460天才相差一天，比國際上現行普遍使用的西曆〔又稱格里高曆 Gregorian Calendar, 400年閏 97 日，1582年由羅馬教皇格里高利十三世（Pope Gregory XIII）頒布，但非天主教國家如英、美、俄、中等國，遲至 18、19 甚或 20 世紀才開始實行〕還要精確，後者每3 333年相差一天。特別值得注意的是，如果把回歸年的小數部分按數學的連分數展開，其漸近分數分別為

1 / 4，7 / 29，8 / 33，31 / 128，132 / 545，……

第一個分數 1 / 4 相當於四年閏一日，對應於古羅馬獨裁者凱撒（Julius Caesar）頒布的儒略曆（Julian Calendar），每128年就有一天誤差。奧瑪．開儼的曆法對應的是第三個分數，即 8 / 33。由此可見，海亞姆制訂的曆法包含了最精確的數學內涵，如果限定週期少於128年，則 33 年閏 8 日是最好可能的選擇。他以1079年 3 月 16 日為起點，取名「馬利克紀年」，可惜隨著庇護人的去世，曆法工作半途夭折了，而那個時候世界各國使用的陽曆誤差已多達十幾天了。海亞姆感到無奈，他在《魯拜集》第 57 首四行詩中發出了這樣的歎息：

啊，人們說我的推算高明

糾正了時間，把年份算準

可誰知道那只是從舊曆中消去

未卜的明天和已逝的昨日

三、精神的世界

如果海亞姆僅僅是個數學家和天文學家（據說他還精通醫術，兼任蘇丹的太醫），那他很可能不會終身獨居，雖然他的後輩同行笛卡兒、帕斯卡、史賓諾莎（Baruch Spinoza）、牛頓和萊布尼茲等也不曾結婚。這幾位西方智者在從事科學研究之餘，均把自己的精神獻給宗教或哲學。海亞姆在潛心科學王國的同時，也悄悄地把自己的思想記錄下來，但卻以詩歌的形式。不同的是，他的詩歌作品因為不合時宜，很有可能在初次展示以後便束之高閣；或者，由於他的身分是數學家和天文學家，而被人們忽略了。事實上，儘管對海亞姆創作的詩歌數量意見不一，後世學者們一致認定，他並不囿於伊斯蘭宣揚的真主創造世界這一觀點，因此，他不討正統的穆斯林喜歡。

若要談論海亞姆的詩歌，必須要先瞭解波斯的文學傳統。西元651年，阿拉伯人摧毀了古伊朗最後一個王朝——薩珊（Sassanid），把波斯置於政教合一的哈里發（Caliph）的版圖內，伊斯蘭教取代了祆教，阿拉伯語成了官方語言。但波斯民間卻產生了新的語言——現代波斯語，這是古波斯語即巴列維語（Pehlevi）的變體，經過演變，以阿拉伯字母書寫並引進了阿拉伯語辭彙。凡是運用現代波斯語進行創作的文學，就是波斯文學，波斯文學崛起的地方，正好是海亞姆的故鄉——霍拉桑。隨後，在地中海東岸、中亞細亞、高加索地區、阿富汗和北印度也相繼出現了著名的波斯語詩人和作家。

不僅如此，在被阿拉伯人占領幾個世紀以後，在遠離阿拉伯半島的地方又出現了一個波斯人的王朝——薩曼（Samanids），其疆域包括霍拉桑和河間地帶。在塞爾柱人到來之前，已經有將近兩百年的自由發展和工商業的繁榮，主要城市撒馬爾罕成為學術和詩歌、藝術的中心，另一處詩歌中心則是阿富汗北部的巴爾赫，這兩個地方恰好是海亞姆年輕時逗留過的地方。9 世紀中葉，被譽為「波斯詩歌之父」的魯達基（Rudak）出生在撒馬爾罕郊外，他年輕時四處遊歷，晚年貧窮潦倒且雙目失明，可仍活到了 90 高齡，並奠定了被稱作「霍拉桑體」的詩歌風格。

在魯達基去世前六年，霍拉桑又誕生了一位重要詩人菲爾多西（Ferdowsi），他也被波斯人認為是他們民族最偉大的詩人，其代表作是敘事詩《王書》（Shah-nameh, 完成於1010年，中譯本叫《列王紀選》）講述了從神話時代到薩珊王朝歷代皇帝的故事。將近一千年來，這部詩集被世世代代的波斯人吟詠或聆聽。《王書》具有霍拉桑詩歌的特點，即敘述簡明，用詞樸實，描述人物和環境不過多鋪墊，並絕少使用阿拉伯語彙。不過，有些西方學者們批評菲爾多西這部浩瀚的詩篇中，韻律單調枯燥，內容陳舊且不斷重複。這些人恐怕無法理解現代的伊朗人，這部書對他們就像《聖經》之於基督教徒般通俗易懂。

在菲爾多西逝世二十多年以後，海亞姆降生在霍拉桑。不過，此時他的故鄉已經在塞爾柱王朝的統治之下。如果不是在納霞堡開始他的詩人生涯，那麼至少他也應該在巴爾赫或撒馬爾罕這兩處詩歌中心萌發靈感。由於海亞姆死後半個世紀才有人提到他的詩人身分，我們對他生前的寫作狀況就無從瞭解了，只知道他寫的是無題的四行詩，這是一種由魯達基開創的詩歌形式，第一、二、四行的尾部要求押韻，類似於中國的絕句。雖然，每行詩的字數並無嚴格的要求，卻也有著「語不驚人死不休」的氣概，正如海亞姆《魯拜集》第 71 首詩中所寫的：

那揮動的手臂彈指間已完成

繼續吟哦，並非用虔誠或智慧

去引誘返回刪除那半行詩句

誰的眼淚都無法將單詞清洗

1859年，即達爾文（Charles Robert Darwin）出版《物種起源》（On the Origin of Species）那年，一個叫愛德華．菲茲傑拉德（Edward Fitzgerald）的英國人把海亞姆的 101 首詩，彙編成一本樸素的小冊子，取名《魯拜集》（Rubaiyat 在阿拉伯語裡意即四行詩），匿名發表了。那年他已經 50 歲，在文壇寂寂無名。此前，他曾嘗試將其翻譯成拉丁文，最後才決定用自己的母語。菲茲傑拉德早年就讀於劍橋大學（University of Cambridge）最負盛名的三一學院（Trinity College），與《浮華世界》作者薩克萊（William Makepeace Thackeray）結下終生的友誼，畢業後過著鄉紳生活，與丁尼生（Alfred Lord Tennyson）、卡萊爾（Thomas Carlyle）等大文豪過從甚密，對自己的寫作卻缺乏信心。中年後他才開始學習波斯語並把興趣轉向東方，譯《魯拜集》時他採用不拘泥於原文的意譯，常用自己的比喻來傳達詩人思想的實質。

從第二年開始，英國的文學同行紛紛稱讚這部譯作。詩人兼批評家史文朋（A. C. Swinburne）寫到，「菲爾茲傑拉德給了奧瑪‧海亞姆在英國最偉大詩人中間一席永久的地位」，詩人賈斯特頓（Gilbert Keith Chesterton）察覺到這本「無與倫比的」詩集的浪漫主義和經典特色，「既有飄逸的旋律又有持久的銘刻」。更有甚者，有些批評家認為這個譯本，實際上是一些有著波斯形象的英國詩，這未免誇大其詞。《大英百科全書》在菲爾茲傑拉德的條目裡，冠之以「作家」而非「翻譯家」的頭銜，其實，菲爾茲傑拉德的所有文學創作表明，他作為一個作家十分平庸，不足以收入百科全書的條目。

1924年，郭沫若率先從英文翻譯出版了《魯拜集》，依據的正是菲爾茲傑拉德的版本。從那以後，已有十多位中國詩人和學者從英文或波斯文嘗試翻譯。郭沫若把海亞姆比作波斯的李白，這是由於他們兩人都嗜酒如命。有意思的是，將近半個世紀以後，郭沫若又第一個考證出李白出生在中亞的碎葉（Suyab, 今吉爾吉斯伊塞克湖西岸的托克馬克城附近），似乎有意要讓李白與海亞姆成為鄉鄰。無論如何，郭沫若的《李白與杜甫》（1971）是文革期間中國知識分子可以閱讀的少數幾部詩學論著之一。這裡隨意錄下海亞姆的一首吟酒之詩：

來吧，且飲下這杯醇酒

趁命運未把我們逼向絕路

這乖戾的蒼天一旦下手

連口清水都不容你下喉

古人云：「仁者見仁、智者見智」。阿根廷詩人波赫士（Jorge Luis Borges）對《魯拜集》的印象是，每每「以黎明、玫瑰、夜鶯的形象開始，以夜晚和墳墓的形象結尾」。這是因為，海亞姆與波赫士一樣，也是一個耽於沉思的人。海亞姆苦於不能擺脫人間天上的究竟、生命之短促無常，以及人與神的關係這些問題。他懷疑是否有來世和地獄天堂的存在，嘲笑宗教的自以為是和學者們的迂腐，歎息人的脆弱和社會環境的惡劣。既然得不到這些問題滿意的回答，他便寄情於聲色犬馬的世俗享受。儘管如此，他仍不能迴避那些難以捉摸的根本問題。

談到「及時行樂」，英國詩人艾略特（Thomas Stearns Eliot）認為，原本它就是「歐洲文學最偉大的傳統之一」，這一主題的內涵並非只是一般意義下的消極處世態度，同時也是積極的人生哲理的探究。事實上，醇酒和美色在海亞姆詩中出現的頻率，比起放浪無羈的李白還要高，而伊斯蘭教是明令禁酒的，這大概是他的詩被同代學者斥為「色彩斑斕的、吞噬教義的毒蛇」的原因之一，在虔誠的伊斯蘭信徒眼中，他的詩都是些荒誕不經的囈語（迫於教會的壓力，他在晚年長途跋涉，遠行至伊斯蘭的聖地——麥加朝聖）。海亞姆之所以逆水行舟，其目的無非是想從無生命的物體中，探討生命之謎和存在的價值，

我把唇俯向這可憐的陶樽，

向把握生命的奧秘探詢；

樽口對我低語道：「生時飲吧！

一旦死去你將永無回程。

上個世紀初，14 歲的美國聖路易士男孩艾略特偶然讀到愛德華‧菲爾茲傑拉德的英譯本《魯拜集》，立刻就被迷住了。這位 20 世紀難得一見的大詩人後來回憶說，當他進入到這光輝燦爛的詩歌之中，那情形「簡直美極了」，自從讀了這些充滿「璀璨、甜蜜、痛苦色彩的」詩行之後，便明白了自己要成為一名詩人。同樣值得一提的是，在金庸的《倚天屠龍記》裡，女主人公小昭反復吟唱著這樣一支小曲，「來如流水兮逝如風，不知何處來兮何所終」，該曲原出海亞姆的《魯拜集》，作者添加了兩個「兮」字，便有了中國古詩的味道，而在這部中國小說的結尾，小昭被意味深長地發配去了波斯。

3. 奧瑪．海亞姆的世界

一、身體的世界

若要瞭解波斯數學家、詩人奧瑪．海亞姆的生活軌跡，我們必須先來談談他的故鄉霍拉桑（Khorasan）這個歷史地名，它的另一個中文譯名是呼羅珊，這個詞在波斯語裡的含義是「太陽之地」，意即東方。雖然霍拉桑如今只是伊朗東北部的一個省分（其省會城市馬什哈德 Mashhad，是什葉派穆斯林 Shia Islam 的朝聖之地），以製作圖案精美的手織地毯聞名。但在從前，它所包含的地域卻要寬廣許多，除了霍拉桑省以外，還包括土庫曼（Turkmenistan）南部和阿富汗（Afghanistan）北部的廣大地區；確切地說，北...

【出 版 序】

畢生對自然現象的研究有著濃厚興趣的德國大詩人歌德（Johann Wolfgang von Goethe）曾經說過，「一門科學的歷史就是這門科學本身。」本書不是關於數學的歷史，但卻通過講述數學史上一些個性鮮明的人物，揭示了數學王國裡各種奇異的珍寶、明豔的花朵和隱祕的激情。

這些偉大的數學家，有的在人文領域也有傑出貢獻，如畢達哥拉斯（Pythagoras）、奧瑪．海亞姆（Omar Khayyám）、笛卡兒（Rene Descartes）、帕斯卡（Blaise Pascal）、萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）、龐加萊（Jules Henri Poincaré），有的則其個人經歷富有傳奇色彩，如費馬（Pierre de Fermat）、牛頓（Isaac Newton）、尤拉（Leonhard Euler）、高斯（Carl Friedrich Gauss）、希爾伯特（David Hilbert）、拉曼紐揚（Srinivasa Ramanujan）。他們之中有些是思想家、文學家、詩人、音樂家、畫家，有些是政客、神職人員、法官、軍人、職員、社會青年，甚或囚犯。

經過三十年的數學理論薰陶和實踐，筆者越來越清晰地意識到，在浩瀚的數學海洋裡，一個人是如此的渺小，尤其到了抽象化的 21 世紀。幸運的是，筆者曾利用各種機會，抵達了書中每個人物曾經生活過的國度，這使得我對他們的人生軌跡有了較為清晰的認識。

許多人都聽說過，在古希臘，柏拉圖學園（Platonic Academy）的入口處寫著這樣一句話：「不懂幾何學者，請勿入內。」那時的幾何學幾乎就是數學的代名詞。但可能很少有人知道，這個學園的出口處，還寫著另一句話：「懂哲學者方能治國。」其實，本書提到的近半數數學家，他們本身就已經是很有造詣的哲學家。

遺憾的是，在當前中國社會，充斥著各種名目繁多的弄虛作假，包括學術造假，有的甚至令人怵目驚心。但在純粹數學領域，任何創造性的工作或發現都顯露在光天化日之下，難以透過人為的手段掩飾或虛構，這就把那些科學騙子或混混拒之門外。

不僅如此，數學與人文主義精神有著天然的聯繫，溫習數學先輩們的成就和教誨，常常能給我們帶來溫暖。如同拜占庭（Byzantine）哲學家普洛克羅斯（Proclus）所指出的：

數學是這樣一種東西：她提醒你，有無形的靈魂；她賦予她所發

現的真理，以生命；她喚起心神，澄清智慧；她為我們的內心思

想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。

蔡天新，杭州彩雲居

2009年3月22日



【繁體版序言】

2004年，在《數字與玫瑰》簡體版（北京三聯書店）出版一年後，繁體版即由高談文化出版公司推出。之後，此書又曾以《左手數學，右手詩》（信實文化）的面目出現。與此同時，博志文化也推出了兩卷本的拙作《漫遊，一個旅行者的詩集》和《飛行，一個詩人的旅行記》。

讓人高興的是，在首部繁體版問世剛好十周年之際，我的隨筆集《難以企及的人物——數學天空的閃爍群星》修訂版得以在臺灣面世。在此我要特別感謝兩位諾貝爾獎得主——物理學家楊振寧先生和作家莫言先生，他們獲悉修訂版即將付梓的消息，熱情地為本書撰寫了推薦語。

本書簡體版由廣西師範大學出版社和貝貝特公司製作（2009），部分篇目被譯成五、六種文字，並曾在《美國數學會會志》（Notices of Amer. Math. Soc.）等名刊發表。同時又經專業播音員朗誦，製作成配樂散文在網上播放。去年春天，她獲得了三年一度的高等學校科學研究優秀成果獎，此獎被認為是大陸文科學術的最高獎項。

另一方面，在浙江大學有關部門和同學們的支持下，以此書內容為主要依據，兼顧另兩部拙作《數學與人類文明》和《數字與玫瑰》，拍攝了十講公開課「數學傳奇」，介紹了九位偉大的數學家。有望在今年正式成為教育部精品視頻公開課，向全球華人展示，十分期待大家的批評和指正。

此次修訂，添加了《阿基米德，數學之神》、《秦九韶，道古橋和「數書九章」》和《馮．諾伊曼：因為他，世界更加美好》三篇文章。其中，南宋數學家秦九韶的道德疑案是個敏感的話題，為此花費了較多的精力。同時，我也對部分舊作進行了修潤，例如《高斯，離群索居的王子》和《數學家與政治家》。

讓我欣慰的是，通過對經典數學家的探究，提升了自己的數學眼界和想像力。過去三年來，我對一些經典數論問題作了深入研究，拓廣了諸如完美數問題、華林問題、費馬大定理、哥德巴赫猜想、同餘數等問題。其中，華林問題的研究結果被菲爾茲獎得主貝克贊為「真正原創性的貢獻」（truly original contribution）。

再來看最古老的完美數問題，尤拉給出了偶完美數的標準形式，與著名的梅森素數等價。雖然很多大數學家在這個問題上費盡腦力，我們卻幸運地率先獲得二階完美數的等價形式，它（無論奇偶）是兩個相隔一項的斐波那契素數的乘積，借此我們得到了5個完美數，其中後兩個已是天文數字。

最後我想提及的是，過去三年來，中國數學會每年都在不同城市舉辦數學文化論壇，海內外十來位同道更是不遺餘力創辦了《數學文化》季刊。如同數學王子高斯的終生好友、匈牙利數學家沃爾夫岡．鮑耶所言，「很多事物仿佛都有那麼一個時期，屆時它們在許多地方同時被人們發現了，正如在春季看到紫羅蘭處處開放一樣。」

我們期待數學文化這朵奇葩開得更加鮮豔，同時希望臺灣和海外的讀者喜歡這本書。

蔡天新，杭州西溪

2014年元月

【出 版 序】

畢生對自然現象的研究有著濃厚興趣的德國大詩人歌德（Johann Wolfgang von Goethe）曾經說過，「一門科學的歷史就是這門科學本身。」本書不是關於數學的歷史，但卻通過講述數學史上一些個性鮮明的人物，揭示了數學王國裡各種奇異的珍寶、明豔的花朵和隱祕的激情。

這些偉大的數學家，有的在人文領域也有傑出貢獻，如畢達哥拉斯（Pythagoras）、奧瑪．海亞姆（Omar Khayyám）、笛卡兒（Rene Descartes）、帕斯卡（Blaise Pascal）、萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）、龐加萊（Jules Henri Poincaré），有的則其個人經...

推薦序
出版序

1. 畢達哥拉斯之謎
2. 阿基米德：數學之神
3. 奧瑪．海亞姆的世界
4. 秦九韶，道古橋與《數書九章》
5. 隱居的法國人：笛卡兒與帕斯卡
6. 費馬最後定理
7. 牛頓在他的瘟疫時期
8. 萊布尼茲：難以企及的人物
9. 他停止了生命和計算——紀念尤拉誕辰300周年
10. 高斯：離群索居的王子——紀念《算術研究》發表200周年
11. 龐加萊：第四維、立體主義與相對論
12. 希爾伯特：一個時代的終結者
13. 拉曼紐揚：一個未成年的天才
14. 馮．諾伊曼——世界因為他更加美好
15. 黑暗時代的智慧火種
16. 從笛卡兒到龐加萊——法國數學的人文傳統
17. 數學家與詩人
18. 數學家與政治家

推薦序
出版序

1. 畢達哥拉斯之謎
2. 阿基米德：數學之神
3. 奧瑪．海亞姆的世界
4. 秦九韶，道古橋與《數書九章》
5. 隱居的法國人：笛卡兒與帕斯卡
6. 費馬最後定理
7. 牛頓在他的瘟疫時期
8. 萊布尼茲：難以企及的人物
9. 他停止了生命和計算——紀念尤拉誕辰300周年
10. 高斯：離群索居的王子——紀念《算術研究》發表200周年
11. 龐加萊：第四維、立體主義與相對論
12. 希爾伯特：一個時代的終結者
13. 拉曼紐揚：一個未成年的天才
14. 馮．諾伊曼——世界因為他更加美好
15. 黑暗時代的智慧火種
16. 從笛卡兒到龐...