◎遠超過算術

許多在現今科學與工程中使用的數學，不過只有三、四百年那麼老，有一些的年紀還小於一個世紀；然而，典型的高中課程中所包含的數學，至少都有那麼老――有些甚至已經超過兩千年了！

在現今，教導某些這麼老舊的知識並沒有錯，如同諺語所說的，如果東西沒有壞，就不要修。那些說阿拉伯語的貿易商在8、9世紀所發展的代數學（algebra﹝代數﹞這個字來自於阿拉伯文的al-jabr，意思是「還原」﹝restoration﹞或是「分開部分的重聚」﹝reunion of broken parts﹞），被用來增進他們商業交易的便利性，到如今依舊如當時一般的有用以及重要，即使今日我們可能使用可觀的電子試算表來實施運算，而不再如中世紀般用手指頭計算了。但是，隨著時間的流逝與社會的推進，在這段過程中，對新數學的需求上升，然後在適當的時候，這種需求被滿足。教育必須跟上腳步。

數學這一門學科的起源可說是來自於數目與算術的發明，這些發明據說發生在大約一萬年前，隨著貨幣的引入而發生（是的，似乎它始自於貨幣！）。

過了幾個世紀，古埃及人和巴比倫人將這門學問包括進了幾何學與三角學。在這些文明中，數學大部分是功利性的，非常像是「食譜」這類的功用（對數目或幾何圖形作這樣那樣，你就會得到答案）。

大約從西元前500年到西元300年的這一段時間，是所謂的希臘數學時期。古希臘的數學家對幾何特別高度重視，事實上，他們還以幾何的形式來對待數字，將其當成邊的度量；而當他們發現有些邊的長度沒有數可以相對應時（基本上，就是無理數的發現），他們對數目的研究大部分就停滯了下來。

事實上，是希臘人將數學帶入了研究的領域，讓數學不只是測量、數數、核算之類的技術匯集。大約西元前500年，米利都的泰利斯（Thales of Miletus）（米利都為現在土耳其的一部分）引入這樣的想法：正確地陳述的數學主張能夠藉由形式化的數理邏輯所證明。這個創見標誌著定理的誕生，現在已經成為數學的根基。這種希臘人所採取的形式化之進路，在歐幾里得的《幾何原本》出版之後達到顛峰，這本書被譽為是繼《聖經》之後流傳得最廣的一本書。

總的來說，學校數學根基在上面我所陳述的發展上，再加上兩個更進一步的進展。這兩個都來自於17世紀：微積分和機率論。實際上，沒有任何最近三百年的數學能夠進入到教室之中。然而，大部分在現今世界中使用的數學，都是近兩百年來所發展出來的，更不用說近三百年了！

就結果上來說，任一個對數學的看法侷限於學校所教授之刻板印象的人，就不會體認到數學的研究是一種茂盛的、廣泛的活動，或者接受數學以一種可觀的規模滲透到現代生活與社會的各行各業中。舉例來說，他們可能不知道在美國哪一個組織聘僱了最多的數學博士。（雖然正確的數字為官方機密，不過答案幾乎可以確定為國家安全局﹝National Security Agency﹞。這裡面大部分的數學家，他們的工作為密碼破解，讓局裡能夠讀懂那些由監視系統所攔截的加密訊息――雖然再次地國家安全局並沒有說明任何隻字片語，至少這是一般人所假設的。儘管大部分的美國人可能知道國家安全局會從事密碼破解，他們可能並不了解它需要用到數學，因此，也就不會想到國家安全局是聘僱最多頂尖數學家的組織。）

◎數學的符號

現代數學有一個面向，甚至對那些漫不經心的觀察者來說都是明顯的，那就是抽象符號的使用：代數的表徵式子，看起來複雜的公式和幾何圖形。數學家對抽象符號的依賴，是對他們所研究模式之抽象本質的一種反射。

現實世界的不同面向，需要不同形式的描述。舉例來說，研究地面的鋪設，或向某人說明如何在陌生的城鎮中找路的最適當方式為畫地圖，文字說明就沒有那麼適合。類似地，畫上加上注解的線（藍圖）則是用來呈現建築物構造的最適當方式。而音符記號則是用來將音樂表現在紙上的最適當方式。對某些抽象、形式化的模式與抽象的結構而言，最適當的描述和分析方式就是數學，以及使用數學符號、概念和程序。

舉例來說，加法的交換律能夠這樣描寫：

當兩個數相加時，它們的順序並不重要。

然而，它總是被寫成符號的形式：

m + n = n + m



儘管在這樣一個簡單的例子中，符號的表示形式沒有顯著的優勢，然而，大多數數學模式是那麼的抽象與複雜，當使用其他不是符號化的記號時，那將會繁瑣得令人望而卻步。因此，數學的發展牽涉到對抽象符號穩定增加的使用。

雖然現代形式的符號化數學之引入，一般都歸功於16世紀的法國數學家韋達（Françoise Viète），然而，代數的記號似乎最早出現在丟番圖（Diophantus）的作品中。他生活在大約西元250年左右的亞歷山卓城，他這本十三卷的書籍《數論》（Arithmetica，現僅存六卷）通常被視為是第一本代數教科書。特別的是，丟番圖使用一種特殊的符號來表示方程式中的未知數，以及未知數的次方，同時，他也用符號來表示減法以及相等。

這些日子以來，數學書籍傾向於充斥著符號，但是數學符號不代表數學，就像樂譜不代表音樂一樣。一頁的樂譜表徵了音樂的一個片段；當這些紙上的音符藉由唱出或某種樂器演奏出來時，這才是你所獲得的音樂本身。音樂要在它的表演中才會活躍起來，然後成為我們經驗的一部分。音樂不存在於印刷的頁面上，而是存在於我們的心靈之中。數學也是如此。在頁面上的符號僅是數學的表徵而已，當一個勝任的表演者（在此例子中，就是某個在數學中受過訓練的人）來解讀時，這些在印刷頁面上的符號才會活躍起來――數學在讀者的心靈中生活與呼吸，就像是某種抽象的交響曲一樣。

再重複一次，使用抽象符號的理由，是因為那些藉由數學來幫助我們辨別與研究的模式之抽象本質使然。譬如，數學對於我們去了解這個宇宙上看不見的模式而言是必要的。在1623年，伽利略寫道：

自然這本偉大之書只能被那些了解它所用來書寫之語言的人解讀。這個語言就是數學。

事實上，唯有透過數學這個鏡片，物理學才能被正確地作為一個領域來描述。

再舉一個例子，作為應用數學去制訂與理解物理定律的結果，現在我們迎來了空中旅行。當一架噴射飛機在頭頂上空飛行的時候，你並沒有看到有任何東西撐住它。只有透過數學，我們才能「看見」將它支撐在高空之中的隱形力量。在此例子中，這些力量由牛頓於17世紀所確定，他也發展出研究它們所需的數學，雖然當科技發展到我們真正能用到牛頓的數學（藉由這段時間額外發展的數學而增進不少）來建造飛機時，已經過了好幾個世紀了。這只是我最喜愛的模因（meme）中的眾多說明例之一，用來描述數學到底是什麼：數學讓看不見的得以被看見。

◎語言精確化

美國黑色素瘤基金會（American Melanoma Foundation）在2009年資料簡報中寫道：

幾乎每一小時內，某個美國人死於黑色素瘤。

（One American dies of melanoma almost every hour.）

對一個數學家而言，這類聲稱必然會令人感到啼笑皆非，有時也會感到無奈。這並不是因為數學家對於生命悲劇地消逝缺乏同情心，而是假使你逐字地檢視該句子，它完全沒有表達出美國黑色素瘤基金會所要傳達的訊息。該句子真正說的是，幾乎每小時，存在一個美國人（某人X），很不幸地死於黑色素瘤――但也沒有提到這個人具有不斷復活的驚人能力。而美國黑色素瘤基金會的這位撰文者應該寫的是：

幾乎每一小時內，就有一位美國人死於黑色素瘤。

（Almost every hour, an American dies of melanoma.）

這類語言上的誤用時常可見，多到讓人習以為常，而無法發現這些語言上的謬誤。相信每一個閱讀了上述第一個句子的人，大多能捕捉到第二個句子所要傳達的意思。而這類句子往往也成為演說場合中的一環。除了數學家，以及其他一些在其專業領域中需要精確地使用語言的人之外，一般人即使仔細地逐字檢視，也很難注意到第一個句子當中所傳達的荒謬聲稱。

當作者與演講者在日常生活的脈絡中，使用語言談論每天的事件時，他們的讀者與聽眾，幾乎都掌握了關於這個世界的相同知識（特別是關於所寫的文字與所說的話），而這些共同的知識決定了所接收訊息的意義。但是，當數學家（與科學家）在他們的工作場合中使用語言時，通常極其有限地，甚至完全無法存在相同的背景知識可共享（每個人都從事於與發現有關的研究歷程之中）。再者，數學上，對於精確性的需求更顯重要，於是乎，當數學家在研究過程中使用語言時，他們依賴著字面上的意思，而這指的當然是，他們必須確實掌握他們所寫與所說文句的意義。

顯而易見地，在我們證明一個敘述是否為真之前，我們必須先精確地理解該敘述的意思為何。數學是非常強調精確的學科，精確地表達更是不可或缺，然而這一切並非易事，因為文字總是充滿含糊不清，同時生活中的語言亦罕見精確。

特別地，當我們日復一日地使用語言時，我們經常依賴著脈絡來決定文字所傳達之意。美國人可以深信不疑地說道：「7月是夏天的月分」，但這如果是出自於澳洲人之口將會是錯的。「夏天」這個詞在兩人的敘述句之中，意思相同（意指一年之中最熱的三個月分），但是它在美國指的是一年之中的某些時段，在澳洲指的卻是不同的時段。

我們再來看看另一個例子，在「小老鼠」與「小象」這兩個詞裡面的「小」字指的其實是不同的事。大部分的人會同意小老鼠是一隻小動物，但並不認為小象是一隻小動物。「小」這個字的意涵，必須取決於它所指涉的實體。

在我們每天的生活中，我們往往利用情境中的資訊，以及自己對於周遭世界和生活經驗的了解，填補了語言或文字中的遺漏訊息，並且忽略了導因於含糊不清而得到的種種錯誤詮釋。

舉例來說，我們必須對於情境有所了解，才能正確理解如下敘述：

The man saw the woman with a telescope.

到底是誰拿著望遠鏡，是男人或者女人呢？〔譯按：從字面上的解讀來看，此句話可有兩種解讀方式：1.男人拿著望遠鏡看女人。2.男人看見那個拿著望遠鏡的女人〕

報紙上模稜兩可的標題――通常標題都是趕忙間所下的――往往會導致讓人意想不到，卻又使人啼笑皆非的第二種解讀方式。在這一年裡所出現的許多例子當中，我最喜歡的有：

․經過十年後，姐妹們在Safeway的收銀台重逢。

（Sisters reunited after ten years in checkout line at Safeway.）

〔譯按：本句當中的Safeway是一家連鎖店的名字，此一英文單字也是某種保險套的品名〕

․娼妓求助於教皇。

（Prostitutes appeal to the Pope.）

〔譯按：本句當中的appeal有「迎合愛好、富吸引力」的意思，故就英文來看，本句也可翻成：「娼妓迎合教皇的心意」〕

․商業街上出現大洞，市政當局深入勘查。

（Large hole appears in High Street. City authorities are looking into it.）

․市長呼籲巴士乘客應該繫上安全帶。

（Mayor says bus passengers should be belted.）

〔譯按：本句當中的belted也有「用皮帶抽打或狠揍」的意思，故就英文來看，本句也可翻成：「市長呼籲巴士乘客應該被用皮帶抽打」或「市長呼籲巴士乘客應該被狠揍」〕

想要系統性地使得英文更精確（藉由精確地定義每個字的意思），是一項不可能的任務。並且由於人們通常在依賴了脈絡與背景相關的知識後，便可以有效溝通，也使得上述工作顯得沒有必要。

但是，在數學上，一切變得完全不同。為了消弭語言的模稜兩可，精確性是重要的，同時，我們也不能假設所有數學實作者都具備相同的脈絡與背景知識。再者，因為在科學與工程學的領域裡，慣常地使用數學的研究成果，因此，使用了模稜兩可的語言造成溝通上的困難，其代價可能相當高，甚至有時是事關人命。



◎習題

1.官方文件中，經常包含許多空白頁，頁面底下寫著這句話：

此頁留白

這個敘述句是否為真呢？留下這樣的句子，其目的何在？要如何改寫，才能避免任何涉及真假的邏輯問題？（再一次地，在日常工作場合的脈絡裡，人們了解這句話的目的，所以不會產生問題。然而，在20世紀初期的數學研究上，出現類似的句子卻摧毀了一位傑出數學家的卓越研究成果，並導致數學領域產生的全面性重大改革。）

2. 下列哪一句話成立的可能性比較高？

(a) 愛莉絲是搖滾巨星且她在一間銀行工作。

(b) 愛莉絲是安靜的且她在一間銀行工作。

(c) 愛莉絲是安靜的且她沉默寡言且她在一間銀行工作。

(d) 愛莉絲是誠實的且她在一間銀行工作。

(e) 愛莉絲在一間銀行工作。

如果你認為這沒有標準答案，也請照實回答。

3. 「所有的外國車都造得很差」這個敘述的否定敘述是什麼呢？它是下列敘述的其中之一嗎？

(a) 所有的外國車都造得很好。

(b) 所有的外國車都不是造得很差。

(c) 至少一輛外國車造得很好。

(d) 至少一輛外國車不是造得很差。

4. 下面的謎題係心理學家瓦森（Peter Wason）在1966年提出，是推論心理學最著名的測驗問題之一。大部分的人都答錯了。（所以你必須小心！）

四張卡片放在你面前的桌子上，你被告知每一張卡片的其中一面都印有一個英文字母，而另一面則印上一個數字，但是你只能看到每張卡片的其中一面。而你看到的如下：

B E 4 7

現在又告訴你，你所看到的這些卡片滿足下述規則：「如果其中一面是一個母音，那麼另一面會是奇數。」當你要驗證是否真的滿足此規則時，哪一張數字卡片是你最後必須翻開來檢查的？又哪一張卡片是你必須翻過來檢查的呢？

5. 你負責管理一個有著許多年輕人的派對。有些人喝酒，其他人喝軟性飲料。有些人已達可以喝酒的法定年齡，有些人年紀未達。你必須負責確認沒有人違反飲酒相關法規，所以你要求每個人將自己的身分證放在桌上。某桌有四個年輕人，其中一人點了一杯啤酒，另有一人點可樂，但是他們的身分證正面都朝下，所以你無法看見他們的年紀。但是，你可以看見另外兩個人身分證上的年紀，其中一人尚未達可飲酒的法定年齡，而另一個人已達飲酒年齡。不幸的是，你無法確定他們正在喝的是七喜或伏特加。問題來了，你需要確認哪一張身分證或是哪一杯飲料，才能確定沒有人違法呢？

◎遠超過算術

許多在現今科學與工程中使用的數學，不過只有三、四百年那麼老，有一些的年紀還小於一個世紀；然而，典型的高中課程中所包含的數學，至少都有那麼老――有些甚至已經超過兩千年了！

在現今，教導某些這麼老舊的知識並沒有錯，如同諺語所說的，如果東西沒有壞，就不要修。那些說阿拉伯語的貿易商在8、9世紀所發展的代數學（algebra﹝代數﹞這個字來自於阿拉伯文的al-jabr，意思是「還原」﹝restoration﹞或是「分開部分的重聚」﹝reunion of broken parts﹞），被用來增進他們商業交易的便利性，到如今依舊如當時一般的有用以...

導讀 洪萬生
序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞：且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明？
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄：集合論

索引

導讀 洪萬生
序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞：且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明？
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄：集合論

索引