第8章　多變數函數，及它們的偏導數

8.5　偏導數

你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。

怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。

你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩縫裡的帶環鋼釘上，而繩索的另一端，則掌握在芬蘭籍隊長的手中。他這時正拚命向你打手勢，並且用你壓根兒聽不懂的芬蘭話向你猛喊；似乎從這次探險一開始，你對他的唯一印象，就是見他拚命向你打手勢，並且用你聽不懂的芬蘭話向你猛喊。

這時候風愈刮愈大，氣溫也似乎在疾速下降，你不由得再一次自問，明明可以無憂無慮的躺在游泳池面上，啜飲著熱帶果汁，幹嘛要發神經參加什麼高山探險隊？ 你猜測，也許這位芬蘭隊長看時候不早，應該轉回基地營區，喝杯熱可可加上軟棉糖，以禦寒氣，所以你自以為是的向東跨出一小步。哪裡知道你這一腳踩了個空，因為在你所踏出的方向，根本沒有落腳處：下一個落腳處是在負z方向的200英尺外！

幸好你頭頂上的鋼釘沒有鬆脫，你才沒摔下去，結果整個人懸在半空中。這時你的芬蘭隊長喊聲更急促響亮，同時死命的拽住繩索，額頭上的青筋都冒了出來。 當然，剛才這幕驚險鏡頭之所以發生，問題出在山峰的東側坡度太陡。你定了定神，然後拿出吃奶的力氣，好不容易才收回了你那隻差一點造成千古恨的腳。

驚魂甫定，仔細向下看清楚之後，你這才發現芬蘭隊長的手勢，原來是在叫你向正北方移動前進，因為那一側的坡度沒那麼大，一步跨出去，只不過向負z軸方向踏出2英尺而已。 這讓你思想起大學時代修過的多變數微積分。你記起了，當你在三維空間曲面上的一點，就跟你現在站在山腰上的情形一樣，你周圍有不只一個斜率。

事實上，不管你面朝任何一個方向，都可能有一個不同的斜率，也就是在該方向上的切線的斜率。 假設這座山的表面，可由函數z = f(x, y)的圖形來表示，其中的正x軸指向正東方，而正y軸指向正北方（如圖8.13）。

剛才的那幕驚魂記，就相當於x方向上的切線斜率很大，而且為負值，約為－200，因為落差有200英尺；至於正y方向（亦即正北方）上的切線斜率，雖然也是負值，但是沒那麼陡，大約為 －2，因為落差僅2英尺。

你仍然記得，你的微積分老師（那個看起來不太愛乾淨的傢伙）曾經告訴過你們，函數f對x的偏微分，就是它在x方向的切線的斜率。

你還記得當時不太瞭解他的意思，於是發問道：「對不起，教授！x方向哪有什麼切線？x方向不是水平的嗎？切線不都是傾斜的嗎？」（多有趣啊，每當你的生命面臨危險時，你常會突然記起一些毫不相干的往事。） 於是，你的教授丟過來一個非常不屑的眼神，然後說：「你聽好，我的意思是你得取一個通過所求的那一點、且跟xz平面平行的平面，然後在該平面上取這個曲面的切線。」接著他就在黑板上畫了一個像圖8.14的圖形。

「我懂了！」你跟著說道：「如此一來，我們就可以用平面上求導數的同樣方法，去計算它的導數了。」於是你也走上講台，在黑板上畫了一個像圖8.15的圖形。 他見你如此舉一反三，立刻衝著你露齒一笑，只是露出的兩顆門牙還真是難看透頂。即使如此，你對他馬上產生了不少好感，心裡還打算也許就此轉系，主修數學。

第8章　多變數函數，及它們的偏導數

8.5　偏導數

你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。

怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。

你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩...

本書是《微積分之屠龍寶刀》的續篇，讀者是已經修過至少一學期微積分的學生，書裡的內容包含了微積分剩下的部分中，所有你需要知道的素材，諸如多變數微積分，以及序列與級數。為什麼我們要寫這第二本書呢？主要原因是，在《微積分之屠龍寶刀》出版之後，我們收到了無數正面回響的信件，得到廣大讀者的鼓舞。

以下是其中一封來信：

親愛的三位數學怪胎：

誰想得到你們三個滿腦子數學的鴨蛋頭，居然會寫出一本讓我欣賞的書？

你們的《微積分之屠龍寶刀》真是寫得很棒，完全轉變了我對數學的觀感。為了讓自己有更多時間做數學習題，我已經毅然決然辭去了兄弟會的「整人組」組長一職，我甚至正在認真考量，是否也應該一併戒掉啤酒。

之所以遲遲未做決定，原因是一旦戒了酒，我這兄弟會自然就待不下去啦。不過現在想想，即使離開兄弟會，也沒啥大不了！自從你們的書讓我開了眼界，看到數學真實、美好的一面之後，我對人類的各種創新努力，重新產生了敬意，也不再貿然輕視我們這個多元社會裡的每一個人。

換言之，我不再以貌取人；以前我認為，怪胎不可能有啥能耐跟內涵，現在我終於了解到，外形上的特質不足以反映出內在的巨大創新潛力。為此，我要謝謝你們改變了我的一生。我現在已下定決心，今後要貢獻棉薄之力，掃除社會上跟昨日之我相同的無知偏見。

不過我也知道，無論我如何努力，成效遠不如你們透過著書立說，匡正社會陋習的偉大貢獻。你們真了不起，我將永遠感謝你們。如果你們認為我有任何幫得上忙的地方，不管是人事上還是財務上，千萬別客氣，儘管吩咐。

莊孝維　謹上

P.S.：我只是在希望跟祈禱，你們能考慮為《微積分之屠龍寶刀》寫一本續集，寫完該書尚未提到的部分，包括序列、級數及多變數微積分等等。

好啦好啦！算你厲害，居然給你猜中了，這封信不是真的，而是我們杜撰出來的。不過，信中流露的感情卻是千真萬確的。在一個又一個郵包的來信裡，雖說每位讀者的表達方式不盡相同，但對《微積分之屠龍寶刀》的讚譽，卻是異口同聲，讓我們大大感動。

如果你現在正在書店裡翻閱這本書，你大概是：

剛修過初等微積分，使用過我們的《微積分之屠龍寶刀》，而且順利拿到高分。那麼你還在猶疑什麼？已經證明有幫助了，不是嗎？

剛修過初等微積分，但沒有讀到我們的前一本書，結果成績很差。顯然，你應該即刻買下這本書，以便亡羊補牢。順便把第一本也一併買下，保證有益無害。並沒有買過我們的第一本書，而你也獲得了高分。恭喜你，你真是不簡單，這證明了你的天資跟努力都具有相當水準。但是你有沒有仔細想一想，你是不是因為運氣好，才拿到高分？奉勸你趕快買下這本書，好大幅提高勝算。

的確買了我們的第一本書，學期結束時卻沒能獲得高分。難道是我們忘了告訴你，即使有了那本書，你還是必須上課聽講，考試時也不能缺席？

我們實在不願意想到或看到，你站在書店壅塞的走道上讀這本書，身旁人來人往，而你連個坐下伸個腿的地方都沒有。要是你現在就把書買回家，待會兒你就可以啜著冷飲，舒舒服服的坐下來，仔細閱讀你剛買的新書。這豈不是一大樂事？

在這本書中，我們將不再重複告訴你如何選任課老師、如何有效學習微積分等等（不過，我們希望這兩本書能夠並排擺在你的書架上，隨時供你參考），在你使用這《微積分之倚天寶劍》時，那些忠告一樣用得著。

這本書的目的，是在向你講解微積分後半部的一些專題，而不是要取代你現有的教科書。事實上，它也無法取代教科書，原因是份量不夠重。但是，這本書足以讓你明白，微積分這門課究竟在搞些什麼。所以你就放心讀吧，希望你讀得開心！

P.S.：不妨上網瀏覽我們的網站howtoace.com，你會看到許多幫助你拿高分的資訊，包括考古題網頁的連結、數學笑話，以及進一步的講解等等。

本書是《微積分之屠龍寶刀》的續篇，讀者是已經修過至少一學期微積分的學生，書裡的內容包含了微積分剩下的部分中，所有你需要知道的素材，諸如多變數微積分，以及序列與級數。為什麼我們要寫這第二本書呢？主要原因是，在《微積分之屠龍寶刀》出版之後，我們收到了無數正面回響的信件，得到廣大讀者的鼓舞。

以下是其中一封來信：

親愛的三位數學怪胎：

誰想得到你們三個滿腦子數學的鴨蛋頭，居然會寫出一本讓我欣賞的書？

你們的《微積分之屠龍寶刀》真是寫得很棒，完全轉變了我對數學的觀感。為了讓自己有更多時間做數學習題，我已經...