第1章 賽局與真實世界

許多年前我買了一本賽局理論的教科書，當時我還沒聽說過這個理論，所以我覺得被騙了。我本來以為內容會很有趣，以為它會教我使用最佳策略，幫助我在打撲克牌、玩雙陸棋和大富翁時獲勝。我想要的是有趣的分析，透過一些不為人知的數學技巧來玩遊戲（games）。最好還要有指南，教我如何自創有趣的桌遊。結果書裡是一大堆根本沒人玩過的「賽局」（games），還有一些結果的表格，並沒有給我任何指南，而是顯示出有多不可能得出實用的結果，其中還穿插一大堆繁雜的數學公式。但是當我愈研究賽局理論，它看起來就愈像我最喜歡的經典科幻小說。

艾薩克．艾西莫夫（Isaac Asimov）在1950年代的《基地》（Foundation）系列小說（已於2021年拍攝成電視影集）中，杜撰一個「心理史學」（psychohistory）的概念。這是一個想像的數學機制，可以根據對人類心理學和群眾行為的了解來預測未來。但是實際上從沒有心理史學這個東西。民調專家收集大量的資料以預測選舉或英國脫歐的結果，卻總是預測失準，顯示了人類是個過於複雜的體系，無法用數學計算出可靠的預測結果。但是賽局理論的確實現了心理史學可能達成的事，利用物理學的標準方法：建模。

物理學使用的數學模型，將複雜的系統變成比較簡單的、物體與其交互作用的組合。系統混亂的部分通常會被忽略（你會注意到這正在發生）。舉例來說，我們所熟悉的牛頓運動定律，乍看之下並沒有把真實世界的情況描述得很清楚。第一定律說，動者恆動，除非有外力介入干預。在日常生活的經驗中，這些外力──例如摩擦力和空氣阻力──是無所不在的，但是為了方便起見，模型通常會忽略這些事，因為這些會使模型變複雜，而且很難一一納入考量。這表示模型並沒有反應出真實的情況──若沒有摩擦力和空氣阻力，當你在一個平面上推一顆球，它就會永遠往前滾個不停。但是簡化事情使得計算比較簡單而容易管理，而且近似於真實情況。同樣的，賽局理論使用數學模型來盡可能簡化人類的互動和決定，以幫助我們了解這些流程。

賽局理論始於數學領域中或然率的研究，以設法解決博奕遊戲和其他結果依隨機來源而定的休閒活動，例如擲骰子或硬幣。然而，二十世紀上半葉，有一小群人和美國半官方組織，開始將博奕的基本數學應用在問題決策上，包括經濟學以及贏得核武戰爭的最佳策略。

以「賽局理論」（Game theory）為名所發展出的這個領域，後來變得與遊戲（game）無關，而是關於策略──根據兩人或更多參與者所得到的選擇，最佳的致勝策略為何。賽局的遊戲從消遣變成非常嚴肅的事。這個轉變實在太大，以致於研究賽局理論的人忽略世人所認為的遊戲。但我認為這是錯的。真實的遊戲仍是賽局理論連續體的一部分──只不過許多我們所熟悉的遊戲從賽局理論的角度來看並不有趣，可能是因為這類遊戲太過依賴隨機的運氣、沒有策略可言，或是因為太過複雜而無法發展出策略。

「策略」一詞值得我們在此花點時間討論，因為這個詞經常被誤用，而策略一詞在賽局理論中有其專業的意義。策略就是達成某個目標的計畫。然而，正如威廉斯（J.D. Williams）在1960年代出版的易讀著作《完全策略分析師》（The Compleat Strategyst）中所指出，策略「指的是任何完整的計畫」。在一般的使用上，策略通常是達成某件事的最佳方法。但是在賽局理論中，策略是用於玩遊戲的任何完整的計畫，不論這個計畫是好或是壞。以西洋棋為例，你的策略可能是只移動棋盤上最靠近左下角的棋子。這樣的策略幾乎可以肯定必輸，但在賽局理論中，這仍被認為是個策略。

更早期賽局理論的發展是為了處理當兩個參與者正面交鋒，必有一贏一輸的情況。例如，美國的軍事策略所面對的情況，將賽局理論應用在核戰上，以及當核戰爆發時，應該後發反應還是先發制人（但結果可以說是雙輸，而非一贏一輸）。但是近年來賽局理論最重要的影響，在於設計特別的機制以進行頻譜的拍賣。

拍賣頻譜

「頻譜」（spectrum，英文其中一義為「光譜」）這個詞暗示著這些拍賣似乎和販賣許多顏色有關，但是這裡是指電磁波譜：不是可見光，而是可用的無線電頻率區段，通常是行動電話和無線網路。

過去無線電頻寬主要是用於播送廣播和電視，使用相對少量的發送器傳送訊號至許多接收器。由於不同發送器與應用程式之間的重疊，以及早期所使用的技術較簡陋，所以分配給廣電業者的頻寬很廣。

而無線電的定義也很寬鬆。電磁波譜是由頻率或波長來劃分的。波長就是在波行進的重複週期中，同相位的兩點之間的距離。頻率是波在一秒內的完整週期數。

整個電磁波譜──包括無線電、微波、紅外線、可見光、紫外線、X光以及伽馬射線（gamma ray）──其頻率從幾赫茲（hertz，每秒的週期）到幾艾赫茲（exahertz，一百萬兆赫茲）不等。相等的波長從數十萬公里到幾皮米（一兆分之一公尺）不等。

無線電位於這個波譜的最底部，頻率最低、波長最長，波長最高可達一公分，頻率為數百千兆赫茲（gigahertz，一千兆赫茲相當於十億赫茲），但是在無線電範圍最頂端的訊號，通常被稱為微波，最早使用於通訊和雷達，現在也使用於微波爐。

我們之所以需要盡可能運用每一點無線電頻譜，是因為兩種應用領域的成長──行動電話和無線網路。全世界擁有行動電話的人數爆增，在1990年代，全世界只有百分之五的人能使用行動電話。到了2015年，已經超過了百分之一百。好像只有運動員和電視比賽節目的參賽者才會說出超過百分之百這種數據，但是這所反映的是，現在許多國家的行動用戶超過其國家的人口數，原因有兩個，許多人擁有多部行動電話，以及其他裝置也要使用行動數據。

到了更近期，使用無線網路連接裝置至網際網路的情況已經無所不在，與此同時眾多的手機仍繼續使用愈來愈多無線頻率的頻寬。頻寬是指無線播送所使用的頻率範圍或波長。裝置需要存取的資料愈多，頻寬要求就愈大。由於智慧型手機技術改變了行動電話，從原本簡單的通訊裝置到現在成為強大的口袋型電腦，這些裝置也開始使用高頻寬資料流以串流播放視訊，以及執行其他資料密集的工作。因為有這樣的需要，網路連線從3G（第三代）快速轉為4G，到了現在已經有了5G連線，實現了過去只有光纖固網才能達到的傳輸速度。

與此同時，電視以前都是占用無線電頻寬最大的消費者，現在也在經歷兩部分的革命。第一個是從類比訊號走向數位訊號。數位頻道所占的頻寬比類比訊號頻道少得多，因為在傳輸前已先進行壓縮，所以可能釋放出更多頻率給行動數據使用。電視另一個階段的轉變雖然才剛要開始造成重大的影響，但卻會永遠改變我們的觀賞習慣，那就是從播送轉為串流。現在已經有相當比例的人口透過網路觀看大部分的電視節目。遲早有一天，所有電視節目都將以這種方式觀賞，而電視所占的頻寬將會被釋出。

用頻寬來賺錢

美國將部分電視頻譜轉為使用於行動裝置的過程，就是一個很戲劇性的例子，描繪政府大賺一筆的過程中，賽局理論所扮演的重要角色。

2017年，美國監管電信通訊的聯邦通訊委員會（Federal Communications Commission，FCC）發現，可以將許多電視台的頻率重新洗牌，然後釋放一些頻寬給行動數據。他們主要的對象是600兆赫（MHz）電視頻帶中的最高端，傳統上稱為超高頻（ultra-high frequency，UHF）。結果證實這個區的頻率最好，因為正好銜接現有行動電話頻譜，範圍夠廣，而且能有效穿透建築牆面，這對行動訊號來說非常重要。

執行這個任務的技術團隊面臨兩個挑戰：確保仍能滿足電視訊號的需求，但可能要用不同的頻率；以及從想要得到執照以使用更多頻寬提供服務的電信商手中賺到最多的獲利。

電視頻道分配最佳化使用一種複雜的數學演算法，但是從賽局理論的角度來看，這個過程比較有趣的部分則是分配執照給行動電話營運商的機制。聯邦通訊委員會使用一種古老的機制，將東西銷售給多個競爭者，那就是拍賣──而且還加入使用賽局理論設計出來的新花招。

還記得賽局理論不只是玩傳統的遊戲而已──這是在有對手的情況下，用來設計策略和決策的機制。參與競標正是賽局理論適合處理的程序：競標者是遊戲中互相競爭的「玩家」，在這個例子中，獎勵是取得頻寬。策略有多有效，通常要視我們對於對手想要什麼及其策略的所知而定。可取得的資訊量對遊戲的玩法很重要，而這就是複雜的拍賣設計的核心。先了解一個顯然很簡單，而且對賽局理論的發展有影響的遊戲──撲克牌，將有助於我們理解拍賣是如何進行的。

資訊與遊戲

如果你和我一樣不玩撲克牌，你可能會對我剛才說撲克牌很簡單感到很意外，因為要記住每一手牌的優先順序有點複雜。然而因為有這些規則，所以遊戲很簡單──掌握價值較高的牌就是贏家。

不同於大部分的牌局遊戲，撲克牌有不同的形式。有些稱為「聽牌」，玩家的牌面朝下。玩家得到對手的牌花色大小唯一的資訊，來自於各玩家下注的方式，以及任何可以從對方言談和肢體語言中推敲出來的訊息。但是其他形式中，例如梭哈撲克（stud poker，玩家拿到的牌有些是牌面向上）和德州撲克（Texas hold ’em，桌面上翻開來的牌都算在每一位玩家的手中），可以讓玩家大略知道對手有哪些選擇。

我們來想像一下，假設每一手牌的每一張牌都是牌面向上的。那就不算是遊戲了，因為每個人都非常清楚其他玩家手上的牌，因此就會知道別人可能會怎麼做（只有笨蛋才會不知道）。可得的資訊多寡，對玩家發展適當策略的能力會有很大的影響。

我們傾向把拍賣想像成一個市場，但拍賣的力量就像分享資訊的機制，曝露出拍賣這場遊戲的玩家（出價者）的喜好，顯示他們願意付出多少以得到某個結果。除非他們玩過頭而失去理智，否則遊戲的玩家不會出價高於他們認為的價值。這就是重要的資訊，因為一開始沒有人知道一個東西的價值。我們已經習慣了物品有定價，但這是個武斷的標準。實際上，某個特價品的價值就是有人願意支付的價格。如果要定價，賣方就只能猜測應該定多少價格，然後看看有沒有人要買。但是拍賣則是個方法，以決定物品對參與者來說價值是多少。

在2017年美國的頻譜拍賣過程中，拍賣的賽局實力是雙重的，第一是電視台，然後是行動電話網路。第一階段是利用拍賣來看電視台認為頻寬的價值多少。電視公司會收到一筆錢以釋出他們的部分頻率，然後移到新的頻道。這種拍賣涉及一種稱為反向拍賣（reverse auction）的機制，不同於傳統的拍賣方式，反向拍賣只有一個買家，卻有多個賣家。每一個電視台都會收到針對他們情況所提出的價格。牛津郡哈威爾村（Harwell）的史密斯學院院長羅柏．李斯（Robert Lees）參與設計聯邦通訊委員會的拍賣流程，他寫道：「初始級別的設定考量到每個電視台的播放區域和人口。所以，服務都會區較多人口的電視台，在反向拍賣時會收到較高的初始價。另一個考量點是，設定的價格水準必須具有足夠的吸引力，以鼓勵更多電視台參與。」

如果電視台接受出價，就留在拍賣中。如果拒絕，就退出拍賣並保留他們現有的頻寬，但是必須移動到新的頻道而且不會收到補償金（電視台搬移頻道必須自己花錢，因為他們必須更換播送的設備和重新調整客戶的電視）。到了下一回合價格會降低，然後整個過程再進行一次。到最後沒有新的頻道可以移。此時拍賣就停止，如果還有足夠的資金，剩下的電視台會收到最後拍賣的金額，以放棄他們的頻寬。

當所需的頻寬量釋出後，第二種拍賣類型，也就是比較傳統的「正向」拍賣就在聯邦通訊委員會和行動網路商之間開始了。釋出的頻寬區段會有一個起始價，任何準備支付這個起始價的人就進入拍賣。然後價格會提高，當價格競標得過高，參與者就會退出，直到頻寬被分配給最後一個參與者。

這不是結束，因為競標可能會太早結束而無法支付釋出的電視頻道。如果發生這種情況，那麼拍賣就會停止，並且以較少量的頻寬重新開始拍賣，直到拍賣成功為止。以前也有多次頻譜拍賣，但是這次拍賣的獨特之處在於，這是雙向拍賣。行動電話營運商很熟悉拍賣的流程，但是對電視公司來說卻是全新的方式。

根據羅柏．李斯的說法：「聯邦通訊委員會花了很多時間確保電視公司了解拍賣流程，而且他們擔心的所有事都會解決。拍賣的設計重點之一就是，電視台的參與應該要盡可能簡單。他們從未被要求一次要選擇三個以上的選項。另一個重點就是，電視台可以隨時自由退出拍賣流程（或是一開始就不要參與），而且他們可以放心，拍賣結束後干擾的情況不會比拍賣前的情況糟。」

因為令人意外的是，拍賣很容易出差錯，所以賽局理論對這種拍賣的設計很重要。我們將在第6章中看到，沒有事先預期競標者的策略，使得一些頻譜拍賣變成一場災難。然而以2017年聯邦通訊委員會的案例來說，這場拍賣募集了100億美元支付給電視業，讓他們釋出頻寬，而美國政府也賺進超過70億美元。

我們將看到賽局理論的發展歷程──以及電腦可以重複玩賽局而使賽局理論得以繼續發展──但是要了解賽局理論的基礎，我們必須回到過去，找出第一個以數學解釋的機率遊戲。

第1章 賽局與真實世界

許多年前我買了一本賽局理論的教科書，當時我還沒聽說過這個理論，所以我覺得被騙了。我本來以為內容會很有趣，以為它會教我使用最佳策略，幫助我在打撲克牌、玩雙陸棋和大富翁時獲勝。我想要的是有趣的分析，透過一些不為人知的數學技巧來玩遊戲（games）。最好還要有指南，教我如何自創有趣的桌遊。結果書裡是一大堆根本沒人玩過的「賽局」（games），還有一些結果的表格，並沒有給我任何指南，而是顯示出有多不可能得出實用的結果，其中還穿插一大堆繁雜的數學公式。但是當我愈研究賽局理論，它看起來就愈像我最...

致謝

第1章　賽局理論與真實世界
拍賣頻譜／用頻寬來賺錢／資訊與遊戲

第2章　下注
隱藏的策略／價值有多少？／絕對不能輸／雙陸棋／更進一步／圍棋進階／一種不同的遊戲

第3章　馮紐曼的賽局
理性是什麼？／複雜與混沌／為什麼需要數學？／零和與雙贏／大中取小／混合一下／樹狀圖／射門得分！／混合局大師／防線／漢堡或冰淇淋？／這是真的嗎？／機率為何？／討價還價的夢魘／抽數字／最知名的賽局／邁向「瘋狂」

第4章　達到均衡
約翰．納許／多個納許均衡／懦夫賽局／頻寬的兩難／強迫合作／疫苗賽局／拿去，不要拉倒／追求公益／超過2×2／剪刀、石頭、布／預期對手的行動／我想你是對的

第5章　如果一開始不成功
無限循環／零和思維／「嚴酷」與懲罰／非天擇／從結果往前推論／諷刺的加油案例／你告訴我，我就告訴你／回到瘋狂的相互保證毀滅／賽局理論聖經／紐康姆混合一切／情境很重要／你知道他們知道的事嗎？／血腥的賽局

第6章　第一次喊價，第二次喊價……
競標必勝／知識的光譜／投標報價／完善的規定／封閉式的真相／與賭徒鬥智／邪惡的賽局／大腦會玩遊戲嗎？／賽局理論和現實情況

延伸閱讀

致謝

第1章　賽局理論與真實世界
拍賣頻譜／用頻寬來賺錢／資訊與遊戲

第2章　下注
隱藏的策略／價值有多少？／絕對不能輸／雙陸棋／更進一步／圍棋進階／一種不同的遊戲

第3章　馮紐曼的賽局
理性是什麼？／複雜與混沌／為什麼需要數學？／零和與雙贏／大中取小／混合一下／樹狀圖／射門得分！／混合局大師／防線／漢堡或冰淇淋？／這是真的嗎？／機率為何？／討價還價的夢魘／抽數字／最知名的賽局／邁向「瘋狂」

第4章　達到均衡
約翰．納許／多個納許均衡／懦夫賽局／頻寬的兩難／強迫合作／疫苗賽局／拿去，不要拉倒...