「四個小朋友參加了尋找復活節彩蛋活動,活動結束時,四人總共找到四十五顆巧克力蛋,但每人找到的數量不一。如果第一位小朋友多找到兩顆,第二位少找到兩顆,第三位多找到一倍,第四位少找到一半,四人找到的巧克力彩蛋就會一樣多了。請問這四位小朋友各有多少顆巧克力蛋?」
天啊,這個像繞口令的問題,看似簡單、想來複雜,該不會迫使你想起不堪回首的數學課吧。一下子腦袋空了,腦神經死了,還是你早就皮皮挫到不成人形了呢?
本書專治「數學恐懼症」,服下一帖讓你藥到病除
你還想知道怎麼解開數獨嗎?你要如何贏得賽馬呢?動物會數數?是誰發明了數字?為什麼埃及人害怕分數?多位數乘法和修女有什麼關係?
原本修讀古典文學的波特老師,轉而投入數學教育工作,並在著名的倫敦大學國王學院完成數學教師的訓練。原來學文學的波特老師,數學也可以教得嚇嚇叫,所以他決定身體力行,拿出他學數學的法寶,要幫大家打倒「數學恐懼症」,讓大家知道數學一點都不難。因此他以課堂情境和個人搞笑經驗為經,歷史趣味小故事為緯,從加、減、乘、除、進位、小數、分數、比例、代數、幾何等一一描述,深入淺出。看波特老師如何用摺紙遊戲就讓你輕鬆學會分數通分的原因,還告訴你長除法的原理,以及好用的加減運算法,讓你沒有學心算也一樣好用。
說到這裡,你到底解開了巧克力彩蛋的問題沒?不要再抓破頭了,數學並沒有你想像的那麼難,用波特老師的好用加減運算法,一定能輕易幫你解開這些問題,讓你不再害怕數學!
各章節共附錄八十三道實用數學題,隨著波特老師的教學,讓你一一打倒「數學恐懼病毒」!
作者簡介:
波特(Lawrence Potter)
一個充滿冒險精神的英國數學老師,原本在牛津大學瑪德林學院修讀古典文學,但骨子裡的冒險因子促使他到世界各地流浪。波特旅行美國時,在拉斯維加斯贏了一場輪盤賭注,從此決定要成為一名數學老師。他最後返回英國,在聖馬丁學院與倫敦大學國王學院完成數學教師的訓練。趁著教書的空檔,波特又繼續旅行。撰寫此書的同時,他旅行至非洲盧安達並在當地烏穆塔拉省的學校教授數學。
本書是波特的處女作,專治對於數學懷有莫名恐懼的人,希望大家能夠逃離噩夢般的數學課,重新愛上數學。《This May Help You Understand the World》是他近期的新書。
譯者簡介:
楊舒琄
加拿大麥基爾大學財金系學士,卻因摯友隨口說出的一句話,棄商勇闖譯研所。現為寧可掀起家庭革命也要當宅女的自由譯者。懷第一胎後期正巧遇上這本書,寶寶趁機做胎教,將來應該不害怕數學才是。
章節試閱
有幾根手指頭?
建立四以上的數字觀念,只是個開端。一旦你開始數數,便有了數字無限大的概念。為前面幾個數字取特別的名字,看來似乎不錯,但你沒辦法一直想出新名字;就算你能做到這一點,你也記不得所有的數字名稱。這有點像是古羅馬人為兒子命名般,用不了多久,你便會放棄想要獨樹一格的想法。
因此,你接下來面臨的挑戰,就是設法理解我們用來應付這些數字的系統。大多數人慣用的系統,叫做以十為基底的數字進位系統,或十進位制。此進位系統的最佳代言人非西藏人莫屬,因為他們是最忠於這套系統的民族。西藏人為我們口中的數字零到九命名,也為十的各個次方取了名字(我們大致上也做到了這一點,如:十、百、千、百萬等)。接著,他們把零到九這些數字名稱,與十的次方名相結合,來表示任何數字。換言之,324這個數字的藏族表示方法是:「三個百,二個十,和四」(three-hundreds two-tens and four),即藏語的「gsum-bryga gnyis-bcu rtsa bzhi」。
看到這裡,你的民族主義開始作祟,可能會氣憤認為英文的說法和藏語一樣有邏輯。但事實並非如此。首先,為了講起來方便,英文把數字名稱縮寫了。「二個十」(two-tens)變成「二十」(twenty);「五和十」(five and ten)變成「十五」(fifteen)。英文數字十一(eleven)和十二(twelve)的起源,更是神祕,它們似乎和「二和十」(two-and-ten)「一和十」(one-and-ten)毫無關聯。有人說,這是因為這兩個數字異於其他數字(即與十毫無關聯),是因為它們的排序很接近十,因此「eleven」是從「(十之後)還剩下一」(one left after ten)、「twelve」是從「(十之後)還剩下二」(two left after ten)衍生而來。數到十三時,顯然是因為離十太遠,只好又把十擺進來提醒自己從哪開始起算。
此外,我們在為十的次方命名時,也偷工減料。儘管英文常用到「十」、「百」、「千」、「百萬」、「十億」,甚至「兆」等,但西藏人更進一步為「萬」(ten thousand)和「十萬」(one hundred thousand)命名。可惜說英文的我們沒費心做到這一點,不然開支票時可就容易多了。正因為如此,說英文的我們不能宣稱自己和藏人一樣有邏輯。不過,我們卻可主張自己比威爾斯人(Welsh)更明智,因為威爾斯人不用「十和八」(ten and eight),反而發明了「兩個九」(two-nines)的概念。這道理又何在呢?
◎ 三名清道夫如常工作時,發現一堆垃圾桶擋住了行人去路,必須馬上移除,但每個垃圾桶內的垃圾量不一樣多。三個人認為不該有人的工作量比較大,所以他們想平均分擔這項工作。於是他們算了算,發現共有六十個垃圾桶,其中二十個全滿,二十個半滿,其他二十個則完全是空的。請問他們該如何分配工作,才能讓每人搬運的垃圾桶數和垃圾量完全相同?
你或許好奇我們為什麼這樣數數,且在這麼小的年紀就會數數,你再次證明自己成為天才的潛力。這恰巧也是名列史上最偉大哲學家的亞里斯多德,於成年後提出的問題:「為什麼所有人,不論野蠻人或是希臘人,都是數到十,而不是其他數字?」
簡單來說,答案就是:手指頭。你的手指頭是身邊最自然的數數工具。發展至某一階段,人類不再像波多古頓族一樣,只把手指頭當作計數工具,而學會開始把它們跟數字聯想在一起。
若要詳盡回答這問題,答案就是:並非所有人都這樣數數。儘管大多數會數數的文明都採用十進位制,但也有足夠證據顯示其他民族使用不同的基底數字來進位。這聽來或許令人感到訝異。我們太慣用這些數字和數數方法,以致難以相信並非全世界都採行這套模式,但其實十進位制僅僅是我們可選用來做為數字系統的無數方法之一。假如你有八隻手指頭,而不是十隻,你或者會採用八進位制,除了鋼琴可能彈得比較不好外,你對此感到滿意的程度事實上並不亞於採用十進位的人。
這並非只是假設性情境。除了十進位制,世界上最常見的便是二十進位法,即以二十為基底的數字系統。瑪雅文明和愛斯基摩人都採用二十進位,據推測這大概是因為他們數數時手腳並用的緣故。不過愛斯基摩人脫掉鞋子幹嘛,我可就想不懂了。
◎ 聖誕節當天,你帶了滿滿一袋禮物回家。你有五個年幼的表親,見到大批禮物非搶不可。第一個表親拿走了一半又多一個禮物。你拿著剩下的禮物走不到幾步,又撞見第二個表親,他又搶走一半又多一個禮物。你都還沒站穩,第三個表親又衝了出來,拿走了你手中一半又多一個禮物。接下來撞見其他兩個表親時,也是同樣的情況。你累到狼狽不堪,終於走到客廳時,發現你丈母娘正引頸期盼收到你的禮物,於是你把手中僅存的那個禮物送給她。請問你一進門時,手上共有多少禮物?
直至今日,我們的生活中仍然遺留著二十進位的氣息。如果你在強風吹襲的英國荒野中,遇見神祕的陌生人,問他離此地最近的酒吧有多遠,他可能會告訴你:「兩份二十公里和十。」(two score kilometers and ten)他的意思是「兩個二十公里再加上十」(two lots of twenty kilometers and then more),對你我而言,就是五十。(早在《聖經》時代,人類便開始以「score」這個英文字來代表數字二十;當時據說人類的平均壽命是「三份二十年加十」,亦即七十歲的意思。)此字衍生自傳統的計數方式。每每數到二十,大家會在計數木棍上刻個較大的凹痕(score也有痕跡的意思),顧名思義。同理,假設你請法國人給你八十顆洋蔥,他先是訝異你怎會需要如此大量的法國代表蔬菜,接著會挑眉問道:「四份二十嗎?」他問你是否需要「四個二十」。上述兩個族群用的都是二十進位法。
既然十進位制源自於使用雙手手指數數,二十進位衍生自使用雙手手指和雙腳趾頭數數,也就會有幾個文明是僅用單手手指數數的,他們發展出來的也就是五進位法。為了補足你沒有的五進位觀念,讓我舉西非的夫拉族族人為例,告訴你他會怎麼數數。他的方法也是十分合情合理。
首先,他的數字一到四有特定名稱。為了簡化說明,讓我們假設這四個數字就叫做「一」、「二」、「三」、「四」。另外,他也幫五的次方(如:五、二十五、一百二十五等)取了特別的名字,我們假設這些次方分別叫做「五」(five)、「擊掌五」(high-five)、和「傑克森五」(jackson-five)好了。接下來,這位夫拉族人便可利用上述系統來表示任何數字。
舉我們稱為三百三十九的數字為例,我們為該數字這樣命名,是因為我們認為它是由三個一百、三個十,以及九個個位數所組成。但對這位夫拉族人而言,則完全不是如此。他看著這個數字,想的是:這是由兩個傑克森五、三個擊掌五、兩個五,以及四個個位數所組成,所以他就會這樣為這個數字命名。你可以檢查看看,他說得沒錯,這加起來正是三百三十九。這只不過是從另一個角度來看待同一個數字罷了。
你的數學老師很可能壓根兒從來沒跟你提起過這些。或許他都知道,只不過他把這些知識都藏在他那口破破爛爛的公事皮包裡,跟裝著醃鹹牛肉三明治和過熟橘子的特百惠牌便當盒擠在一起。不過,我所說的皆有憑有據。我們的身體構造促成了我們數數的方法。我們數數的方法,則是我們因為發明了數字,而建構出來的系統。要理解這系統,絕非易事。
◎ a) 以下這個夫拉族數字,對應的是我們的哪個數字?
「四個傑克森五、三個擊掌五、兩個五,和一」
b) 我們的這個數字,夫拉族人會怎麼說?
「四百七十三」
書寫數字
耶穌誕生之際,記錄數字最普遍的方法是採用希臘數字系統。希臘人用字母表達數字,一到九各有一個專屬字母,十到九十的每個十進位也各自有相對應的字母,一百到九百的百進位也同樣有各自的代表字母。可惜他們的字母不夠用,所以他們又啟用了舊字母,甚至還借用了幾個腓尼基字母來表示數字。
舉例來說,希臘數字系統中,α代表一,β代表二,θ代表九,ι代表十,κ代表二十,ρ代表一百,σ代表兩百。結合這些字母,就能表達最多到九百九十九的任何數字。比方說,一百一十二會寫成ριβ,二百二十九會寫成σκθ。較大的數字對希臘人來說,也不成問題。他們發明了一千(/)和一萬(M)的符號。如果要表達兩千,他們會寫成/β;如果是二萬,他們會在M上方多寫個β。
這或許聽起來很合理,但可惜的是(或者該說幸好——端視你從哪一角度看這件事)這套系統讓計算變得很不容易。我們只要處理由十個符號組成的數字組合,但希臘人卻要應付二十七個符號的搭配組合。對我們而言,二十加三十基本上與二加三是一樣的,在希臘系統裡卻非如此。代表二的符號和代表二十的符號,完全不相干。因此,希臘人大多用算盤計算,而不用筆算。
其實希臘人對計算這件事,普遍抱持傲慢的態度。哲學家和數學家對數型的興趣,遠多於算術,因為他們認為數型正是天地萬物背後的的建構要素。希臘人對此類事物太過熱衷,以致非常認真嚴謹地看待數字。
畢氏學派是希臘哲學家和數學家畢達格拉斯的追隨者,一般普遍認為是他發明了畢氏定理。但這論點並不完全正確,因為證據顯示,早在畢氏之前,古埃及人已知運用該定理來建造金字塔,中國人也用該定理來測量土地。不過,畢氏和畢氏學派確實將之發揚光大,並協助將該定理引進西方世界。
根據畢氏學派,數字一到四分別具有不同特性,各對應到建構宇宙萬物的形狀上。一是點,二是線,三是面,四是體。
畢氏學派認為十是「完美數字」,因為它是一、二、三、四的和,也就是點線面體的集合體。
他們也認為有些數字是吉祥的,有些是邪惡的。此外,單數屬陽,因為你把單數小圓點兩兩排列在一起時,最後會有一個圓點單獨突出。至於雙數屬陰,因為雙數小圓點兩兩排列時,不會有圓點突出。
對有此類數字愛好的人來說,字母系統頗好用,因為你可以找出某詞彙或名字的數值,繼而加以推論。這就是占數術。自古以來,許多文化都盛行占數術,至今仍歷久不衰,其背後原理在於認為數字能以某種特殊方法反應事實的玄妙信念。
如果你真的鑽研占數術,幾乎什麼事情都可以拿它來佐證。在這領域最受歡迎的消遣,便是計算出誰(或什麼)是「啟示錄之獸」。預言說,怪獸會在世界末日之前現身,在人間散播禍害和驚恐。顯然,如果怪獸出現在你家舉辦的派對,你最好要能認出它來,所以門徒約翰很熱心地提供了怪獸的符號,即數字六六六。
數字在中國古代風水堪輿術中,也扮演著極為重要的角色。風水師常用的主要工具,包括洛書魔方陣。傳說洛書魔方陣起源於西元前二十一世紀。皇帝夏禹某天沿著洛河散步之際,巧遇神龜,龜背上刻著神奇的標記,是個三乘三的九宮格,格子裡以中國數字符號寫著數字一到九。夏禹發現,神龜背上的印記不管是縱、橫、或是對角線上的數字,加總都是十五(由上而下、由左而右,依序是四、三、八、九、五、一、二、七、六)。
在風水堪輿中,此魔方陣可運用於興建房舍上,格中每一數字各代表某一生活層面。因此,利用上圖的數字位置,我們可說房舍的南方(由數字八、一和六主掌),關係著居住者的財富(八)、運勢(一)和權勢名利(六)。這資訊顯然很實用。如果你正密謀計畫征服世界,這下你可確切知道自己該坐在哪個方位上了。
中國人認為數字(和其他萬物般)可分陰陽。偶數屬陰,奇數屬陽。普遍而言,中國人偏好陽數多過陰數。中國人認為八是最吉祥的數字,因為它是「最陰柔」的陰數,換言之,也是最不幸的。但這想法背後的緣由在於:當你跌到谷底,接下來只會向上反彈,所以八有運勢將否極泰來的涵義。
前文已提過,如果你想指認你的鄰居是反對基督者,希臘數字再好用不過;但如果你想算出豆子的價格,這可就另當別論了。隨著羅馬帝國崛起,羅馬數字逐漸取代了希臘數字。羅馬人給數字一(I)、五(V)、十(X)、五十(L)、一百(C)、五百(D)和一千(M)創了符號。算加減法時,這些符號遠比希臘數字好用,但若是較複雜的算術,又極度不便,而且要寫大數字非常耗時。假如英國廣播公司BBC欲於標題頁寫下一九八八年,得寫下MCMLXXXVIII。儘管如此,羅馬數字還是沿用了很長一段時間。十六世紀一些數學著作,還可見到羅馬數字,直到印刷書籍普及後,才真正銷聲匿跡。與此同時,由於使用羅馬數字進行複雜運算還是很麻煩,所以商人還是繼續使用算盤,等待更好工具問世。
◎ 有位小學老師為了讓班級安靜一堂課,要求學生算出一到一百的總和。可惜班上有位後來注定成為史上最偉大數學家的小朋友叫做高斯,他發現快速解題的方法,不到幾分鐘時間,就舉手說出正確答案。老師心不甘情不願地給了他一顆金星作為獎勵,接著靠玩「數字賓果」消磨完剩下的時間。請問高斯怎麼辦到的?
歐洲人陷於黑暗時期之際,世界其他角落的人在數字系統方面則見十足的進步。這進展由約七世紀時的印度領頭,率先創造了十進位值計數法,他們認為若要簡練書寫數字,就該明訂數字的書寫位置會影響其價值。因此,他們發明了「個位欄」、「十位欄」和「百位欄」等。(如果你小學時的痛苦記憶正襲擊著你,我能諒解。)
有了這樣發明,印度人就能隨意用九個符號,表示任何數字。所以,BBC原本得用十一個符號來標示單一數字,印度人只要動用四個符號:一九八八即可。一代表「一千」,九代表「九百」,第一個八代表「八十」,第二個八代表「八個最小整數一」。
然而印度人的新發明並未讓所有問題就此迎刃而解,最大的問題在於如何表示某欄位是空的。一開始,他們只留下空白,但這會招致問題,因為空白到底代表空一格、兩格或是三格,實在很難說,可是空白大小卻又會深深影響數字的大小。例如二空白三,這可能代表二百零三、二千零三或是二萬零三,完全取決你認為有多少格是空白的。終於在九世紀,印度人發明了「○」這個符號,來代表空白的欄位。
這套十位值計數法由印度傳到中東。世人譽為代數之父的阿拉伯數學家花拉子模說明加減乘除法的著作《後印度人計數法之加減法之書》中,仍可見到其蹤影。之後,阿拉伯數學家甚至開始以十進位計數法為基礎,試圖加以衍伸以處理分數。
這套新數字系統終於在十四世紀傳到歐洲。義大利數學家費布那西跟隨從商的父親到北非旅行時,接觸阿拉伯數字系統,並於一二○二年出版《算盤之書》,列舉可能運用該新方法的應用實例。歐洲學術界對此書好評如潮,不過十進位值計數法卻遲至一四○○年代印刷機發明之後,才開始廣為流傳。
有幾根手指頭? 建立四以上的數字觀念,只是個開端。一旦你開始數數,便有了數字無限大的概念。為前面幾個數字取特別的名字,看來似乎不錯,但你沒辦法一直想出新名字;就算你能做到這一點,你也記不得所有的數字名稱。這有點像是古羅馬人為兒子命名般,用不了多久,你便會放棄想要獨樹一格的想法。 因此,你接下來面臨的挑戰,就是設法理解我們用來應付這些數字的系統。大多數人慣用的系統,叫做以十為基底的數字進位系統,或十進位制。此進位系統的最佳代言人非西藏人莫屬,因為他們是最忠於這套系統的民族。西藏人為我們口中的數...
目錄
【導論】為什麼?
【第一部】腦袋中的數字,和書面上的數字
第一章:一小步
第二章:有幾根手指頭?
第三章:超市外
第四章:根據所見所聞推測
第五章:向前走,算乘法
第六章:「倒數計時」
第七章:書寫數字
第八章:借位和進位
第九章:很長很長的多位數乘法
第十章:闡述多位數除法
第十一章:驗算答案
【第二部】不同類型的數字
第一章:奇巧巧克力和符合猶太教規及潔淨處理認證的食物
第二章:「有前的牧洋人」
第三章:比例也有它的煩惱I
第四章:比例也有它的煩惱II
第五章:幫披薩著色
第六章:埃及人的作法
第七章:等值分數
第八章:用紙筆運算分數加法
第九章:先反轉再相乘
第十章:(小數)點到底在哪裡?
第十一章:操弄小數
第十二章:百分之百
第十三章:利「息」攸關
第十四章:節儉是一種美德
第十五章:百分之兩百
【第三部】未知的恐懼
第一章:代數和斷了的骨頭
第二章:等式兩邊進行同樣的運算
第三章:改變所有符號
第四章:錯誤假設法
第五章:聯立方程式背後的邏輯
第六章:起了口角的男學童
第七章:代數是很民主的
第八章:拯救查理
【第四部】改變未嘗不好
第一章:對機率的高度期望
第二章:就是一堆球
第三章:泥濘不堪的水
第四章:不只關於數字
第五章:天氣預報不準
第六章:回到課堂上
第七章:機率的實際應用
第八章:拉斯維加斯,寶貝!
第九章:大數法則
第十章:跟壽險賭了
【尾聲】
【附錄一】分數除法
【附錄二】解決數獨
【附錄三】隨堂題解答
【導論】為什麼?
【第一部】腦袋中的數字,和書面上的數字
第一章:一小步
第二章:有幾根手指頭?
第三章:超市外
第四章:根據所見所聞推測
第五章:向前走,算乘法
第六章:「倒數計時」
第七章:書寫數字
第八章:借位和進位
第九章:很長很長的多位數乘法
第十章:闡述多位數除法
第十一章:驗算答案
【第二部】不同類型的數字
第一章:奇巧巧克力和符合猶太教規及潔淨處理認證的食物
第二章:「有前的牧洋人」
第三章:比例也有它的煩惱I
第四章:比例也有它的煩惱II
第五章:幫披薩著色
第六章:埃及人...
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