數學的燈謎：形體配號問題

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本書導讀──文/ 臺灣大學數學系名譽教授楊維哲

這是一本非常特別的著作。(作者也是一個非常特別的數學家) 本人看到這本書的時候，腦中馬上聯想到一年以前才仔細看的一本名著Japanese Temple Geometry Problems，所以我先略略描述後者。那本名著的作者有兩人，一是深川英俊，專業的數學史研究學者，另一人卻是大大有名的（英國）幾何學家Dan Pedoe（他與Hodge 合寫了經典名著《代數幾何的方法》）Pedoe 會對日本數學（"和算"）感到興趣，是因為他看到其中的一個題目。這個題目根本就是F.Soddy 的The Hexlet（六球連鎖問題）。英國化學家Soddy 爵士（1877-1956）是諾貝爾獎得主，他在1936 年（於Nature 雜誌上）發表了這個數學題，造成當時的轟動。但是這樣的題目卻出現於1822 年的神奈川的一匾算額中。當時的和算家沒有「逆轉」（inversion）這樣子的現代工具，居然能夠解決這一類的問題，讓Pedoe 大為贊嘆。我會翻閱那本書是因為要寫一些給中學資優生閱讀的幾何。另外，我也正在思考數學競賽的命題. 事實上, 那本書給了我很大很大的幫助! 關於前者, 我就選了10 題, 改寫在給中學資優生的)基礎座標幾何中（當然有說明出處）關於後者，我已經思考過好幾道可以加以變化衍伸，成為競試題的題目。（雖然我今年沒有採用, 但是明年就用得上了。）

回到張國男教授的這本書來。我的聯想就是有三類讀者群: 老師, 資優生, 數學愛好者.這本書，在數學領域中，是屬於排列組合學（combinatorics），那是秀異的數學家展露靈巧的場所。組合學有人這樣子定義：「這一門數學, 是唯一有可能使得一個數學老師輸給她他的學生的數學」。它在中學數學課程中, 份量不多, 而且還可以說：越來越少。可是，對於數學資優生，組合學的份量其實是越來越重（外行人聽起來覺得很矛盾）。事實上，在一切的數學競賽中，組合學大概是絕不會缺席的題目。（我的估計是：五題中最少有一題）可以與之相提並論的只有整數論（number theory）。因此之故，一切的數學競賽的講習班中，組合學的教材，大概要佔了三分之一。組合數學，一言以概括之，是笨拙與靈巧之結合。笨拙是因為必須不耐煩地逐項（case by case）討論，靈巧是因為必須充分地利用對稱性。

不論是從教學或者學習的角度來看，組合數學的難處是：定理不太多！基本上，學習組合數學都是從題目中一題一題地學，或即是說，從題目中一題一題地教！但是非常難找一本有適當題目的書，因為敘述必須簡單，但是又要很容易「形成幾何的形象」，才可以引導學習者去思考問題中的對稱性，就這一點來說，這本書是非常的成功。

我覺得對於各種不同程度的學生，指導的老師，都可以在這本書中，選擇幾道題目，當作講授的教材。對於數學知識不豐富而數學志趣昂揚的資優生，根本可以拿這本書獨立學習。看完一題詳盡的解說之後，就可以進攻附帶的習題。（本書的順序是自然的由淺入深，不過對於大學三年級以上的學生，順序就可以很自由了！）