混沌：不測風雲的背後

得獎紀錄：普立茲獎決選
美國國家非文學類書獎決選
中國時報開卷版好書推薦
金石堂暢銷書排行榜連續六個月
金石堂年度暢銷書榜TOP 100名人推薦：面對急遽變遷的世界局勢及環境變化，創新的科學研究是解決當前眾多棘手問題的重要基礎。天下文化多年來持續以淺顯活潑的文字，將深奧嚴肅的科學知識介紹給廣大的讀者，深受各界歡迎。如今精選各領域的科普著作為經典套書，不但可使讀者一窺歷久彌堅的大師風範，領略科學與人文和諧之美，更能啟發理性的思辨能力，為人類的永續發展持續追尋與努力。
── 中央研究院院長翁啟惠媒體推薦：極...

勞倫茲沉醉於天氣的樂趣裡，儘管那不算是氣象學者的必要條件，他覺得天氣的變幻賞心悅目，喜歡大氣中川流不息的各類天氣形態，熟悉那些乖乖遵守數學定律，但卻永不重複的擾動和氣旋。當觀察雲朵時，他覺得領悟到了其中某種結構，一度他以為研究天氣的科學像是用螺絲起子拆散魔術盒一樣，現在則懷疑科學能否有一日揭穿魔術？天氣有種特性是不能以平均表達的，麻省劍橋的6月平均溫度是攝氏二十四度，而在沙烏地阿拉伯利雅德每年下雨的平均天數是十天，這些是統計資料，但重要的是大氣形態隨著時間而變，這也就是勞倫茲從皇家馬克比中想要捕捉到的東西。
他是這個機器世界的主宰，可以隨意選擇自己有興趣的自然定律，經過嘗試與錯誤的一番苦工，他選擇了十二條方程式，方程式顯示出溫度與壓力、或者壓力與風速之間數值的關係，勞倫茲知道自己正在操作牛頓定律，就像時間之神，創造一套世界，使其運行不息。感謝物理定律的決定論，啟動之後即不需要再操心，那些製造模式的人滿懷信心，藉由運動定律來提供數學肯定性的因果關連。一旦掌握法則，也就等於了解宇宙內涵，這是以電腦模擬天氣背後隱藏的哲學基礎。
確實，如果十八世紀的哲學家想像上帝像隱藏在幕後，仁慈而不動聲色的不介入主義者，可以想像勞倫茲就是這類人物。他是一位很絕的氣象學家，有張像新英格蘭鄉下農夫飽經風霜的臉，令人驚奇的明亮眼睛，說不準他是否在笑，而別人總覺得他在開懷大笑。很少談論自己或工作，常常只是傾聽，他往往沉浸在計算狀態或同仁無法思議的夢想中，連他最親近的朋友也覺得大多數時候勞倫茲飄飄神遊太虛幻境。
當勞倫茲還是小男孩時，他就是位天氣迷，看緊了他父母在康乃狄克州西哈特福屋外，懸掛的最高最低溫度計，記錄下每天最高最低溫度，不過他比觀察溫度計花了更多時間在數學謎題的書本上，有時候父親會和他一起解決書本上的謎題，有一次他們碰上特別困難的問題，根本無解，父親告訴他，這也行得通，證明沒有答案亦為解決之道。勞倫茲喜歡如此想，就像他喜歡數學的澄明一樣，當他在1938年於達特茅斯學院（Dartmouth College）畢業時，他覺得數學便是他的終身志業了。但是二次世界大戰這件事使得整個情況有些改變，大戰期間，他擔任陸軍航空單位的天氣預報員，戰後勞倫茲決定留在氣象圈子裡，研究氣象理論，多鑽研一些數學，他在諸如大氣環流的正統問題上發表文章，博得響亮名聲，同時他繼續思索預測的問題。
即使對最嚴謹的氣象學家而言，預報還稱不上科學，這是一種熟能生巧的工作，需要一些擁有直覺的技術員，從儀器和雲況中讀出明天天氣，偏向猜測。對於類似麻省理工學院這樣的研究中心，氣象學喜歡那些有確實答案的問題，曾經親自提供預報給軍機駕駛員，勞倫茲自然能體會到天氣預報的雜亂潦草，但他對問題懷抱著別具匠心的興趣──一種數學上的興趣。
不僅僅是氣象學家看輕預報，1960年代所有嚴謹的科學家都不信任電腦，這些加足馬力的計算器不像是理論科學需要的工具。所以數值天氣模擬變成進退維谷的問題。但時機逐漸成熟，天氣預報等待一部可以幹粗活兒，重複計算成千上萬次的機器已經整整兩個世紀了，只有電腦能兌現牛頓式的期望：世界沿著前因後果的軌道演進，像是星球奉行的規則，或像日、月食和潮汐般的可靠預測。理論上，電腦應該能讓氣象學家辦到天文學家用鉛筆和計算尺達成的效果，從初始狀況和控制其演變的物理定律，來計算宇宙的未來。描述流體運動的方程式，和描述行星運動的方程式一樣老早為人熟知，對付這座由九大行星、成打衛星和千萬個隕石間重力場形成的太陽系，天文學家並未達到盡善盡美，而且也永遠不會。但天體運動的計算已經準確到使人們忘了那是預測，當一個天文學家說「哈雷彗星在七十六年後將會由這條路徑回來」，這像陳述一項事實，不像是預言，決定型的數值預測刻畫出太空船和火箭的精確路徑，為什麼風和雨卻不能如此？
天氣現象複雜許多倍，但是它卻由相同的定律所控制，也許一部能力強大的電腦，擁有拉普拉斯理想中的卓越智慧，這位十八世紀的哲學兼數學家感染上無可匹敵的牛頓式狂熱，他曾寫過：「這樣一位大智者，可以用相同的方程式，處理宇宙間最大的星體和最小的原子，對它來說，沒有所謂的曖昧，未來和過去都會歷歷如繪，直逼眼前。」在愛因斯坦的相對論和海森堡測不準原理相繼問世後的時日，拉普拉斯的樂觀幾乎像滑稽歌手，但大多數的現代科學仍在追求他的夢想，暗地裡許多二十世紀的科學家，包括生物學、神經學和經濟學家的任務即是去解析其領域至遵循科學規律運行、最簡單的元素，在這許多學門中，都背負著牛頓式決定論的擔子。現代計算的長老們心裡都念著拉普拉斯，自從1950年代馮諾伊曼（John von Neumann）在紐澤西州普林斯頓高等研究院，設計他的第一部機器起，計算和預報的歷史就開始融合在一起。馮諾伊曼體認到天氣模擬會是電腦相當妥貼的目標。
還有一項小小的但書，小到科學家們幾乎都忘了擱在何處？隱藏在他們哲學的角落像一張未付清的帳單，那就是測量絕不可能精確。在牛頓旗幟下踏步前進的科學家們，實際上也搖晃著另一隻旗幟如此說：給我一些系統初始狀態的近似資料和明確的物理定律，就可以計算出系統的近似行為。這項假設座落於科學哲學的核心，就像一位理論學家喜歡告訴他的學生：「西方科學的基本理念就是如此：如果你正在計算地球檯面上的一顆撞球，你就不必去理會另一座星系某星球上樹葉的掉落。很輕微的影響可以被忽略，事物進行總會殊途同歸，任意的小干擾，並不至於膨脹到任意大的後果。」傳統的，信任這種近似和聚集的確有它的道理，修正1910年哈雷彗星位置的小錯誤，只會造成它在1986年來臨時的小誤差，而且百萬年後來臨時誤差仍然會很小。電腦也在同樣的假設下引導太空船航行，近似正確的輸入會獲得近似正確的輸出；經濟預測也根據相同的假設，雖然較少明顯的成功；全球天氣預報的開拓者亦是。
使用他的洪荒級電腦，勞倫茲簡化天氣至一副乾淨的骸骨，一行一行列印出來的風和溫度，似乎大體符合可辨識的地球特色，印證了藏在他心中對天氣的直覺，他覺察到天氣會自我模仿，每隔一段時間就會出現似曾相識的類型，氣壓此起彼落，氣流的南北遷移。他發現倘若一條從高降低的線段未曾經歷顛簸，下回就會碰上雙重崎嶇突起，他說：「那是預報員可以用得上的規則。」但是所謂的重複並非那麼精確，而是帶著一點混亂的類型，一種井井有條的無秩序。
讓類型一目瞭然，勞倫茲創造出一種基礎圖表，取代只印出通常的一行數字，他指令機器在字母a前印一定數量的空格，他可以選擇一項變數，比方說是氣流的方向。逐漸的，這些a沿著印表捲筒前進，循著波形線條，前後搖擺，製造出一長系列的山峯與山谷，代表西風穿越大陸南北遷移的方式，其中可辨認的循環代表有秩序的部分，一次又一次發生，但絕不雷同，像一場催眠下的銷魂舞，這座系統慢慢在預測者的凝視下揭露自己的奧祕。
1961年冬季某日，為了檢查一段較長的序列，勞倫茲決定抄捷徑而行，捨棄重新由開頭計算的方式，他改由從中間開始，直接根據先前印出的結果敲進數字，提供給機器當做初始條件，然後離開那些噪音，走下樓小啜一杯咖啡，一小時後當他回來，卻看到一些出乎意料的成果──一些真理為新科學播下的種子。
摘自《混沌》〈蝴蝶效應〉

勞倫茲沉醉於天氣的樂趣裡，儘管那不算是氣象學者的必要條件，他覺得天氣的變幻賞心悅目，喜歡大氣中川流不息的各類天氣形態，熟悉那些乖乖遵守數學定律，但卻永不重複的擾動和氣旋。當觀察雲朵時，他覺得領悟到了其中某種結構，一度他以為研究天氣的科學像是用螺絲起子拆散魔術盒一樣，現在則懷疑科學能否有一日揭穿魔術？天氣有種特性是不能以平均表達的，麻省劍橋的6月平均溫度是攝氏二十四度，而在沙烏地阿拉伯利雅德每年下雨的平均天數是十天，這些是統計資料，但重要的是大氣形態隨著時間而變，這也就是勞倫茲從皇家馬克比中想要捕捉...

【導讀】從蝶翅下賞閱混沌／陳義裕
我念大學時對物理涉獵不廣，連混沌這字眼兒都沒聽說過，直到出國念研究所時，聽了一位教授的演講，才眼界大開，知道混沌竟是一門可以研究的學問，而更有趣的是，連著名的物理學家法拉第都曾做過相關的實驗。數年後，從該教授那裡學得了一點皮毛，便興沖沖的回台灣工作，想把這個新奇的概念引介給國內的年輕學子。
可是，走進校園旁的書店一看，才發現自己真是井底之蛙，因為葛雷易克所著的《混沌》這本國外知名的暢銷書，早已翻譯為中文且正在熱賣中，而更令人洩氣的是，翻譯者林和教授還和「蝴蝶效應」的開山祖師勞倫茲教授頗有淵源！可以想見，當時我眼中所看到架上的那串葡萄，說有多酸就有多酸！
所幸，沒多久後那串葡萄就轉為甜滋滋的味道，因為我認識了一位讀歷史的女孩。這個女孩徹底破除了我對讀文史女生的刻板印象，因為我很驚訝的在她的書架上發現了《混沌》這書的中譯本！原來早在認識我之前，女孩就因為覺得自己「笨笨的」，所以買了這本書來拓展自己的科學視野。好的科普書，本來就應該能吸引對自然界充滿好奇的一般大眾，女孩挑選本書閱讀，充分說明《混沌》這書的成功。當然，我更感激出版社以及翻譯者的遠見，早幾年就發行此書，使得我可以透過這本書去向女孩吹噓一番。
蝴蝶效應環環相扣
時隔多年，我已經不記得當時是如何大吹大擂的，但若今天有人問我混沌究竟是在說什麼，我可能會直接引用書中的童謠來說：
缺了根釘子，讓蹄鐵鬆脫了；
缺了塊蹄鐵，讓駿馬報銷了；
缺了匹駿馬，讓騎士捐軀了；
缺了位騎士，讓戰爭潰敗了；
缺了場勝仗，讓王國淪陷了！
簡單的說，就是在人、事、時、地、物等等條件適當搭配的情況下，小事會化成大事、大事會化成災難。「需要好幾個條件彼此適當搭配」，這個前提其實是很重要的，若有一個環節產生掣肘的效應，那麼差之毫釐就不一定會失之千里，而令人扼腕的遺憾可能就不會發生。例如，掉了馬蹄鐵的那匹馬若非良駒，則牠早先受指派的工作，可能就不是載人上戰場的工作，當然也不會有騎士會去騎牠。正所謂：天下興亡，馬匹無責。在敘述混沌時，我們常常引用著名的蝴蝶效應，說北京的一隻蝴蝶搧翅，可能會引起紐約的一場大風暴，但我們其實也必須記得，這是要在許多條件都配合的情況下才容易發生，而於正常的情境下，我猜大部分氣象學家都不會把賭注下在那隻無辜的蝴蝶身上。
可是，混沌就代表事情亂糟糟、毫無頭緒可言嗎？這也不盡然，因為令人驚訝的是，混沌常常是亂中有序，即便剪不斷，但卻理不亂，只要抓到正確角度去觀察，你會看到它出奇美妙的一面。
舉個例說，混沌系統在經過很長一段時間後，會「沉澱」到一種最終的運動狀態，正如一顆落入碗內的玻璃珠，最終會因為摩擦力的消耗而停留在碗底、不再改變其運動形式。不同的是，混沌系統的最終狀態比較複雜，它會不斷運動，和燒開水時不斷翻滾的沸水類似。如果我們有很精確的溫度計，能夠每隔一分鐘去測量沸水中特定位置的溫度，那麼在累積足夠的數據量後，我們會見到這些數據的分布開始出現規則性，有些地方相當密，有些地方則很稀疏。把數據密集的地方放大後，我們又會看到數據再一次呈現部分密集以及部分疏離的特性。換言之，這些數據是散布在一種奇怪的幾何結構上，你把其中一個小區域放大，結果看到的形狀和放大前看到的基本上沒啥不同。
自相似性化繁為簡
我們把這種特性稱為「自相似性」（也就是書中提及的自我模仿），而具有自相似性的東西則稱為「碎形」。混沌系統在時間演化上看似雜亂無章，但若追蹤它在空間中的表現，則碎形的規律性幾乎無所不在。於這本書中，讀者將有機會看到這樣的普適性究竟是如何產生的，並親自欣賞到一些奇幻、美麗的碎形。
由於自然界的一些圖像（例如起伏的山丘以及峽谷地形）或多或少具有自相似性，所以有人便想到，如果能透過數學的分析，計算出一張照片中的哪些區域具有自相似性，然後把此對應關係記錄下來，存成檔案，那麼這筆資訊就等價於原始照片。而由於檔案中記錄的只是數學關係式，所以相較於原始照片的畫素資訊來說，此檔案就比較小，有利於儲存以及網路的傳輸。
反過來，我們也可以從一張空白的圖片出發，寫程式要求電腦透過該檔案中記錄的數學關係式，一步步去迭代，使圖片逐漸具有原始照片的自相似性，當大功告成時，自相似性完全重現，建構出來的圖片，看起來就和原始照片沒什麼兩樣。由於在以上重建圖片的過程中，我們只用到數學關係式，所以我們甚至可以更進一步，直接在電腦上稍微修改所用到的數學式，造出真實世界中未曾見過的地形景觀，供電玩業以及電影的製作使用！如此這般，碎形搖身一變，大剌剌的從學術殿堂直接步上大銀幕和小螢幕，直接和我們的生活密切相關。這真是意想不到啊！
混沌系統另外一個相關的特性是：只要等上適當的一段時間，一定有機會觀察到系統幾乎又回到原始的狀態。但這種似曾相識的特性，並不代表歷史會重演，因為混沌系統之所以在時間的演化上顯得如此混亂、不可預測，正在於差之毫釐後可能失之千里。混沌系統看似不斷重複「回家」，其實每一次回來都帶有獨特的歷練與滄桑，所以回來時的狀態略有不同。而這個小小的差異，接下來就會因為時間的演化而迅速放大，導致這一次「離家」所走的路徑和前一次「離家」所走的路徑差異極大。
從加密系統到心律調整器
雖然混沌蘊含著混亂，但這不代表它就沒有什麼利用價值。例如，在電腦上玩射擊遊戲時，敵人冷不防從右前方牆角竄出，直接把你狙擊出局。吃了一次悶虧的你，重新來過時，當然會緊盯著右前方，避免重蹈覆轍。此時，遊戲的設計師為了增加可玩性以及緊張度，可能就會透過「亂數產生器」，讓敵人改從你意想不到的地方冒出來。雖然數學家及工程師早就發展出一些很好用的亂數產生器，但我們也可利用混沌系統來製造出另類的亂數產生器，提供多一種的選擇。事實上，因為亂數產生器還可以用來把訊息加密，因此，也有學者探討所謂的混沌加密系統的可能性。
此外，如何透過適當的回饋機制去控制混沌系統，使它能按照我們的意旨隨時間運行，也是多年來科學家極有興趣的研究課題，而其中一個明顯可能的應用就是生醫，例如我們都期望能做出性能絕佳的心律調整器，來壓抑住心臟病發作時產生的混沌運動。作者在這點上也完全沒有偏廢，利用了一整章的篇幅描述科學家在這方面的早期研究。
回首混沌歷久彌新
事實上，混沌發展初期的各路先鋒，在本書作者生花妙筆的敘述下，在在展現出非常人性化的一面。讀著他們的故事，令人彷彿回到當時，肩並肩與他們一起奮鬥著。這或許並不令人意外，因為作者是透過一對一的方式走訪許多當事人，聆聽他們的親身敘述，然後再憑藉其深厚的文學素養，為我們撰寫出忠實又饒富趣味的報導。
經過這些年，當混沌理論與其應用發展已經有了一定的成熟度時，再回頭閱讀《混沌》一書，會發現原作者的選材與敘述真的是歷久彌新，值得推薦給未曾接觸過本書的讀者。而更令我受寵若驚的是，林和教授以及本書的編輯，竟然會考慮由我來寫導讀，和讀者分享我自己的讀書經驗。回想起來，這似乎和前述的混沌現象若合符節：經過適當的一段時間後，歷史似乎又要重複，但卻又不全然相同。可以想見的，這一次我臉上不會掛著滿滿一串酸葡萄了，因為我終於如願得以和這本好書沾上邊，有此殊榮去為它撰寫導讀！至於那位讀歷史的女孩，她依舊巧笑如昔，也欣然接受我每一次出去喝咖啡的邀約，但物換星移，這些年來她都不再是以女朋友的身分赴約了。
（本文作者為國立台灣大學物理系特聘教授）

【導讀】從蝶翅下賞閱混沌／陳義裕
我念大學時對物理涉獵不廣，連混沌這字眼兒都沒聽說過，直到出國念研究所時，聽了一位教授的演講，才眼界大開，知道混沌竟是一門可以研究的學問，而更有趣的是，連著名的物理學家法拉第都曾做過相關的實驗。數年後，從該教授那裡學得了一點皮毛，便興沖沖的回台灣工作，想把這個新奇的概念引介給國內的年輕學子。
可是，走進校園旁的書店一看，才發現自己真是井底之蛙，因為葛雷易克所著的《混沌》這本國外知名的暢銷書，早已翻譯為中文且正在熱賣中，而更令人洩氣的是，翻譯者林和教授還和「蝴蝶效應...

導讀　從蝶翅下賞閱混沌　陳義裕
代譯序　遙念勞倫茲　林和
前言　混沌浮現
第1章　蝴蝶效應
第2章　革命
第3章　生活中的起伏
第4章　自然的幾何學
第5章　奇異吸子
第6章　普遍性
第7章　實驗家
第8章　混沌的面貌
第9章　動力系統集團
第10章　內在的韻律
第11章　混沌與超越
圖片來源

導讀　從蝶翅下賞閱混沌　陳義裕
代譯序　遙念勞倫茲　林和
前言　混沌浮現
第1章　蝴蝶效應
第2章　革命
第3章　生活中的起伏
第4章　自然的幾何學
第5章　奇異吸子
第6章　普遍性
第7章　實驗家
第8章　混沌的面貌
第9章　動力系統集團
第10章　內在的韻律
第11章　混沌與超越
圖片來源