數學大歷史

名人推薦：專文推薦--
賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、數學作家）　

具名推薦—
于靖（中央研究院院士、國立臺灣大學數學系教授）
林福來（國立臺灣師範大學數學系名譽教授）

<從小樹苗到通天神木>
文／賴以威　

我第一次「真正開始瞭解數學的本質」，是前幾年教小學生的時候。對方是一位認為數學沒用，不喜歡數學的小朋友。我擺了兩堆蘋果，一堆有三顆，另一堆四顆，請他數完後，把兩堆蘋果合在一起，要他再數一次。
「不用數啦，我知道是七個。」
「為什麼是七個？」
小朋友露出數學老師常有的那種無奈表情，老成地嘆口氣回答：「3+4=7」。
「你覺得數學沒用，但你這不是在用數學了嗎？你覺得數學很討厭，但這時候，數學可是幫了你很大的忙，讓你省去了『數』的功夫。」
我不知道小朋友有沒有完全理解我想表達的，可至少當下的我，真切地感受到加法的意義與重要性。我希望透過這個例子，小朋友能發現，數學不僅僅是抽象的智力鍛鍊、人類智慧的結晶，更是人類從生活中觀察，進而提煉出來的工具，幫助我們過得更便利，完成更多困難的任務。
我有時候會想，許多人不喜歡數學，或許不是懂得太少，而是懂得太多。他們認為必須要有個未知數x，最好搭配一些看不懂的希臘符號，旁邊再擺上個不相關的座標軸，才算得上是數學。「使用加法就可以少數很多次。」對他們來說，不太算是數學。
但其實，這不僅僅是數學，還是數學的起點。

數學的誕生或許要晚一點，是在人類從「二顆雞蛋加三顆雞蛋等於五顆雞蛋」、「二枚箭矢加三枚箭矢等於五枚箭矢」之中抽象出「2 + 3 = 5」時。

你可以想像，遠古的祖先只會數物品，後來「發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）」的抽象化數數。
領悟加法的那一剎那，數學在人類的心智中開始發芽。
經過幾千年演進，數學成長茁壯為通天神木，枝幹深入到各行各業的專業技能，躲在日常生活中無法一眼就看出來的地方：手機裡的晶片，街上紅綠燈的控制，電玩遊戲各個角色的參數設定。最上面的枝枒是數學家展現智力與想像力之處，它們不斷生長，來到目前生活無法觸及的地方，可能得再過幾十年、幾百年，才會有某項科技運用得上這些數學知識。
《數學大歷史》中，蔡天新教授旁徵博引，將文字化為紀錄片，記載了數學從小樹苗一路茁壯的過程。其中我特別喜歡第三章〈中世紀的中國〉，從名家惠施「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」的無窮難題開始，劉徽、祖沖之父子、李淳風、沈括、到宋元四大家楊輝、秦九韶、李冶和朱世杰，蔡教授不僅介紹了中國數學的發展，比較中西方的差異，還進一步從社會文化的結構中找尋原因，以中國學者的身分探討「為什麼」中國數學的發展和西方如此不同，這是西方數學史書比較難深入的。蔡教授本身「允文允理」的跨領域背景更讓本書不僅止於一本數學史書，還涉及到藝術、社會文化領域（另一個例子是在書中登場的愛倫•坡，但他不是因為《金甲蟲》裡的密碼學，純粹是以文學家的身分被介紹）。
你絕對能從這本書裡學到更多的數學發展歷史；但你同樣可以抱著輕鬆的心情閱讀，有環繞著數學的故事，有不同時期除了數學外的文化藝術史點綴，還有更多有趣的數學家生平軼事，例如大數學家拉普拉斯擔任過拿破崙的面試官，拿破崙又如何在帶領法國大軍攻城掠地的同時，領導法國數學家奠定一整個時代的數學發展。
請隨意往後翻吧，不論從哪一頁開始讀起，你都可以感受到閱讀的樂趣。

文／賴以威　

我第一次「真正開始瞭解數學的本質」，是前幾年教小學生的時候。對方是一位認為數學沒用，不喜歡數學的小朋友。我擺了兩堆蘋果，一堆有三顆，另一堆四顆，請他數完後，把兩堆蘋果合在一起，要他再數一次。
「不用數啦，我知道是七個。」
「為什麼是七個？」
小朋友露出數學老師常有的那種無奈表情，老成地嘆口氣回答：「3+4=7」。
「你覺得數學沒用，但你這不是在用數學了嗎？你覺得數學很討厭，但這時候，數學可是幫了你很大的忙，讓你省去了『數』的功夫。」
我不知道小朋友有沒有完全理解我想表達的，可至少當下...

前言

二○一二年盛夏，從歐洲大陸最北部的挪威傳出一則令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為於特的湖心島上，八十多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界上最富庶美麗、最寧靜安逸的國度，也是數學天才阿貝爾的祖國，首屆費爾茲獎（正式名稱為「國際傑出數學發現獎」）一九三六年在奧斯陸頒發，以阿貝爾命名的數學獎與諾貝爾和平獎每年也在奧斯陸評選並頒發。悲憤之餘，仍有許多人對挪威發生如此恐怖的事件表示難以置信。

一八二九年，二十六歲的挪威青年阿貝爾死於營養不良和肺病，卻依然是十九世紀乃至人類歷史上最偉大的數學家之一。阿貝爾是第一個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發了他的同胞。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生了戲劇家易卜生，接下來還有作曲家葛利格、藝術家孟克和探險家阿蒙森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能產生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易卜生的背井離鄉和孟克的畫作《吶喊》，都說明了這個國家的人民曾經遭受不幸與磨難。

在所有與數學史相關的書籍裡，阿貝爾的名字總是在人名索引裡名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還會談到他的晚輩同胞索菲斯‧李，二十一世紀的兩個重要數學分支??李群和李代數均得名於他。一八七二年，德國數學家克萊殷發表了〈埃爾朗根綱領〉，試圖用群論的觀點統一幾何學乃至整個數學領域，所依賴的正是李的工作。

限於篇幅，本書未談及二○○七年過世的挪威數學家賽爾伯格，他是我的數論同行，我也與他交談過。早在一九五○年，他便因給出質數定理的初等證明而榮獲費爾茲獎。或許是一種補償，書中最後出場的奧地利人維特根斯坦亦與挪威結緣，他是二十世紀最有數學意味的哲學家。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉間蓋了一間小木屋，經常從英國跑到那裡度假思索，有時一住就是一年，於他死後兩年出版的代表作《哲學研究》便是在這間小木屋裡開始構想的。

從以上敘述中讀者可能已經看出，本書的寫作風格和宗旨是，既不願錯過任何一位偉大的數學家和任何一次數學思潮，以及由此產生的內容、方法，也不願放棄任何可以闡述數學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，最接近的同類著作是美國數學史家克萊因的《西方文化中的數學》，可是在克萊因的著作裡，討論範圍被「西方」和「文化」兩個詞限定了，我們卻不得不考慮整個人類的歷史長河，涉及領域也超出了「文化」範疇。如同英國數學家、哲學家懷海德所言，「現代科學誕生於歐洲，但它的家卻是整個世界。」

從寫作方式來看，儘管存在著多種可能性，主要面臨的選擇卻只有兩個，是否把數學史當成一種寫作線索？克萊因的著作雖以時間為主線（他的另一部力作《古今數學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數學與文化的關係。顯而易見，克萊因既精通數學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方面已經很難超越了。況且，他的書早已有簡體中文版。

不過，透過閱讀克萊因的著作，我們不難發現，他假設的讀者是數學或文化領域的專家。而我心中的讀者範圍更為寬廣，他們可能只學過初等數學或簡單的微積分，也許對數學的歷史及其與其他文明的關係所知不多，對數學在人類文明的發展歷程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現代數學與現代文明（比如，現代藝術）的淵源缺乏瞭解。這樣一來，就留出了寫作空間。

在我看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發展進程的反映。它們在特定的歷史時期必然相互影響，並呈現出某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先後探討了數學與各式各樣文明之間的關係。例如，埃及和巴比倫的數學來源於人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自曆法改革，印度數學的源泉始於宗教，而波斯或阿拉伯的數學與天文學互不分離。

文藝復興是人類文明進程的一個里程碑，這個時期的藝術推動了幾何學的發展。到了十七世紀，微積分的產生解決了科學和工業革命的一系列問題，而十八世紀法國大革命時期的數學涉及力學、軍事和工程技術。十九世紀前半葉，數學和詩歌幾乎同時從古典進入現代，其標誌分別是非交換代數和非歐幾何學的誕生，愛倫‧坡和波特萊爾的出現。進入二十世紀以後，抽象化又成為數學和人文學科的共性。

數學中的抽象以集合論和公理化為標誌，與此同時，藝術領域則出現了抽象主義和行動繪畫。哲學與數學的再次交會產生了現代邏輯學，並誕生了維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經濟學、電腦和混沌理論等方面。由此可見，這是符合歷史潮流和文明進程規律。儘管如此，數學天空的未來並非一片晴朗。

本書的一個顯著特點是對現代數學和現代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數學研究和寫作實踐的思考、總結。至於古典部分，我們也著力發現有現代意義的亮點。比如，談到埃及數學時，我們重點介紹了「埃及分數」這個既通俗易懂又極為深刻的數論問題，它甚至仍然困擾著二十一世紀的數學家。又如，巴比倫人最早發現了畢達哥拉斯定理，同時知道了畢達哥拉斯陣列，這一結果也是一千多年以後興起的希臘數學和文明的代表性成就，卻與二十世紀末的熱點數學問題費馬最後定理相聯繫。

本書的另一個特點是，多數小節以人物為標題，力求圖文並茂，以方便理解、欣賞和記憶。在一百餘幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當一部分與文學、藝術、科學、教育有密切的關聯。希望讀者能透過本書的閱讀，拉近與數學這門抽象學科的心理距離，從中理解各自所學或從事專業與數學的關係，進而反思人類文明的歷史進程甚或生活的意義。

最後，我想用一首詩來結束本序言。這是二○○五年夏天，我偕同四位研究生前往馬尼拉的菲律賓大學參加一場數論與密碼學的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫折戟沙灘、殖民者不足以重視、數學史家和文化史家容易忽略的國度。詩中出現了一些幾何圖形，如線段、弧線、圓圈、扭結、曲面和拓撲變換，當然，均已被改換成相應的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數學概念，但流露的分明是一種生活的情緒。

〈跳繩〉
每一棵光潔的稻草
都布滿了銀色的月光
它們被編織成繩索

就像腳踝上的鏈子
那圓圈中的圓圈
也布滿了銀色的月光

無論眉梢、鬢角
還是手臂上的燙痕
反來復去地穿梭往來

蔡天新
二○一七年夏末定稿於杭州西溪

前言

二○一二年盛夏，從歐洲大陸最北部的挪威傳出一則令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為於特的湖心島上，八十多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界上最富庶美麗、最寧靜安逸的國度，也是數學天才阿貝爾的祖國，首屆費爾茲獎（正式名稱為「國際傑出數學發現獎」）一九三六年在奧斯陸頒發，以阿貝爾命名的數學獎與諾貝爾和平獎每年也在奧斯陸評選並頒發。悲憤之餘，仍有許多人對挪威發生如此恐怖的事件表示難以置信。

一八二九年，二十六歲的挪威青年阿貝爾死於營養不良和肺病，卻依然是十九世紀乃至...

繁體版前言
前言

第一章　中東，或數學的起源
‧數學的起源
　　計數的開始
　　數基和進制
　　阿拉伯數系
　　形而幾何學
‧尼羅河文明
　　奇特的地形
　　萊茵德紙草書
　　埃及分數
‧在河流之間
　　巴比倫尼亞
　　泥板書上的根
　　普林頓322號
‧結語

第二章　希臘的那些先哲們
‧數學家的誕生
　　希臘人的出場
　　論證的開端
　　畢達哥拉斯
‧柏拉圖學院
　　芝諾的烏龜
　　柏拉圖學院
　　亞里斯多德
‧亞歷山大學派
　　《幾何原本》
　　阿基米德
　　其他數學家
‧結語

第三章　中世紀的中國
‧引子
　　先秦時代
　　《周髀算經》
　　《九章算術》
‧從割圓術到孫子定理
　　劉徽的割圓術
　　祖氏父子
　　孫子定理
‧宋元六大家
　　沈括和賈憲
　　楊輝和秦九韶
　　李冶和朱世傑
‧結語

第四章　印度人和波斯人
‧從印度河到恆河
　　雅利安人的宗教
　　《繩法經》和佛經
　　零和印度數字
‧從北印度到南印度
　　阿耶波多
　　婆羅摩笈多
　　馬哈威拉
　　婆什迦羅
‧神賜的土地
　　阿拉伯帝國
　　巴格達的智慧宮
　　花拉子密的《代數學》
‧波斯的智者
　　伊斯法罕的奧瑪珈音
　　大不里士的納西爾丁
　　撒馬爾罕的阿爾•卡西
‧結語

第五章　從文藝復興到微積分的誕生
‧歐洲的文藝復興
　　中世紀的歐洲
　　斐波那契的兔子
　　阿伯提的透視學
　　達文西和丟勒
‧微積分的創立
　　近代數學的興起
　　解析幾何的誕生
　　微積分學的先驅
　　牛頓和萊布尼茲
‧結語

第六章　分析時代與法國大革命
‧分析時代
　　業餘數學家之王
　　微積分學的發展
　　微積分學的影響
　　白努利家族
‧法國大革命
　　拿破崙‧波拿巴
　　高聳的金字塔
　　法蘭西的牛頓
　　皇帝的密友
‧結語

第七章　現代數學與現代藝術
‧代數學的新生
　　分析的嚴格化
　　阿貝爾和伽羅瓦
　　哈密頓的四元數
‧幾何學的變革
　　幾何學的家醜
　　非歐幾何學的誕生
　　黎曼幾何學
‧藝術的新紀元
　　愛倫‧坡
　　波特萊爾
　　從模仿到機智
‧結語

第八章　抽象化：二十世紀以來
‧走向抽象化
　　集合論和公理化
　　數學的抽象化
　　繪畫中的抽象
‧數學的應用
　　理論物理學
　　生物學和經濟學
　　電腦和混沌理論
‧數學與邏輯學
　　羅素的悖論
　　維根斯坦
　　哥德爾定理
‧結語

附錄
‧常用數學符號來歷一覽
‧數學年表
‧參考文獻
‧中外對照
‧索引

繁體版前言
前言

第一章　中東，或數學的起源
‧數學的起源
　　計數的開始
　　數基和進制
　　阿拉伯數系
　　形而幾何學
‧尼羅河文明
　　奇特的地形
　　萊茵德紙草書
　　埃及分數
‧在河流之間
　　巴比倫尼亞
　　泥板書上的根
　　普林頓322號
‧結語

第二章　希臘的那些先哲們
‧數學家的誕生
　　希臘人的出場
　　論證的開端
　　畢達哥拉斯
‧柏拉圖學院
　　芝諾的烏龜
　　柏拉圖學院
　　亞里斯多德
‧亞歷山大學派
　　《幾何原本》
　　阿基米德
　　其他數學家
‧結語

第三章　中世...