1-1 數學是什麼？
自然之書是用數學語言寫成的。──克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630），天文學家
科學的皇后
數學是科學的皇后，而算術是數學的皇后。──高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），數學家
在小學二年級的課裡，我想要解釋數的重要性，就給小朋友講個故事，述說有位國王非常痛恨數字，甚至禁止在王國裡使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣，結果發現生活會非常受限制。因為不准提兒童的年齡，所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外，你無法付錢買菜，也無法安排約會，因為你不准提在幾點或幾分。
這只是舉例說明數學在我們生活裡的重要性。隨著文明與技術的進步，我們的生活愈來愈需要倚賴數學。諾貝爾物理獎得主溫柏格（Steven Weinberg）在他寫的《終極理論之夢》（Dreams of a Final Theory）書中，專門花了兩章討論物理以外的題材，一章是數學，一章是哲學。在書中他說，他一再出乎意料的發現，數學多麼有用，而哲學多麼白費氣力。
要理解為什麼會這樣，必須理解數學是什麼，這可不是簡單的問題，就連專業數學家也難以回答。羅素（Bertrand Russell）曾經說數學家「都不懂自己在搞什麼。」（他對哲學家的批評更嚴苛，在他的眼裡，哲學家「只是瞎子在暗室裡尋找根本不存在的黑貓。」）他的說法在某種意義上確實為真：就是絕大多數的數學家都懶得自問數學是什麼，確切一點的說，沒想解釋他們到底在忙什麼。
想要回答這個問題，我們先從一個簡單的例子來看：3 + 2 = 5的意義是什麼？
在一年級班上，我請小朋友檢查3枝鉛筆加2枝鉛筆，結果有多少枝鉛筆。他們懂得「加」的意思就是「放在一起」，因此他們把3枝鉛筆與2枝鉛筆放在一起，然後再數有多少：答案是5枝鉛筆。接著我問：「當你把3枚鈕釦加2枚鈕釦，會得到多少鈕釦？」他們毫不猶豫的回答：「5枚鈕釦。」我再追問：「你們怎麼知道？」「由前一個問題就知道啦！」「但是前一個問題是關於鉛筆，也許會跟鈕釦不一樣啊？」他們就都笑了。這個問題並不是毫無意義的，恰恰相反，它隱含了數學的祕密──抽象。問題裡的東西是鉛筆、鈕釦，還是蘋果，都沒有關係，答案都相同，這也是我們可以抽象的說出3 + 2 = 5的理由。

這是基本但具代表性的例子：數學是從思想過程中精煉出來的。很顯然，思想或多或少都是抽象的，然而數學的獨特性在於它把最基本的思想過程抽取出來。在3 + 2 = 5的例子裡，涉及的過程是把東西放一起：3個東西與2個東西。對於這些東西可以問很多問題：是鉛筆還是蘋果？在你手裡還是在桌子上？如果在桌子上，那麼是如何擺放的？數學忽略掉所有這些細節，它要問的問題與這些細節無關，僅僅關於東西放在一起的事實：最終的數量是多少，也就是總共有多少東西？
人類能宰制環境的祕密就在於具有抽象思維，抽象的威力幫助我們有效率的活在世上，換句話說，就是可以省點力氣。抽象能幫助我們跨越「此時此地」的局限──此時此地發現的東西，也可以在別的時間與地點使用。如果3枝鉛筆加2枝鉛筆等於5枝鉛筆，那麼蘋果也該這麼加，明天來算也一樣。花一次氣力就能提供整個世界相通的道理。
如果一般而論抽象有用，那麼數學會更有用，因為數學把抽象做到極致。於是乎，數學如此有用又切合實際，就不令人吃驚了。
每個人都該學數學嗎？
別人在知道我是數學家時，常常會露出一絲苦澀的微笑說：「數學不曾是我的強項。」正因為太多人學習數學的經驗是那麼倍感煎熬，所以每個世代都會問同樣的問題──學數學所為何來？為什麼有必要接受這種折磨？大多數的人是不是應該乾脆放棄學習數學？今日的計算機可以即刻算出各種數學運算結果，學習乘法表或長除法還有什麼意義？
有一個答案是，眾多職業都需要用到精確科學的知識，而數學是開啟這些知識的鑰匙。其實數學很重要，並不只是因為要用它來理解實存世界，而是數學能提供更多東西──它教導用精準有序的方式進行抽象思維。它能改善基本的思想習慣，例如區分本質性與非本質性的能力，以及得出邏輯結論的能力。這些能力都是學校教育所提供最有價值的資產。
然而還有一個問題沒有回答──為什麼學數學會那麼困難？數學注定要讓人受苦嗎？現在流行的答案是「並非如此」──問題出在教學上。一般的見解是認為，很多遭遇「學習障礙」的孩童，其實是遭遇「教學障礙」，但是問題不可能那麼單純，只是責備教師有點太簡化問題，而且也不合理。任何主張千百年來數學教師都教得一塌糊塗的人，必須為此提出解釋，同時說明為什麼別的科目不會如此。
數學教學的特殊問題在於傳達抽象觀念很困難；你能告訴別人智利首都的名字，卻不能幫人們進行抽象化。這是每個人必須親自完成的過程，每個人必須走過從具體到抽象的每一個心理步驟，在這個過程中，教師的角色在於引導學生按照正確順序，逐步完成體驗原理的經歷。這不是容易學的簡單技藝，然而也不是全無可能學會。本書的目標之一，就是模仿蘇格拉底所謂的「接生婆教學法」，逐步介紹一些可用的原則。
（摘自本書1-1章）

1-1 數學是什麼？
自然之書是用數學語言寫成的。──克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630），天文學家
科學的皇后
數學是科學的皇后，而算術是數學的皇后。──高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），數學家
在小學二年級的課裡，我想要解釋數的重要性，就給小朋友講個故事，述說有位國王非常痛恨數字，甚至禁止在王國裡使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣，結果發現生活會非常受限制。因為不准提兒童的年齡，所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外，你無法付錢買菜，也無法安排約會，因為你不准提在幾點或幾分...

【譯者序】小學數學是一生中最重要的數學課
小學數學為什麼重要？因為它最有用。「用」的意義有多種層次，暫且不討論數學可用來訓練邏輯推理及解決問題的能力，只檢視一下職場上是如何有用。
2016年美國東北大學社會學教授韓德爾發表論文〈人們上班時做什麼？〉。調查顯示幾乎所有人在工作中都需要用一些基本數學；但是除了計數與四則運算以外，其他數學題材的使用率便會降低。約有三分之二的人需用分數、小數、百分比，有22%的人會用層次稍高一些的數學，例如代數。按照韓德爾的分類，歸入低階白領職業的人，使用超過小學程度數學的比率甚至低於10%。雖然在台灣好像沒有執行過類似的職場調查，推測狀況應該近似。因此從工作上是否需要的角度來衡量，對多數人而言小學數學最為重要。
成績雖好，興趣低
小學數學既然重要，台灣學生學習的狀況又如何呢？
「國際數學與科學教育成就趨勢調查」（Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱TIMSS）每四年舉辦一次，對象為四年級與八年級（國中二年級）學生，目的在瞭解數學與科學領域學習成就的發展趨勢，以及文化背景及教育制度的相關性。目前有59國（中國未在內）參與這項國際研究，台灣歷屆數學成績排名如下表：
2003 2007 2011 2015
四年級 4 3 4 4
八年級 4 1 3 3
成績穩定名列前茅，看來應該得到喝采。然而TIMSS還調查學生喜不喜歡數學、學生對於學習數學的自信、以及學生認為數學有沒有用，這些涉及學習態度的項目。下表列出2015年台灣學生回應負面選項的百分比：
不喜歡學數學 台灣 國際平均
四年級學生 38% 19%
八年級學生 56% 38%

學數學沒有自信 台灣 國際平均
四年級學生 46% 23%
八年級學生 60% 43%

認為數學無用 台灣 國際平均
八年級學生 41% 13%

台灣小四學生在不喜歡數學與學習沒有自信方面，都是國際平均的兩倍。雖然學習成就不錯，但是學習心態不健康，難怪到八年級認為數學無用的人數，超過國際平均的三倍。歷屆評量中顯現成績與態度的反差，似乎成為台灣數學教育的常態，如此常態其實是非常令人憂心的病態！
因為小學數學教育不像國高中那樣受到升學的嚴重影響，所以四年級學童負面態度的原因，必須從學習環境去瞭解。修訂十二年國教數學課綱時，負責國小階段的翁秉仁指出：「在台灣，一般家長雖然怕數學，卻很喜歡『干預』小學老師的教學。家長多半覺得自己會小學數學，因此可以『盡一份心』。但是他們干預的方式很簡單，看到孩子不會做習題，就指導學生怎麼算；厲害一點的，更直接把國中方法搬下來，卻不做任何解釋。問題是，除了數學老師之外的成人，多半覺得數學就是公式和計算，不需要解釋（『反正你這樣算就對了！』）。還會因此據理力爭，為小孩向老師爭取分數，造成許多教學困擾。」
除了家長的干預外，不少學生還在補習班接受不斷套公式計算的折磨，後果是抵消了老師正常教學的成效。這種幫倒忙的做法，除了歸咎於把公式背誦等同數學學習，更基本的原因是對於兒童智力發展的欠缺理解。特別是「家長多半覺得自己會小學數學」，而輕忽了其中精微細緻的概念層次。
本書作者是聲望卓著的以色列理工學院教授，在離散數學方面的成就國際知名。因為他有高深數學修養，以及研究創新經驗，才能針對小學數學發人所不能發的真知灼見。他說：「我在教小學生時領悟出一個道理，就是小學數學一點也不單純，除了美之外還有深度。」換句話說：「小學數學雖然不深奧，但包含智慧；雖然不複雜，卻有深意。」本書第一重要的任務，就是協助讀者建立對小學數學的虔敬之意。家長以及教師具有這種鄭重其事的心態，才能貼近孩童感受他們學習中遭遇的困惑，才能發揮啟蒙嚮導作用，並且從旁鼓舞好奇、探索、精進的士氣。
本書的核心觀點是要家長瞭解小學數學教學的最主要原則是「從具體逐步走向抽象。」一般人看到「抽象」二字，很容易連結到「難以捉摸」、「不可理解」這些意味，因此不由自主採取迴避態度。其實「抽象」反映的是一種思維狀況。例如，經驗老到的家庭主婦炒菜時，不需要邊看食譜邊動手，腦海裡早有一番程序，甚至該如何加油添醋，會產生什麼味道，一盤「抽象」的美食已然胸有成竹。
當作者教一年級生3枝鉛筆加2枝鉛筆是5枝鉛筆之後，問他們3枚鈕釦加2枚鈕釦會得到多少鈕釦時，學生能夠正確回答5枚鈕釦。作者故意詰問：「但是前一個問題是關於鉛筆，也許會跟鈕釦不一樣啊？」學生就都笑了。小學生的抽象能力是不可輕忽的，他們已經知道某種規律能夠適用於不同的實體上。從實際物體到數目概念，再把數目概念廣泛應用，顯示出「抽象」的層次逐步增高。「成人看做是整體的概念，其實是由許多小要件層層堆疊起來，而你不能省略其中任何層次。……在小學裡光用解釋是無效的，概念必須通過學童親身經驗才能產生。」作者表示從教小學數學裡，自己新學到的就是體認出這種「精緻的層次」。
數學真美麗
作者還想傳達給讀者一項基本價值觀，就是數學是美麗的。他說「數學與藝術有兩項相同之處：秩序與精簡。」一種陡然從混沌狀態安頓出既未預期又未看透的情境，使得深刻美感經驗相應興起。小學數學裡雖然包含了許多歷史上最美麗的數學發現，但是機械式學習往往把美感斲喪殆盡。其實感受美是天賦的能力，作者說：「二年級班上，我教小朋友一種證明乘法交換律的漂亮方法……。有位坐在第一排的小朋友抬頭凝視一會兒，然後低聲說：『真美。』」這是多麼令人感動的教育場景。
為了達成「秩序與精簡」的目標，學習數學時不可避免要使用符號與操作算式，但是在純熟處理這些形式物件之前，必須先真正理解概念。小朋友展現理解的方式不乏令人意外驚喜的舉動。例如，作者問女兒為什麼2 × 3 = 3 × 2，女兒舉起一隻手的3根手指，再舉起另一隻手的3根手指，這是2 × 3。然後她把兩隻手併攏，舉起的手指叉開成3對，不就是3 × 2嗎？還有一例：作者請小朋友演示6 ÷ 4。他們把黑板劃分成4個區塊，每一區塊站一位同學，剩下的兩位同學「自願上半身在一區塊，下半身在相鄰的另一區塊」，多麼生動的顯示了正確答案是一再加一半！
小朋友這些舉動都是自我建構概念與內化知識的表現，可是在「建構主義」指導課綱及教學方法的時期，家長看到的是不要背「九九乘法表」、簡單的乘法變成冗長的連加法、以及整體計算能力的下降。數學家則批評極端的「建構主義」妄想學生能自發找出數學的規則，使得教材的嚴謹性受損，造成學生觀念糊塗。在本書附錄裡，作者扼要描繪了二戰以後國際數學教育的幾次風向轉移，特別批評了「建構主義」的偏頗主張。
各國的教育戰爭
台灣自從1994年民間教改團體發起「410教改大遊行」之後，二十餘年來教育改革一直是社會關注的議題，不過民眾對於教改效果似乎貶過於褒。在1996年至2003年間，國小數學課程標準也出現過強調知識建構的時期，然而因為引起非常大的爭議不得不叫停。據劉柏宏的觀察：「台灣近幾年對建構式數學的討論與美國『數學戰爭』的某些過程雖不盡相同，但其背後內涵確實有幾分相似之處。不論在數學界或數學教育界，美國的走向都緊緊牽動台灣的發展。美國『數學戰爭』雖已緩和但尚未結束，而台灣的課程爭議也還沒落幕。」
美國的「數學戰爭」起源於1989年美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）公布的《學校數學課程與評量標準》，其中倡議的中小學數學教育改革方向深受建構主義影響。這套《標準》以及根據它所編寫的教科書，受到相當多專業數學家的強烈批評，媒體因而用「數學戰爭」描述雙方論辯的激烈程度。這場「戰爭」最終導致《各州共同核心標準》（Common Core States Standards，簡稱CCSS）於2010年公布，規範了從幼兒園到高中的數學課程。目前採用此標準的地方，包含41州、華府以及4個海外領地。CCSS的數學標準強調聚焦、一貫與嚴謹三原則，既注重概念理解也不輕忽實作應用，整體看來比NCTM主導期的課程難度加大。雖然CCSS得到專業數學團體的熱烈支持，但是反對的勢力仍然存在，由聯邦經費支持的標準化測驗尤其為人所詬病。川普競選美國總統時的政見之一，就是要拋棄CCSS標準，號稱要把教育的選擇權歸還州政府。
數學內容雖然普世相同，但是數學教育深受社會與文化因素的影響，必然與各國的具體國情有關。像是法國精英層次與普通民眾之間，包括數學教育在內的很多方面，都存在著巨大鴻溝。曾經得過菲爾茲獎的法國明星國會議員維拉尼（Cédric Villani）在2018年2月完成一份報告，認為一般人民接受的數學教育幾近災難。他在21條改革建議中，強調了提高中小學數學教師水平的迫切性。類似本書作者在「以色列人人數學有成就基金會」採取的措施，維拉尼的報告也把新加坡的數學教學作為值得學習的楷模。
英國方面的狀況是教室紀律鬆懈，使用教科書比例低落，因而造成數學學習成效欠佳。2016年英國政府以四年為期，計畫提撥約18億台幣經費給全英格蘭近半數學校，預計培育700名種子教師，廣泛向上海、新加坡、香港取經，進行數學教學改革。同時中國也派出許多數學老師，前往英國學校從事示範教學。從2018年起，英國的老師甚至可選用一整套中譯英的教科書《真實上海數學》（Real Shanghai Mathematics）。
為什麼這些國家都要向新加坡學習呢？主要是因為新加坡不僅在TIMSS總是名列前茅，在另外一項國際評量PISA中也表現出眾。PISA是「國際學生能力評量計劃」的簡稱，每三年針對15歲學生進行一次跨國評量，藉以瞭解各國學生在「閱讀素養」、「數學素養」與「科學素養」上的能力。2015年有72個國家參加評量，新加坡在每一素養項目上都獨占鰲頭。至於會特別關注上海數學教育的原因，是因為中國於2012年首次參加PISA評量，當時僅以上海作為試點，結果成績特別突出，引起西方國家的矚目。
PISA評量的目標是各科「素養」，注重理解、應用、解決問題的能力，也是學生進入社會必須具備的能力。評量題目與日常生活相關，同時說明試題的情境，讓學生作答時能把思考與情境聯繫起來。台灣最新的《十二年國民基本教育課程綱要》，也要著重培養下一代的核心素養，為終身學習奠定基礎與職涯發展做好準備，可說是呼應PISA引導的教育發展方向。在注重素養的時代，家長必須先自我教育，才能用正確的觀點、恰當的誘導、健康的態度，協助孩童獲得應有的數學能力。小學教師們也應該加強自我改善的力道，積極參加教師培訓或增能活動，開創書面作業以外的動手實作或身體活動，幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡。本書在提供家長與教師正當觀點上確實是個好幫手，因此願意將它翻譯成中文與關心兒童教育的讀者分享。

李國偉（作者為本書譯者，曾任中研院數學所所長）

【譯者序】小學數學是一生中最重要的數學課
小學數學為什麼重要？因為它最有用。「用」的意義有多種層次，暫且不討論數學可用來訓練邏輯推理及解決問題的能力，只檢視一下職場上是如何有用。
2016年美國東北大學社會學教授韓德爾發表論文〈人們上班時做什麼？〉。調查顯示幾乎所有人在工作中都需要用一些基本數學；但是除了計數與四則運算以外，其他數學題材的使用率便會降低。約有三分之二的人需用分數、小數、百分比，有22%的人會用層次稍高一些的數學，例如代數。按照韓德爾的分類，歸入低階白領職業的人，使用超過小學程度數學的比率甚...

【引言】我在小學裡學到什麼
大部分成人因為亟欲忘卻從前遭受的創傷，早就把自己學習數學時的記憶埋藏起來。當年學不懂的經驗雖然痛苦，卻已經是熬過去的陳年舊事，他們會自我安慰說：「其實根本不需要懂數學。」直到有一天當需要真的來臨時，從前的焦慮又再度浮現。那會是什麼時候呢？就是他們的子女也開始遭遇相同經驗時。
許多人雖然有心幫助子女學習算術，但害怕重新接觸當年感覺痛苦的科目，可是他們忘記自己在學童階段之後，其實掌握了很多新工具。成年人具有較強的自制力與抽象力，也有處理複雜語句的能力，以及等待全盤情況皆顯現的忍耐力，所有這些能力都可以用來更加簡單迅速的對付小學數學。
本書正是要提供運用這些能力的導引，來協助有意積極參與子女學習算術的家長，事實上本書也是因為這種需求而產生的。我兒子學校的家長想要有書面的學習指引，好來輔導子女學數學。而一開始只有篇幅不多的注意事項，慢慢才演變出能夠成書的結構與分量。
書跟理念一樣，會有自己的生命。有時候書帶領作者走，不亞於作者帶領書前進。因此，本書逐漸改變了面貌。我在教小學生時領悟出一個道理，就是小學數學一點也不單純，除了美之外還有深度。這項見解慢慢融入書中，導引出了另一個新方向：嘗試描繪小學數學的美，從而描繪一般數學的美。我擴大了原先設定的讀者群，囊括了想從新角度回顧兒時數學的人。對於這群讀者而言，本書提供了再來一次的機會；曾經學過如何做分數相乘與長除法，卻沒搞懂到底為何要那樣做的人，請你們用新的且成熟的觀點再來看一看。
本書的第三類對象是老師與從事教育工作的人，我認為他們也是很重要的讀者。本書想給他們一項明確的訊息：想把數學教好，加強對於數學原理的瞭解，應該更勝於賣弄教學技巧。必須先熟悉細微的數學觀念，是怎樣一層一層堆疊起來，而且最好具體且直接的去體驗概念，不要再通過其他中間媒介。
本書的第一部「要素」，是從教師的觀點描述小學數學的基本素材。會討論到的問題包括：數學是什麼、小學裡應該教哪些題材，以及是什麼使數學像藝術那樣美。
除了數學，有心幫助子女學習的父母也須熟悉基本的教學原則，我在本書第二部將對此加以討論。最主要的規則是從具體逐步走向抽象。除此之外，家長也需熟悉當代教育潮流，它們主導了學校的教學風格，因此我在本書附錄裡，簡要描述了過去五十年間數學教育的主要發展。
本書的第三部專注在小學數學的內容，一步步分析學校教材的細節。雖然一般學校課程裡包含10%到20%的幾何，我決定放棄幾何只討論算術，也就是只關注數字性質的學習。我做此選擇的理由，除了因為算術位居課程中心，更因為算術是一套統一精鍊的知識，好似美麗的鑽石，值得用一本書來探討。（摘自本書前言）

【引言】我在小學裡學到什麼
大部分成人因為亟欲忘卻從前遭受的創傷，早就把自己學習數學時的記憶埋藏起來。當年學不懂的經驗雖然痛苦，卻已經是熬過去的陳年舊事，他們會自我安慰說：「其實根本不需要懂數學。」直到有一天當需要真的來臨時，從前的焦慮又再度浮現。那會是什麼時候呢？就是他們的子女也開始遭遇相同經驗時。
許多人雖然有心幫助子女學習算術，但害怕重新接觸當年感覺痛苦的科目，可是他們忘記自己在學童階段之後，其實掌握了很多新工具。成年人具有較強的自制力與抽象力，也有處理複雜語句的能力，以及等待全盤情況皆顯現...

譯者序 小學數學是一中最重要的數學課 李國偉
引言 我在小學裡學到什麼

第一部：數學的基本要素
1-1 數學是什麼？
1-2 數學的三種省力法
1-3 數學之美的祕密
1-4 數學觀念層層相疊
1-5 整數
1-6 意義與計算
1-7 十進位記數法
1-8 在小學數學中我們學到了什麼？

第二部：通往抽象的道路── 算術的教學原則
2-1 傳達抽象概念
2-2 多樣化與固著
2-3 教學為什麼這麼難
2-4 誘導
2-5 命名魔力
2-6 計算機與其他輔助教具
2-7 有勇氣求簡

第三部：一年級到六年級的算術
第A篇 數學的各種意義
3A-1 加法的意義
3A-2 減法的意義
3A-3 乘法的本質
3A-4 除法的兩種意義
3A-5 數學的意義與應用題

第B篇 計算
3B-1 加法的計算
3B-2 減法：借位或重組
3B-3 乘法的計算
3B-4 直式乘法
3B-5 背起來或重新算
3B-6 除法從左邊算起

第C篇 分數
3C-1 除法與分數
3C-2 分數把除法轉為乘法
3C-3 關於分數除法的對話
3C-4 有關分數的習題（附解答）
3C-5 公分母
3C-6 最小公分母
3C-7 帶分數

第D篇 小數
3D-1 小數
3D-2 小數的計算
3D-3 百分數── 分數的通用語言

第E篇 比率
3E-1 比率
3E-2 更多比率問題

後記
附錄：當代數學教育史中的轉折點

譯者序 小學數學是一中最重要的數學課 李國偉
引言 我在小學裡學到什麼

第一部：數學的基本要素
1-1 數學是什麼？
1-2 數學的三種省力法
1-3 數學之美的祕密
1-4 數學觀念層層相疊
1-5 整數
1-6 意義與計算
1-7 十進位記數法
1-8 在小學數學中我們學到了什麼？

第二部：通往抽象的道路── 算術的教學原則
2-1 傳達抽象概念
2-2 多樣化與固著
2-3 教學為什麼這麼難
2-4 誘導
2-5 命名魔力
2-6 計算機與其他輔助教具
2-7 有勇氣求簡

第三部：一年級到六年級的算術
第A篇 數學的各種意義
3A-1 加法的意義
3A-2 減法的意義
3A-3 乘法的本...