【新裝版】3小時讀通幾何

「幾何？雖然我完全不懂微積分，但幾何都是跟圖形有關的，所以還蠻喜歡的。」令人意外地，喜歡幾何的人似乎不少。在國中時期的數學，只要加一條輔助線，就能痛快解開幾何問題，具有這種魅力。
但是，在討論幾何之前，你不覺得「幾何」是個很怪的名詞嗎？為什麼會出現這種名詞呢？
回溯歷史，古埃及地區常有尼羅河氾濫的問題，就如「埃及是尼羅河的贈禮」這句話所說，尼羅河的定期氾濫，促成了埃及地區在天文學等方面的發展。
除了天文學，埃及的數學，尤其是幾何學，也有蓬勃的發展。尼羅河的氾濫，使得土地規劃運用必須重來，所以人們必須重新測量土地。「土地測量」在古希臘語（土地γη、測量μεϰρεω）中，叫做geo（土地）metry（測量），一般認為，geo的發音到中國變成「幾何」，而「幾何」這個詞傳到日本，就變成「きか」（KIKA）這樣的發音了。
源於土地測量的幾何學，是在求取三角形、四邊形、圓或四角錐（金字塔）等圖形面積或體積，在探究的過程中，慢慢連結起來的學問。
幾何學的進一步應用，包括橡膠幾何（拓撲學），以蕨類植物的葉脈或河川的分布為對象的碎形幾何學，敘述宇宙形狀的龐加萊猜想等，可見幾何果然是「最先端的數學」啊。

《幾何原本》中的「點」、「線」、「面」

歐幾里得是西元前300年時期的數學家，他將在希臘時代所有數學的討論成果，都統整歸納成《幾何原本》一書。
在《幾何原本》中，先列舉出嚴密的「定義」，再舉出不須證明的公認「公理（公設）」，並詳細介紹近500個經定義與公理驗證過的「定理」，這樣的步驟非常科學。
在《幾何原本》中，歐幾里得對於「幾何起點」的「點」、「線」、「面」，作出了不同於人們日常生活中所感受到的定義。
首先來說「點」。
若我們以鉛筆記下一點，無論多小的點，都佔有空間，但歐幾里得卻定義「點既無寬度亦無長度（當然更無面積）」。
接著，如果我們畫「線」，無論畫得多細，線必然佔有寬度，但書中定義「線並無寬度」。
「面」也是。觀察一張紙，雖然紙的厚度難以覺察，但厚度其實是存在的。以本書為例，100張紙（200頁），約為一公分的厚度。但歐幾里得定義「面並無厚度」。
幾何學可以運用於土地測量，感覺起來與日常生活相關，具有實際作用，但歐幾里得屏除模稜兩可的感覺，而以嚴密的定義、公理，以及推導出的眾多定理，建構起現代數學的基礎。

解題變簡單？

將「點」、「線」、「面」、「立體」以「次元」來表示，會變成「0次元」、「一次元」、「二次元」、「三次元」。近來「3D（三次元）電影」大受歡迎，為觀眾提供了嶄新的視野。
一直以來，數學家常將次元視為一種研究主題或研究工具，究竟「將次元作為研究工具」指的是什麼意思呢？
假設在一次元「線的世界」中，有一隻螞蟻a正由右向左移動，而螞蟻b正由左向右走來，兩隻螞蟻相遇時，已無路可走。但螞蟻若是活在二次元的「平面世界」裡，問題就能解決，由於是寬廣的平面，螞蟻只要稍微往旁邊移動就行了。
對於二次元的螞蟻而言，生活的平面世界究竟是①平整的表面，②球面，③中間有空洞的甜甜圈，牠是無法知道的。但若是飛翔在三次元的蒼蠅或飛鳥，對於螞蟻生活在怎樣的空間，則可完全一目了然。
但我們不該取笑螞蟻。過去，為了「地球是平面，還是球面」這個問題，生活在地球上的人們曾經找不到答案。
由於人類無法從宇宙觀察地球，因此，為了瞭解宇宙的存在形態，可使用把提高次元的方法。
如此，只要拉高一個次元，不僅解題變簡單，視野也能隨之擴張。

「幾何？雖然我完全不懂微積分，但幾何都是跟圖形有關的，所以還蠻喜歡的。」令人意外地，喜歡幾何的人似乎不少。在國中時期的數學，只要加一條輔助線，就能痛快解開幾何問題，具有這種魅力。
但是，在討論幾何之前，你不覺得「幾何」是個很怪的名詞嗎？為什麼會出現這種名詞呢？
回溯歷史，古埃及地區常有尼羅河氾濫的問題，就如「埃及是尼羅河的贈禮」這句話所說，尼羅河的定期氾濫，促成了埃及地區在天文學等方面的發展。
除了天文學，埃及的數學，尤其是幾何學，也有蓬勃的發展。尼羅河的氾濫，使得土地規劃運用必須重來，所以人們...

大學時期，我（岡部）的指導教授田村一郎老師，每當遇到學生無法充分理解，或感覺似懂非懂的問題時，總會說「現在我們把遇到的問題，用畫圖來表示看看吧」。
雖然老師這麼說，但我在當時的研究小組裡所遇到的問題，都是超過四次元空間，即使可以理解題目的意義，也難以輕易在二次元的紙或黑板上表現出來。
但是我認為，透過「以畫圖表示」的程序，將複雜的內容具體化，學習者就可以由此學會「將問題簡化」的能力。

回溯數學的歷史，一般認為，數學是起源於算數與圖形的分析，因為這樣的緣故，「數學＝幾何學（或哲學）」的觀念，普遍存在於數學有突破性發展的古希臘時代。
歐幾里得（西元前300年左右）統合了所有關於幾何的研究討論，寫成論著《歐幾里得幾何原本》。十七世紀初期，利瑪竇與徐光啟在中國翻譯此書，將《歐幾里得幾何原本》定名為《幾何原本》，《幾何原本》因此成為幾何學的濫觴，長久以來一直是世界數學教育的主流。幾何學對於科學具有很重要的支持作用。
但實際上，《幾何原本》中寫及的不僅只有幾何，其中還有三成以上是屬於現代的數論或方程式。
例如，質數有無限多個， 是無理數的證明，以及求取最大公因數的輾轉相除法，多是大家都曾聽說過的著名理論。
在《幾何原本》中，就以出現將數以線段的方式表現。在畢達哥拉斯定理中，以a代表邊長，則正方形面積為a2，這種「以幾何方式處理」的概念，則一貫應用到現在。
這些概念之所以能持續累積至今，正在於「以畫圖表示＝理解」的形式，將幾何與解題連結在一起。
高斯曾說過：「數論是數學的皇后。」若他的說法為真，那麼幾何便是數學的國王。只要能善用幾何，便能從基礎開始，輕鬆了解數學。
這本書是為了讓大家都能品嘗以幾何解題的樂趣而書寫的作品，幾何的圖形特質，以漫畫形式來表現，我認為更是妙趣橫生。
文章的最後，感謝宮島麻衣女士為我們繪製了妙趣橫生的漫畫，長谷川愛美女士為我們設計版面，並在此向推薦我們執筆，科學書籍編輯部益田賢治先生與石井顯一先生，致上誠摯的謝意。

大學時期，我（岡部）的指導教授田村一郎老師，每當遇到學生無法充分理解，或感覺似懂非懂的問題時，總會說「現在我們把遇到的問題，用畫圖來表示看看吧」。
雖然老師這麼說，但我在當時的研究小組裡所遇到的問題，都是超過四次元空間，即使可以理解題目的意義，也難以輕易在二次元的紙或黑板上表現出來。
但是我認為，透過「以畫圖表示」的程序，將複雜的內容具體化，學習者就可以由此學會「將問題簡化」的能力。

回溯數學的歷史，一般認為，數學是起源於算數與圖形的分析，因為這樣的緣故，「數學＝幾何學（或哲學）」的觀念，普遍...

序───3
第一章 幾何學入門
1-1 幾何是從哪裡來的？意義為何？
1-2 《幾何原本》的「點」、「線」、「面」
1-3 提高一個次元，解題立刻變簡單？
1-4 圓為什麼是360°？弧度又是什麼？
1-5 平行線竟然會相交…反思解題法！
1-6 簡化「內角和180°」的證明方法！
1-7 以轉鉛筆法測量角度
專欄：質疑歐幾里得？「幾何學中有帝王之路」的異想！
第二章 幾何的基礎在「變形」
2－1為什麼長方形面積是長×寬呢？
2－2面積不變，變成簡單的圖形
2－3改變形狀，簡化題目
2－4從三角形面積導出「數列公式」
2－5用面積思考鶴龜算，題目立刻變簡單
2－6食鹽水的濃度也能以面積法求出？
2－7蜂巢與狄利克雷圖
2－8三角形很堅固，四邊形比較弱
專欄：1796年3月30日發生的事情，解決了高斯對未來的煩惱
第三章 挑戰！不可思議的圓與π
3－1測量曲線的土地面積
3－2古埃及是用正方形來求圓面積？
3－3向萊因德紙草書的圓面積問題挑戰！
3－4用阿基米德窮盡法計算圓周率
3－5以直覺認識「圓的面積」
3－6 以重量求出圓周率的新方法！
3－7用牙籤求圓周率─布豐投針
3－8試證明圓周率比3.1大…
3－9內圓周和外圓周相差多少？
3－10克卜勒之從樸實的窮盡法發現了大世界！
專欄：阿基米德故意把錯誤的定理寫在信裡…
第四章 畢達哥拉斯定理與三角函數的智慧
4－1畢達哥拉斯定理是幾何學瑰寶！
4－2「無理數」誕生於幾何世界
4－3土地測量師與直角三角形
4－4頭腦體操：畢達哥拉斯定理的證明
4－5用三角形記憶sin、cos、tan
4－6運用廣泛的正弦定理、餘弦定理
4－7用木工角尺計算路徑
專欄：畢達哥拉斯「派」定理？
第五章 輕輕鬆鬆學會體積
5－1三角錐是角柱的1/3，實際體驗！
5－2卡瓦列里原理
5－3用卡瓦列里原理求出球體積！
5－4如何計算球的表面積
5－5推論地球的重量
5－6用圓頂平台求山的體積！
專欄：關孝和─將日本獨有的和算，提高至世界級
第六章 圓形的全等與相似
6－1全等與相似的誤解
6－2三角形的全等條件與相似條件
6－3利用相似測量金字塔高度
6－4以「空間圖形比」求出金字塔高度
6－5用棉紙測量樹的高度
6－6拋物線皆相似
6－7線對稱、點對稱
6－8徽章設計的對稱性問題
專欄：數學家泰勒斯的智慧
第七章 用積分求曲線面積
7－1估計數學島的面積
7－2數學島的真正面積
7－3曲線和直線所包圍的面積
7－4以積分算「區間」面積
7－5以積分計算Xn
7－6用切片來計算體積
7－7用積分求迴轉物體的體積
7－8證明圓錐體積「恰好是圓柱的1/3」
專欄：牛頓是「最後的蘇美人」？
第八章不可思議的「幾何宇宙」
8－1拓樸學是橡膠幾何學
8－2變形地圖是「切近本質」的拓樸學發想
8－3以「一筆畫發想」解開艱深問題
8－4「非歐幾里德」的新式幾何學
8－5拒絕菲爾茲獎與一百萬美元的數學家
8－6碎形為「自我相似」的幾何學
專欄：歐拉給公主的信－「幾何學中的帝王之路」
索引

序───3
第一章 幾何學入門
1-1 幾何是從哪裡來的？意義為何？
1-2 《幾何原本》的「點」、「線」、「面」
1-3 提高一個次元，解題立刻變簡單？
1-4 圓為什麼是360°？弧度又是什麼？
1-5 平行線竟然會相交…反思解題法！
1-6 簡化「內角和180°」的證明方法！
1-7 以轉鉛筆法測量角度
專欄：質疑歐幾里得？「幾何學中有帝王之路」的異想！
第二章 幾何的基礎在「變形」
2－1為什麼長方形面積是長×寬呢？
2－2面積不變，變成簡單的圖形
2－3改變形狀，簡化題目
2－4從三角形面積導出「數列公式」
2－5用面積思考鶴龜算，...