開始上課啦！
我們通常把數學知識當作數學，但這其實是一種誤解。
學習數學，不應該以懂得多少數學公式為目標，而是要從鍛鍊解決問題的過程中，學習所用到的思維方法。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，更能多角度開闢思維點，進行逆向思考。這樣的人在學習中很容易做到舉一反三，對所學知識活學活用，成績自然不差。 我在這本書裡精選了20個對人類數學發展史產生重要影響的數學問題，透過故事的形式，讓大家瞭解每個問題解決背後的過程、相關科學家軼事，以及這些問題對應的數學定律在人類生活中的重要影響；讓人們去感受這些科學家在數學問題上閃耀著的智慧光芒，去探究數學發展史上人類探索的脈絡；讓人們學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。
Lesson 03 古代到現代的計數演變
進位制的發明
思考：同一個數量，如何在不同進位制間轉換表達方式？
當從1 數到10 的時候，你就會發現數從一位變成了兩位，用「1」和「0」兩個數位的組合體代表了比9 還多1 個的涵義。繼續數到11 的時候，在同一個數中出現了兩個「1」，而這兩個「1」所代表的涵義是完全不同的，我們通常將左邊的1 所在的位置稱作十位，右邊那個位置稱作個位。當從9 數到10 的時候，個位雖然變回了0，但十位卻變成了1。所謂進位制也就是進位計數制，是人為定義的帶進位的計數方法。 人類的祖先最早並不需要進位制，因為現實生活中的東西太少，不需要數清太多的數目。著名物理學家伽莫夫在他的《從一到無窮大》一書中講了這樣一個故事：有兩個酋長打賭，看誰說的數字大。結果一個酋長說了3，另一個想了半天，說：「你贏了。」在東西很少的時候，人們沒有大數字的概念，超過3 個就籠統地稱為「許多」了，至於5 和6 哪個更多，對他們來講沒有什麼意義，因為他們很難擁有那麼多的東西。
原始人類如何計數？
但是，隨著人類的發展，身邊的東西越來越多，終於多到需要數一數的時候。他們通常會在獸骨上刻上一道道刻痕，每一道代表一個數。人們在今天非洲南部的史瓦濟蘭發現了距今4 萬多年的列彭波骨，在剛果發現了2 萬年前的伊尚戈骨，上面都有很多整齊而深深的刻痕，人們認為這些是最早的計數工具。 但是這種方法很容易數錯，線太多容易花眼，因此，人們逐漸地發明了一些一眼就能看懂的計數符號。例如，我們通常會在黑板上畫「正」字，統計得票結果，每個「正」字代表「5」；在很多英語系國家常使用的四豎槓加一橫槓的1-5 計數法，以及拉丁語系國家用的口字形1～5 計數法，都屬於計數符號。 計數符號和我們今天用的數字還不是一回事。計數符號是數一個數畫一筆，一一對應，非常直觀，但「1、2、3」這樣的數字是抽象的，二者之間存在一個巨大的變化。由於數字演化是個連續的過程，所以有的數位還保留了計數符號的特點。例如，無論是中國還是古印度的「1、2、3」都是相應數量的幾橫，羅馬數字的「1、2、3」則是相應的幾個豎槓（I、II、III），美索不達米亞的楔形數字則完全保留了計數符號的特點。
十進位的出現
數字的出現伴隨著進位制的發明，如果沒有進位制，幾乎不可能表示一個大的數字。例如，我們要從1表示到10000，不可能創造出10000個不同的數字，表達10000那麼多的時候，我們只需要1個1和4個0就夠了。至於數字和進位制是什麼時候產生的，這依然是個謎。今天我們能夠看到的最早的數字以及相應的進位制出現於6600年前，那時的美索不達米亞已經有了六十進位，後來，6100年前的古埃及則有了十進位。 十進位的出現則是順理成章的，因為人類長著10個手指頭，用十進位最方便。如果我們長了8根手指頭或者12根手指頭，那麼今天用的就是八進位制或者十二進位了。有人可能會覺得十二進位很彆扭，因為12的整數次方，例如：12（12的一次方）、144（12的平方）、1728（12的立方）等數字，都是有零有整，不像10進位制的10、100、1000看上去舒服。
其實，如果人真有12根手指頭，那看到12、144、1728……就會比看10的整數次方更「親切」。注意，為了讓大家更好理解，這裡12、144、1728依然採用了十進位中的寫法。
在十進位中，我們用從0到9十個數字來表達所有的數；如果用十二進位來表達，我們還需要設計2個符號來分別代表10和11，假設它們分別寫作a和b，那麼我們的數數過程就會變成0123456789ab，再往下數，才是十進位中的10，而其中的1就代表著比b多1個，而不是比9多1個了，十二進位中的「10」代表的是十進位中的「12」，因為從左數第一位的涵義已經發生了變化。
二十進位和六十進位的出現
除了十進位，人類歷史上其實出現過很多種進位制，但是因為使用上不方便，它們要嘛消失了，要嘛今天即使存在也很少使用。例如，馬雅文明就使用二十進位，顯然他們是把手指和腳趾一起使用了，馬雅文明實際上又把20分為4組，每組5個數字，正好與手指、腳趾分別對應。
但是二十進位實在不方便，想一想，背九九乘法表要從1×1一直背到19×19（共361個）是多麼痛苦的事情！所以，採用這種進位制，數學是難以發展起來的。二十進位在很多文明中都曾和十進位混用過，但最後都被邊緣化了。 比二十進位更複雜的是六十進位，它源於美索不達米亞。從1到9都是9組相似的楔形的重複，而10則是另一個楔形。因此，美索不達米亞的六十進位實際上是十進位和六十進位的混合物。 既然二十進位已經很複雜了，那為什麼要搞出更複雜的六十進位呢？這有兩個重要的原因。 首先，是為了計算日期和時間。當農業初具雛形後，人類就要找到每年最合適的播種時間和收穫時間。如果今年在春分前後播種，當年稻穀長勢良好，明年大家還會選擇在同樣的時間播種，那麼就需要知道一年有多少天。由於一年是365天多一點，約等於360天，因此把一個圓分為360度是合情合理的事情。而如果在春分和秋分（這兩天全球晝夜平分，太陽軌蹟正好是個半圓）時，從地球上觀測太陽，自日出到日落，太陽劃過天頂的軌蹟長度正好是在地球上看到太陽直徑的180倍，1度正好對應1個太陽直徑。因此，把角度的1度定為這麼大，從天文觀察來講極為方便。 當然，直接用360作為進位制單位太大了，更好的辦法是用一個月的時間30天或者30天的兩倍60天作為進位制的單位。你有沒有想過，為什麼當時的人們選了60而不是30。這就涉及60這個數的特殊性質了——60是100以內約數最多的整數，它可以被1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60整除，因此把60個東西分給大家很好平分。這是使用六十進位的第二個原因。由於美索不達米亞採用了六十進位，後來它又被傳到了古希臘，於是我們今天學幾何時計量角度，或者學習物理時度量時間，都不得不採用它。在幾何學上，1度角等於60分，1分角等於60秒；在時間上，1小時等於60分鐘，1分鐘等於60秒。可見那些我們習以為常的事物背後，往往都有一個令人恍然大悟的原因。
十六進位與半斤八兩
無論是東方還是西方，在衡量重量時都使用過十六進位。例如，中國過去的1斤是16兩，英制1磅是16盎司。這是採用天秤二分秤重的結果，這個習慣甚至影響到了美國紐約證券交易所股票的報價，直到2000年前後，他們依然採用1美元的1/2、1/4、1/8和1/16來報價，這樣非常不方便，因此後來才採用了那斯達克以0.01美元為最小單位的報價方法。所以，當別人用「半斤八兩」形容你的時候，可不要開心自己是八兩，在古代八兩就是半斤。
二進位竟源自《易經》
人們今天使用的進位制，多出於生活需要，自然產生和不斷優化的產物。但是還有一種在今天被廣泛使用的進位制——二進位是人為發明出來的，發明它的就是大名鼎鼎的數學家萊布尼茨。
萊布尼茨是一位東方文化的熱愛者，他透過法國耶穌會西元1685年派往中國的傳教士白晉接觸了中國的《易經》，見到了八卦圖。萊布尼茨看到中國人透過陽爻（—）和陰爻（--）的組合可以表示64種不同符號，從而受到啟發，他將陰爻變成0，陽爻變成1，這樣就用000000-111111表示出了中國八卦盤上的64個卦象。萊布尼茨進一步將十進位數字字透過0和1的組合表示出來，這就是二進位。然後，萊布尼茨給出了使用二進位進行加、減、乘、除的方法。《易經》是最早透過兩種不同的符號表達這種資訊的文獻，萊布尼茨只用0和1來計數，並且提出了基於這兩個數位的完整算術體系。
今天，二進位被用於電腦當中，這是因為它比十進位更容易透過機械或者電路來實現，0和1其實也代表著是和否。在利用二進位實現計算的研究中，英國的一位中學數學老師喬治•布林用一系列邏輯符號表示出了二進位的邏輯演算，而美國著名科學家香農則證明了布林代數可以透過繼電器電路實現。他們對電腦應用有重要貢獻。
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