素養導向：數學教學實務(2)

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鐘世凱 國立臺灣藝術大學校長
張芳全 國立臺北教育大學教育經營與管理系系主任

第0章

質數、因數與倍數的教學實務

有鑑於臺灣108 年提出十二年國民基本教育提升數學素養的重要（教育部，2018），本章整理質數、因數與倍數的課程標準，以及相關的文獻與相對應的教學活動。

一、 課程標準：NCTM（2000）與教育部（2018）的比較
於6-8 美國課程標準，數與計算向度的指標為使用因數、倍數、質因數與質數互質的性質來解題，教學的年級為六至八年級。而臺灣的課程標準有5 個指標，分別於五至七年級對因數與倍數的內容設計。如：
N-5-3：學生需理解因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數的意義，即教師需協助學生理解因數與倍數的使用時間與需求。學生於五年級還不需要使用短除法。
N-6-1：明確規範學生需對20 以內的質數和質因數進行分解，須使用短除法做質因數分解。
之後於N-6-2，學生要能找到最大公因數與最小公倍數，使用質因數分解法與短除法來解題。
對於N-7-1 學生要能找到100 以內的質數，之後學生需應用N-7-2 的質因數分解的標準分解式，解決因數與倍數的問題。從臺灣的課程標準來看，學習因數與倍數的關鍵概念，在於質因數分解。能快速解決問題的方法，則為短除法與質因數的標準分解式。而標準分解式是在七年級。

二、質數、因數與倍數的學習
因數與倍數的概念，最有名的故事就是「韓信點兵」了，以下摘錄之。
「卿部下有多少兵卒？」漢皇帝劉邦單刀直入地問道。
「敬稟陞下，兵不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。」楚王韓信答道。
大漢皇帝劉邦酒醒了幾分，本來按照張良的計畫，這次皇帝巡狩雲夢大澤，是要趁機捉拿韓信。如今韓信奉召在座，只要一聲令下，間壁伏下的甲士便可動手了。可是，問題中的問題是：韓信手下有多少兵卒？會不會引起大亂？陳平使盡神機也查不明白兵數。動手？不動手？真是猶豫難決的事。現在乘著酒酣耳熱，單刀直入地問了。結果是什麼「三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」？多少兵？劉邦帶著詢問的臉色，望著張良。
張良正在心中緊張地搬運「籌策」計算，滿臉迷惑。當他接觸到皇帝的目光，立刻低聲而惶恐地回答：「兵數無法算，不可數！」
從上述的問題，到底有多少的數量符合：三個三個一數剩下二個，五個五個一數剩下三個，七個七個一數剩下二個呢？如果先從三個與七個一數，均剩下二個來看，三與七的公倍數為多少，為21，均剩下二個，為23，若是除以五，剛好剩下三個。所以最小符合數量的是23。
那下一個符合數量的數字是多少呢？可從3、7 的倍數來看，21、42、63⋯⋯，從這些數量來推，即可找出符合條件的數量。因數與倍數概念，在生活的使用相當多元，於108 年課綱（教育部，2018），五年級學童要對因數、倍數、公因數與公倍數概念能理解與應用；六年級學童要對最小公倍數與最大公因數、質因數分解法與短除法，能理解兩數互質的概念。並能運用分數的約分與擴分。
從因數概念來看，因數是討論一個整體量，可以被哪些整數整除，沒有剩下的意義。例如：探討12 的因數概念，可以發現12 可以被1 整除、被2 整除、被3 整除、被4 整除、被6 整除與被12 整除。所以，1、2、3、4、6 與12 都可被視為12 的因數。
倍數概念是討論一個整體量，可以經由整數的乘法倍數運算，產生整體量的倍數。例如：探討12 的倍數時，以「12」為整體量的倍數可以衍生12、24⋯⋯，這些以「12」為整體量的整數乘積所生成的正整數，稱為「12」的倍數。

( 一 ) 質數、因數與倍數的定義
依據教育部（1993）數學課程綱要對於因數與倍數概念的定義為：「一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數，乙稱為甲的倍數。」之後又規範了於國小階段只學習正因數、正倍數，於國中階段才引進負因數與負倍數的學習。之後教育部（2003）的數學綱要定義為：「一正整數a 若能整除另一正整數b，a 稱為b 的因數，b 稱為a 的倍數。」
謝堅（1995）則由除法觀點來討論因數的意義，即以總量為起點，找出總量可能組成的單位量有哪些。例如12，其因數有1、2、3、4、6、12，即可看出12 可被切分為：12 個1、6 個2、3 個4、4 個3、2 個6、1個12。
相對於因數，倍數的名詞對於學生而言較為熟悉。於學童開始接觸因數概念之前，他們在小學二年級時，即學習過「幾的幾倍」的概念，因此倍數概念較因數而言更為容易。
從除法運算，學童若在除法的運算有困難，則在尋找因數與倍數概念也會有學習問題（陳博文，1996）。這個結果對於尋找因數的過程，在於倍數除以因數，再經整除的過程（Gray & Tall, 1993）。朱建正（1997）發現此種概念含有隱藏的知識（tacit knowledge），但在教學中未被發現。要解釋這樣的關係，如用18 ÷ 3 = 6，學童所學到的6 是商數，3 是除數；然而，在因數與倍數概念，3 與6 都是18 的因數。於三年級階段，學生並不會接觸。
黃國勳與劉祥通（2003）認為因數與倍數的概念，是對於一個整體量小於與大於的關係，如12 的因數是3 和4，而12 的倍數是24 與36 。故從數字12 的因數與倍數關係來看，數字關係是一體兩面的數學概念。以因數的概念階層來看，因數是由整數乘除法等元素構成，這些元素為「子概念」或「下屬概念」（sub-concept）。
相對的，因數概念則為其子概念的「上位概念」（superconcept）。概念與概念之間具有階層關係，依序分為(1) 理解因數概念，學童才能列出一數的所有因數，由公因數到最大公因數；(2) 理解倍數概念，學童才能列出數的倍數，由公倍數到最小公倍數；(3) 從乘除運算、分數表徵、比例以及數列規律等，找出因倍數關係；(4) 將因倍數觀念應用於生活問題，找出解決問題的策略，如有些學者發展因數與倍數的情境教學，以提升學生對因數與倍數的學習（謝如山與潘鳳琴，2012）。

( 二 ) 因數與倍數的學習困難
學童理解因數概念，一直是教師困擾的單元。相關研究（林珮如，2002；陳標松，2003；蕭金土，1995）指出：學童在學習因數時存有些許迷思概念，在於無法理解因數概念，產生學習上的瓶頸。
黃國勳與劉祥通（2003）從教學實務和診斷學童因數迷思概念的實例，發現五年級學童學習因數時，可能在認知運思能力、先備知識、生活經驗、語意理解和過程概念（pro-cept）等五個層面，產生學習困難。從認知運思能力、語意理解和生活經驗三個層面，因數概念是由整除定義而來，為二層次的抽象概念，定義因數時「被誰整除」或「整除誰」的說法，不僅產生理解的困擾，於判斷因倍數關係也易產生混淆。
因此本章於後面的活動設計從發現質數、因數到倍數，再使用因數與倍數的教具古氏數棒操作，到撲克牌遊戲，以建立學生的因數與倍數概念，最後再以韓信點兵的故事，協助學生應用因數與倍數概念。


(節錄)

第0章

質數、因數與倍數的教學實務

有鑑於臺灣108 年提出十二年國民基本教育提升數學素養的重要（教育部，2018），本章整理質數、因數與倍數的課程標準，以及相關的文獻與相對應的教學活動。

一、 課程標準：NCTM（2000）與教育部（2018）的比較
於6-8 美國課程標準，數與計算向度的指標為使用因數、倍數、質因數與質數互質的性質來解題，教學的年級為六至八年級。而臺灣的課程標準有5 個指標，分別於五至七年級對因數與倍數的內容設計。如：
N-5-3：學生需理解因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數的意義，即教...

欣聞如山教授《素養導向2》專書出版，還記得今年3月才拿到《素養導向1》的贈書，事隔未久，又有一本專書，能為之序，榮幸之至。

如山教授與我同年進入本校服務，同梯的情誼至深、至切。如山教授於教學、研究、服務均有卓著貢獻，為本校優越的學術人才。

於教學領域，如山教授的專長領域在數學，數學是科學之母，對於本校學生的學習，能應用藝術與數學的結合。再者，數學可培養學生的邏輯思維，理性思考，為學習的基礎能力。最後，如山教授長期要求本校師培學生協助鄰近國小學生數學課程，已逾20年，其深知灼見在能協助國小學生啟發數學興趣，同時亦強化本校學生的數學能力，其仁義之舉，產生了多贏的成效。近期又因開設多元課程，幾何構圖科技，知曉近期研究專注於幾何科技與藝術的結合，AI為目前發展的趨勢，期能將幾何科技應用於中小學領域，以嘉惠更多學子。

於研究領域，亦知如山教授發展探究數學課程，與國小教師合作，於新北市頂溪國小、宜蘭縣人文國小與桃園市林森國小，歷經十多年的實務研究。亦曾主持國科會計畫、教育部計畫、新北教育局計畫、桃園教育局計畫等，出版專書9本，期刊論文近30餘篇，於專業領域有顯著的貢獻。

於行政領域，如山教授擔任三任師培中心主任，第一任期間承辦高中藝術生活科，辦理藝術生活學科專門課程，本校為全國第一所藝術生活科認證學校，於暑假辦理藝術生活學分班，已培育超過2,000多名藝術生活科教師；並於任內創立藝術與人文教學研究所，擔任第一任所長。於第二任期間，任內負責教育部評鑑，中學與小學學程均獲一等殊榮。於第三任主任期間，承辦澳門藝術專班，成功招生，整合全校資源，如表演學院、設計學院、美術學院師資，為學校開拓新的教學與學習領域，並與澳門理工學院建立穩固的交流情誼。

於服務領域，如山教授於主任任內開始辦理史懷哲服務計畫，與師培教授一同於馬祖、南投、新竹，以及新北市偏遠地區，如東北角、西北角、三峽等區，帶領近90位師培學生進行藝術服務，辦理時間近十年。並創辦師資培育中心新生訓練、結業典禮、外埠參觀、正式教師實務分享會議等制度，而這些制度目前仍持續辦理中。

最後本書的成果源自於如山教授長期協助鄰近國小學生，及與國小教師研究發展課程的結晶，期待我的摯友，能持續他的專業，點亮更多的光輝。


國立臺灣藝術大學校長

鐘世凱

112.8.1



得知如山教授在數學教育、學校行政、評量與統計等領域學有專精，非常高興能為之序。

本書撰稿之初，有幸能先窺探《素養導向1》與《素養導向2》的原貌，全書的範圍涉略甚廣，從《素養導向1》的數學教師專業、數學教學趨勢、數數、位值、整數的加法、減法、乘法、除法，到《素養導向2》的因數與倍數、比與比值、分數、小數、統計與機率到幾何與空間概念等。應涵蓋了國小重要的數學概念，甚至有些教學內容已到國中的程度。

與如山教授有更多的接觸，是於本校所舉辦東亞地區校長學術研討會，於數次所發表的學術論文均與校長學高度相關，如校長的道德領導、願景領導及課程與教學領導。於此，如山教授所進行的研究取向，並非只重在數學教育專業領域，於學校行政領域，亦多有琢磨。

同時，在評量方面，對於真實評量於數學概念的應用，也有一些論述，如應用真實評量於數感概念，應用真實評量於時間概念等文，可看到他對於評量的專業。

再者，如山教授的統計專業，不但對於線性迴歸、變異數分析、結構方程模式有所涉略，亦專精於社會學統計領域的統計模式，如latent class model、loglinear related models、the RC association models等。期望能在未來看到他有相關統計專書的問世。

最後，我與如山教授一見如故，從他的待人處事，看到很多與我相似的地方。從他的身上看到誠懇與勤勉，在學術領域一直努力不懈，是值得一起相互鼓勵切磋的好朋友。我相信他能將最真實、有效益的專業傳遞給所需要的人，期待這本書能嘉惠更多的教育夥伴。


國立臺北教育大學教育經營與管理系系主任

張芳全

112.8.1

欣聞如山教授《素養導向2》專書出版，還記得今年3月才拿到《素養導向1》的贈書，事隔未久，又有一本專書，能為之序，榮幸之至。

如山教授與我同年進入本校服務，同梯的情誼至深、至切。如山教授於教學、研究、服務均有卓著貢獻，為本校優越的學術人才。

於教學領域，如山教授的專長領域在數學，數學是科學之母，對於本校學生的學習，能應用藝術與數學的結合。再者，數學可培養學生的邏輯思維，理性思考，為學習的基礎能力。最後，如山教授長期要求本校師培學生協助鄰近國小學生數學課程，已逾20年，其深知灼見在能協助國小學生啟發數...

自序

非常感謝本校鐘校長世凱與國立臺北教育大學張主任芳全能為本書撰寫推薦序，感念於心。

《素養導向1》與《素養導向2》的出版要感謝陳前校長志誠與呂館長允在的大力支持，並感謝五南張副總編毓芬與唐筠小姐的用心，才能將此書的全貌展現在讀者眼前。

本書的章節延續《素養導向1》的撰寫架構，可分為六個章節，以下說明：

0. 質數、因數與倍數的教學實務：本章比較美國與臺灣108年課綱質數、因數與倍數課程標準，以及質數、因數與倍數的相關研究與教學活動。本章提供15個教學活動，如畢達哥拉斯學派的完全數、韓信點兵的因數倍數問題、使用撲克牌學習因數倍數的活動等。
1. 比與比例的教學實務：本章比較美國與臺灣108年課綱比與比例課程標準，以及比與比例的相關研究與教學活動。本章提供13個教學活動，如應用正方形分數板教比例概念、介紹基準量與比較量、介紹正反比的比例題型、繪製縮小圖與放大圖等。
2. 分數的教學實務：本章比較美國與臺灣108年課綱分數標準，以及分數的相關研究與教學活動。本章提供18個教學活動，如應用圓形分數板介紹整體1的分數概念、如何建立等值分數概念、分數四則運算概念，並介紹較高階的分數問題，如數學家丟番圖的解題概念。
3. 小數的教學實務：本章比較美國與臺灣108年課綱小數標準，以及小數的相關研究與教學活動。本章提供33個教學活動，如建立小數與分數的關係，應用長度、面積與體積模式介紹小數，介紹小數四則運算，包括整數與小數、分數與小數及小數與小數的運算，最後則為小數與時間、小數與百分率，以及小數在生活的應用等。
4. 統計與機率的教學實務：目前臺灣於統計與機率的課程設計於國小、國中領域，均需進行調整，故本章比較美國與臺灣108年課綱統計與機率標準，對臺灣目前的統計與機率提出具體的建議。本章亦提出統計與機率的相關研究與教學活動。提供31個教學活動，如統計方式與圖形—長條圖、折線圖、圓形圖等。於國中階段可介紹集中量數，如眾數、中位數、平均數，也可介紹莖葉圖、盒狀圖等。亦提出如何介紹統計分配、變異數、相關圖形，與如何進行問卷設計、進行科學的統計實驗等。於機率部分，介紹模擬機率與機率在生活的應用等。
5. 幾何與空間的教學實務：目前臺灣於幾何與空間的課程設計於國小、國中領域，均有相當的修正空間，故本章比較美國與臺灣108年課綱幾何與空間標準，對臺灣目前的幾何與空間提出具體的建議。本章亦提出幾何與空間的相關研究與教學活動。本章提供29個教學活動，如二維、三維圖形的特徵，如何應用教具如釘板介紹四邊形的特徵，應用智慧片找出正立方體展開圖，應用七巧板、五方連塊做出所需的圖形；再者，介紹扣條做出不同的三角形、四邊形與透視圖，亦可找出圓周率等；另介紹柏拉圖的正多面體、正立方體的旋轉軸、對稱圖形的旋轉，以及畫出點對稱圖形與圖形的平移等。

本書六個章節大部分為國小高年級或至國中的課程，對於國中小課程的銜接，或對於較困難的數學概念，提供了一些教學建議。而本書的疏漏之處，亦可聯繫作者，以供後續的修正參考。

最後，感謝我的家人，我的妻子給我最大的支持，感謝我的父親謝志勇校長，給我專業的肯定，讓我一直在專業上精進。

國立臺灣藝術大學師資培育中心

謝如山

112.8.1

自序

非常感謝本校鐘校長世凱與國立臺北教育大學張主任芳全能為本書撰寫推薦序，感念於心。

《素養導向1》與《素養導向2》的出版要感謝陳前校長志誠與呂館長允在的大力支持，並感謝五南張副總編毓芬與唐筠小姐的用心，才能將此書的全貌展現在讀者眼前。

本書的章節延續《素養導向1》的撰寫架構，可分為六個章節，以下說明：

0. 質數、因數與倍數的教學實務：本章比較美國與臺灣108年課綱質數、因數與倍數課程標準，以及質數、因數與倍數的相關研究與教學活動。本章提供15個教學活動，如畢達哥拉斯學派的完全數、韓信點兵的因數...

推薦序　鐘世凱校長
推薦序　張芳全主任
自序

第0章 質數、因數與倍數的教學實務
第1章 比與比例的教學實務
第2章 分數的教學實務
第3章 小數的教學實務
第4章 統計與機率的教學實務
第5章 幾何與空間的教學實務
參考文獻

推薦序　鐘世凱校長
推薦序　張芳全主任
自序

第0章 質數、因數與倍數的教學實務
第1章 比與比例的教學實務
第2章 分數的教學實務
第3章 小數的教學實務
第4章 統計與機率的教學實務
第5章 幾何與空間的教學實務
參考文獻