選擇權商品模型化導論：使用Python語言

Chapter1　無套利定價準則（一）
　　You can make even a parrot into a learned political economist.
　　All he must learn are the two words ‘supply’ and ‘demand’.－Thomas Carlyle
　　上述諺語相當於「教鸚鵡學會供給與需求二字，則鸚鵡亦可以變成經濟學家」。前述諺語若應用於財務領域，則變成「教鸚鵡學會套利（arbitrage）一字，則鸚鵡亦可以變成財務學家（financial economist）」。上述諺語雖然有些誇大，但是也說明了「套利或無套利（no-arbitrage）」的觀念於財務領域內扮演著重要的角色。
　　Ross（1987）曾說明「財務學（Finance）」是研究資本市場的供給與運作，以及資本資產的定價（pricing）。財務學的方法是欲找出金融契約或工具的替代品以定價前者；或者說，利用複製品來為金融契約或工具定價。投資金融契約或工具的特色是「時間」與「未來收益之不確定性」。因此，財務學的方法所強調的是如何處理「時間」與「不確定性」二因素以定價金融工具。
　　本章與下一章利用一個簡單的無套利定價模型，以說明「時間」與「不確定性」所扮演的角色。我們發現透過矩陣代數（matrix algebra）可以簡化操作，其中矩陣代數的操作將利用電腦程式語言如Python當作輔助工具。

1.1 簡單的線性代數觀念
　　於尚未介紹之前，我們有必要複習（或介紹）一些簡單的線性代數（linear algebra）觀念，尤其是向量（vectors）與矩陣（matrices）的意義與其應用；另一方面，讀者也可以先熟悉Python的操作。
1.1.1 向量與矩陣
　　一個n階（ n-tuple）實數可稱為具有n維度的向量（dimensional vector）。例如：
　　x=[x1 x2 ... xn]與y=[y1 y2 ... yn]
　　其中x, y∈Rn。x與y分別為Rn內之一點，可稱為二個行向量（column vectors），其「型態（shape）」皆可寫成n×1（讀成n by 1），而其維度則皆為n。例如：圖1-1繪製出n=2維度空間（或平面坐標）上二點a與b，即：
　　a=[1 2]與b=[2 1]
　　而我們知道a與b向量，其實就是(0, 0)（原點）與點(1, 2) 以及(0, 0) 與點(2, 1)的線段。
　　向量可以進行二種基本的算術操作：純量乘法（scalar multiplication）與加法（addition）。例如：圖1-1 內的2a與-a表示純量乘法，而c就是加法的應用，即：
　　2a=[2 4]、-a=[-1 -2]或c=a+b=[1 2]+[2 1]=[3 3]
　　可看出上述運算結果皆可以於圖1-1內找到；或者說，圖1-1顯示出2維平面空間所有實數向量之集合，可寫成R2。圖1-1顯示出二個特色：
(1) 於純量乘法如2a下，2a∈R2。
(2) 於加法如c=a+b下，c∈R2。
　　上述二個特色顯示出R2是封閉的（closed）。

Chapter1　無套利定價準則（一）
　　You can make even a parrot into a learned political economist.
　　All he must learn are the two words ‘supply’ and ‘demand’.－Thomas Carlyle
　　上述諺語相當於「教鸚鵡學會供給與需求二字，則鸚鵡亦可以變成經濟學家」。前述諺語若應用於財務領域，則變成「教鸚鵡學會套利（arbitrage）一字，則鸚鵡亦可以變成財務學家（financial economist）」。上述諺語雖然有些誇大，但是也說明了「套利或無套利（no-arbitrage）」的觀念於財務領域內扮演著重要的角色。
　　Ross（1987）曾說...

　　以下將本書簡稱為《選模》。《選模》的名稱原本為「衍生性商品的數學導論：使用Python語言」；但是，因《選模》的內容大多集中於介紹或說明選擇權商品（的數學或定價），故沒有使用上述名稱。「選擇權商品的數學或模型化過程」主題，的確相當吸引人，不過其跨入的門檻並不低；另一方面，上述主題仍太過於龐大，故《選模》只能涵蓋屬於「導論」的部分。
　　眾所皆知，衍生性商品的數學可稱為隨機微積分，不過後者顯然不等於前者，是故衍生性商品的數學或模型化過程並不容易接近或掌握。例如：檢視《選模》內的參考文獻，讀者應該會同意筆者的看法；換句話說，若我們欲學習或認識衍生性商品，其中必然會牽涉到衍生性商品的數學，那應如何是好？《選模》的目的，就是欲提供一個可以快速學習的途徑。
　　完成《選模》後，筆者有下列的感想：
(1) 欲學習衍生性商品或對應的數學，筆者還是認為必須以程式語言當作輔助工具；因此，讀者應至少熟悉一種程式語言。
(2) 拜許多文獻或書籍之所賜，其實許多模型或方法已逐漸明朗化或可以掌握，只是上述模型或方法可能使用較為抽象的數學或概念，使得我們並不容易親近；此時，若能將上述數學或概念用程式語言表示，反而會降低學習的困難度。
(3) 拜網路普及之所賜，許多程式語言的原始碼大概皆可以於網路上找到，隱含著程式語言學習的門檻已降低；是故，讀者應習慣利用網路學習程式語言。
(4) 就筆者而言，學習如衍生性商品等專業的文獻或書籍，若能同時提供對應的原始程式碼，不僅具有強烈的學習企圖心，同時亦能迅速進入狀況。
(5) 專業書籍內容若可以用程式語言表示，建議應隨書提供原始程式碼；如此，讀者方能掌握。
(6) 換個角度思考，若《選模》沒有提供對應的程式碼，學習《選模》的困難度應會大增。
　　如前所述，《選模》欲提供一種能快速學習衍生性商品（如選擇權商品）模型化的方式，其內容偏向於Černý（2004）、Hirsa與Neftci（2014）、Petters與Dong（2016）、Oosterlee與Grzelak（2020，簡稱OG）或其他，其中OG隨書有提供一些對應的Python程式碼。上述程式碼給予筆者相當程度的啟示，使得《選模》得以順利完成；換言之，《選模》全書以Python書寫，其仍秉持筆者之前書籍的特色，即只要書內可以用Python表示，隨書皆附有對應的Python程式碼供讀者參考。因此，《選模》全書的內容（包括圖形的繪製、資料的讀取使用或模型參數之估計等）是完全可以複製的，此大概是筆者一系列書籍的優點，或是當代專業書籍撰寫的特色之一吧！專業書籍的內容若是無法複製，豈不是讓人覺得遺憾。
　　《選模》的跨入門檻並不高，畢竟只是屬於「導論」，故書內省略不少的數學證明；取代的是，筆者反而用模擬的方式說明。或者說，《選模》其實只是一系列有搭配程式語言的濃縮數學式子或觀念而已。因此，《選模》適合給對選擇權商品有興趣的讀者使用。《選模》全書分成10章，其中第1∼2章說明完全市場與不完全市場的特色與差異。第3章介紹CRR的二項式定價模型，而從該模型內可以取得一些基本的觀念。第4與5章則說明隨機微積分的意思，其中包括平賭、維納過程、隨機積分等略為抽象觀念的介紹與說明。第6章說明偏微分方程式於選擇權定價內所扮演的角色，而第7章則介紹目前廣泛使用的等值平賭測度方法，其中包括Radon-Nikodym微分與Girsanov定理的闡述。
　　第8章說明資產價格跳動的Lévy過程，其中包括著名的跳動－擴散、VG或NIG等過程。第9章介紹用於選擇權定價之較為簡易的COS方法，其特色是利用對應的特性函數來定價。最後，第10章則介紹隨機波動模型，其中包括Heston模型與Bates模型。隨機波動模型的特色是可以解釋更多隱含波動率偏態或微笑等特徵。是故，《選模》可以與筆者的其他著作如《時選》或《歐選》互補。
　　筆者最早原本計畫用R語言介紹經濟計量方法或時間序列分析等觀念，最後竟然接觸到衍生性商品主題而採用Python語言說明，當初的確始料未及。這之間，也只不過多接近一種程式語言而已。其實，應該不需要再圍繞於專業領域內打轉，不得其門而入；讀者若毫無頭緒，不妨試試。沒有接觸程式語言，一切皆枉然。《選模》內仍附上兒子的一些作品，與大家共同勉勵。感謝內人提供一些意見，筆者才疏識淺，倉促成書，錯誤難免，望各界先進指正。最後，祝　操作順利。

林進益
寫於屏東農科
2023/10/10

　　以下將本書簡稱為《選模》。《選模》的名稱原本為「衍生性商品的數學導論：使用Python語言」；但是，因《選模》的內容大多集中於介紹或說明選擇權商品（的數學或定價），故沒有使用上述名稱。「選擇權商品的數學或模型化過程」主題，的確相當吸引人，不過其跨入的門檻並不低；另一方面，上述主題仍太過於龐大，故《選模》只能涵蓋屬於「導論」的部分。
　　眾所皆知，衍生性商品的數學可稱為隨機微積分，不過後者顯然不等於前者，是故衍生性商品的數學或模型化過程並不容易接近或掌握。例如：檢視《選模》內的參考文獻，讀者應該會同...

第1章 無套利定價準則（一）
1.1 簡單的線性代數觀念
1.1.1 向量與矩陣
1.1.2 子空間、線性獨立與矩陣之秩
1.2 一個簡單的財金市場模型
1.2.1 一個單期有限狀態模型
1.2.2 資產收益之向量與矩陣
1.2.3 線性獨立與多餘資產
1.3 完全市場的特色

第2章 無套利定價準則（二）
2.1 完全市場與市場之不完全
2.1.1 完全市場與不完全市場之分類
2.1.2 找出最適避險
2.1.3 QR分解法
2.2 套利
2.3 狀態價格與套利理論
2.4 風險中立機率

第3章 二項式定價
3.1 一般的設定
3.2 CRR的樹狀圖
3.2.1 CRR的方法
3.2.2 CRR的架構
3.2.3 風險中立下的CRR樹狀圖
3.3 CRR樹狀圖的應用
3.3.1 CRR之選擇權定價
3.3.2 GBM

第4章 隨機微積分（一）
4.1 隨機過程
4.1.1 機率空間
4.1.2 隨機變數
4.1.3 隨機過程
4.1.4 隨機變數的收斂
4.2 平賭過程
4.2.1 濾化與適應過程
4.2.2 平賭
4.3 維納過程
4.4 第2級變分與共變分

第5章 隨機微積分（二）
5.1 SDE
5.2 隨機積分
5.2.1 隨機黎曼積分
5.2.2 隨機斯蒂爾傑斯積分
5.3 Itô微積分
5.3.1 Itô積分
5.3.2 Itô’s lemma

第6章 偏微分方程式
6.1 為何存在PDE？
6.2 何謂PDE？
6.2.1 PDE的分類
6.2.2 數值方法
6.3 有限差分法

第7章 等值平賭測度
7.1 一個例子
7.2 機率測度
7.2.1 何謂機率測度？
7.2.2 Radon-Nikodym微分與Girsanov定理
7.3 BSM模型與風險中立定價
7.3.1 從BSM模型至風險中立定價
7.3.2 Feynman-Kac定理
7.4 資產定價的基本定理

第8章 Lévy過程
8.1 一些準備
8.1.1 càdlàg函數
8.1.2 特性函數
8.1.3 快速傅立葉轉換
8.2 何謂Lévy過程？
8.2.1 Lévy過程與無限可分割性分配
8.2.2 Lévy-Khintchine定理與Lévy-Itô分割定理
8.3 指數Lévy過程
8.3.1 跳動－擴散過程
8.3.2 NIG與VG過程

第9章 COS方法
9.1 PDF的估計
9.1.1 傅立葉餘弦級數擴張
9.1.2 CGMY過程
9.2 選擇權定價
9.2.1 COS之選擇權定價
9.2.2 截斷積分之選擇
9.3 隱含波動率微笑

第10章 隨機波動模型
10.1 多變量維度的SDE與仿射過程
10.1.1 多變量維度的SDE
10.1.2 仿射擴散過程
10.2 Heston模型
10.2.1 CIR過程
10.2.2 Heston模型的模擬與選擇權的定價
10.3 隱含波動率偏態
10.3.1 Heston模型
10.3.2 Bates模型

參考文獻
中文索引
英文索引

第1章 無套利定價準則（一）
1.1 簡單的線性代數觀念
1.1.1 向量與矩陣
1.1.2 子空間、線性獨立與矩陣之秩
1.2 一個簡單的財金市場模型
1.2.1 一個單期有限狀態模型
1.2.2 資產收益之向量與矩陣
1.2.3 線性獨立與多餘資產
1.3 完全市場的特色

第2章 無套利定價準則（二）
2.1 完全市場與市場之不完全
2.1.1 完全市場與不完全市場之分類
2.1.2 找出最適避險
2.1.3 QR分解法
2.2 套利
2.3 狀態價格與套利理論
2.4 風險中立機率

第3章 二項式定價
3.1 一般的設定
3.2 CRR的樹狀圖
3.2.1 CRR的方法
3.2.2 CRR的架構
...