第三章
牛頓和萊布尼茲
微積分發明之爭
在十八世紀之交，一個英國人伊薩克．牛頓和一個德國人威爾海姆．戈特弗里德．萊布尼茲，投入了一場激烈的爭鬥。他們從未謀面，很顯然的，也沒有動到拳頭和刀子。但科學史家丹尼爾．布爾斯丁將他們的爭端命名為「世紀景觀」。【1】恩斯特．凱西爾在頗有聲望的《哲學評論》中，稱它為「現代思想史上最重要的現象之一」。【2】
人們通常把它描述為一場為誰先發明微積分的爭鬥。從根本上來說，它既不為財，也不為色，聽起來一點都不像那種會爭得你死我活的故事，但它卻持續了好多年，並且痛苦是與日俱增。
這件事究竟是為了什麼而鬧得這麼大？首先，它牽涉到人類有史以來最傑出的兩位天才。我們比較熟悉的天才是伊薩克．牛頓，他幾乎不需要我做任何介紹。大家比較不熟悉的是威爾海姆．戈特弗里德．萊布尼茲，他是一位德國的哲學家、數學家，在符號邏輯和微積分，還有好幾個其他領域，特別是宇宙論和地質學，都做了很重要的早期研究。
其次，是一開始的時候，很少有同時代的人能理解或延續他們的微積分研究，但大家很快的就明白，這是解決眾多自然科學和數學問題的新方法，有效且普遍，而這些問題在此之前都是沒法解決的。
這場爭端最終的結果也很妙。例如，它在現代科學論文的發展上扮演了重要的角色——特別是那些引用了別人的研究成果，和顯然是繼承前人研究成果的那些論文。
另外，因為這兩人的追隨者富有侵略性的行為，使得這場爭端狂熱地持續了一個多世紀。甚至在英國和漢諾威領導人對英格蘭王權的膠著爭奪中，它也扮演了其中一個角色。在漢諾威人對於自身優勢的聲明中，萊布尼茲的追隨者說，微積分是萊布尼茲的所有發明裡其中的一項。牛頓的支持者嘲笑了這些聲明。一位名叫約翰．凱爾的英國人，認為這些聲明是企圖偷竊牛頓天才的成果。
在這一場戰鬥中，牛頓使用了一些強硬的戰鬥策略——有些人也許會用更激烈的辭彙，而且他看起來是大獲全勝。這個結果則給萊布尼茲的晚年生活蒙上了巨大的陰影，但是，如果他活得夠長，他會看到一個完全意料之外的結局。雖然萊布尼茲在這場爭鬥中輸了，但我們公正的平心而論，實際上贏的人是他——儘管你很難從他們兩人在今天的名望來理解這件事。
牛頓
當微積分從牛頓和萊布尼茲這種人的腦中迸發出來時，沒有任何東西能比它更複雜、影響更深遠。費馬求最大值、最小值的方法已經為通往微分鋪陳出一條道路，它是微積分裡一個重要的步驟。然而，沒有人能確切地說出，像牛頓這樣的智者，是如何在這個數學領域裡，為其研究工作打下基礎的。但我們確實知道他廣泛閱讀了那個時代的數學著作，他閱讀過並融會貫通，他徹底演算過的書中有一本是笛卡兒的《幾何》。他也研究過歐幾里德幾何，據說他認為歐氏幾何很瑣碎無聊。
他還研讀過才華洋溢的蘇格蘭數學家詹姆斯．葛列格里、伽俐略，以及牛頓在校時的親密導師伊薩克．巴羅等人的著作。我們有一個特別的線索：牛頓的確告訴過我們，第一次將他引進這個領域的是閱讀《無窮算術》（一六五五）這本書。這本書由傑出的英國數學家、密碼專家、傳教士約翰．沃利斯所寫，內容是解決曲線積分（求曲線下的面積）的問題。
當牛頓還是一個劍橋大學三一學院的學生時，他就開始了他的數學研究工作。一六六五年六月，他獲得了學士學位。接著，一場瘟疫讓學校關閉了十八個月，但是他在距離英格蘭中部諾丁漢東南三十英里的家鄉烏爾索普，用他自己的方式繼續其研究工作。不過在這段時間，他也許曾短暫地回到學校，做些閱讀或實驗的工作。
顯然，至少對於牛頓來說，這段時間的強迫性自學是最好不過的事了。這段日子——從一六六五年到一六六六年——他為自己在光學、天體力學和數學（包括微積分）上的研究打下了基礎。把沃利斯的成果擴展到無窮級數是他研究工作的一部分。牛頓意識到很多數學方程式可以用無窮級數來表達，並且加以應用。利用它們，他找到了曲線長度和切線的通用運算式和處理求積問題（計算被曲線包圍圖形的面積）的方法。微積分運用者會公認這是該領域的起點。【3】
在這一點上，一個寂寂無名的二十五歲左右的年輕人牛頓，已經超越了他在劍橋的老師，甚至超過了當時最頂尖的數學家之一的沃利斯。到那時候為止，數學家們一直以為運動物體的軌跡是一系列的點，而牛頓則說它應該被看作是一個持續運動的點所畫的圖形。他提出，既然一個朝某點運動的點的速度是路程x除以時間t，即x / t，那麼如果我們把x和t都不斷減少，就會發生很有趣的事。於是，一個持續並有限的運動等於無窮小路程與無窮小時間的商。他用「流」來稱這個運動的點，並用「流數」來稱呼它的速度，這是「流」的派生詞或它的變化率。
要發表還是……
如果牛頓今天還在工作，也許他會很快地就把某些東西發表在《倫敦數學學會通報》這類雜誌上，然後，以更完整的版本發表在普林斯頓大學的《數學年鑑》上。他很有可能在論文的開頭就感激某些數學家，正是他們的成果使他的工作得以開展。接著，他會清楚地解釋他的新成果，指出他在哪裡取得了突破、是怎麼取得的。通過這種方式，他的首創權明明白白地建立起來，因為先問世的成果都會發表在同行評議的期刊裡。
不幸的是，在當時沒有這樣的期刊。這種形式的期刊發展得很慢，直到十九世紀中葉左右才出現。它更多的目的是為發現某個新進展爭取首創權提供更穩固的途徑，而不是在科學群體中分享這些新發現——當時已經有這種期刊了。
一六六九年，牛頓確實將他的早期成果寫在一本小冊子裡，他取名為《無窮級數分析》（通常簡稱為《分析》），但它只以手稿的形式在少數幾個同事——包括他在劍橋的老師伊薩克．巴羅——間傳閱。當然，它可以在早些時候以書的形式出版——這仍然是牛頓那個時代建立首創權的方式，但因為一些原因，他沒有這樣做。
首先，在一六六六年的倫敦大火後，出版業出現了嚴重的衰退，技術類著作尤其遭殃。諷刺的是，巴羅多少該受些責難，因為出版他的書的出版商破產了，於是書籍出版商們對出版數學著作特別謹慎。
即使這樣，要不是命運之輪又轉了另一個彎，事情也許會完全不同。基本上牛頓是個獨行俠，我們已經看到，在他二十三歲還是一個學生時，已經超越了當時最傑出的數學家，但是只有少數幾個與他通信的人意識到這一點。一六六九年，得益於那些未發表的手稿，他榮登劍橋大學盧卡斯數學教授席位，這使他有充足的時間和自由繼續他的工作。
他轉向了其他方面的興趣，包括他在光和顏色的首次重大發現——這些都是在輝煌的十七世紀六○年代發現的。他對於公開其研究成果以接受外界的批評一直相當猶豫，不過，他還是決定嘗試一下。一六七二年，他把這些成果發表在《倫敦皇家學會哲學彙刊》。雖然這篇論文廣受好評，但牛頓發現，他有時得把寶貴的時間投入到應對一些對他的論點空洞的挑戰上。每當有新觀點出現時，通常都會有這種危險。不幸的是，有一些反對意見出自幾位著名的科學家——包括荷蘭的物理學家克利斯提安．惠更斯和英國科學家羅伯特．胡克。而他覺得胡克的批評尤其麻煩和討厭。
結果，儘管牛頓繼續光學研究，但他卻再也沒有在光學上發表論文，直到三十多年後胡克去世，他才將他光學上的主要著作《光學》發表。他決定不向外界公開他的數學成果，很可能也是出於同樣的因素。他似乎相信他的發現只屬於他自己，而不屬於世界和科學，甚至也不屬於後代子孫。還有另一個可能是為了給自己更多的時間做修改，因而選擇將它們深藏不露。
無論什麼原因，這個決定未來都給他帶來了大麻煩，而且這個決定也讓數學史家們摸不著頭腦。
然而，到了一六八○年代，牛頓已經在機械力學、引力和物體的運動研究方面頗有進展，在他的朋友兼同行艾德蒙．哈雷的強烈建議下，他決定把這些成果付梓。一六四八年至一六八五年，他開始認真地撰寫即將成為他最著名作品的《自然哲學的數學原理》——也就是一般大眾所熟知的《原理》一書。這本書於一六八七年出版，它可能將成為科學史上最重要和最出名的著作。
在書中，他簡單地提到了新發現的微積分。他也許用這個方法解決過一些他在書中要解決的問題，然後以傳統的幾何形式表達出來。他這樣做也許是為了能把微積分的方法保密得更久一點，但也可能是那些傳統幾何的方法是標準的示範和證明方法。
在這些方法中，有一個明顯的決定性的證據，就是笛卡兒漩渦不能解決行星運動問題。不過，此時離笛卡兒理論的權威地位讓位給牛頓的萬有引力宇宙觀還需要好幾十年的時間。
在他的《原理》出現前之，牛頓與萊布尼茲的幾次接觸，總體來說是恭敬、友好的。但是現在，他看到了一些發表的文章，如果這些文章沒有立即引起他們之間關係破裂的話，在將來也肯定是會的。不過，在我們討論這檔事以前，我們有必要先認識一下這些文章的作者。
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