有幾根手指頭？
建立四以上的數字觀念，只是個開端。一旦你開始數數，便有了數字無限大的概念。為前面幾個數字取特別的名字，看來似乎不錯，但你沒辦法一直想出新名字；就算你能做到這一點，你也記不得所有的數字名稱。這有點像是古羅馬人為兒子命名般，用不了多久，你便會放棄想要獨樹一格的想法。
因此，你接下來面臨的挑戰，就是設法理解我們用來應付這些數字的系統。大多數人慣用的系統，叫做以十為基底的數字進位系統，或十進位制。此進位系統的最佳代言人非西藏人莫屬，因為他們是最忠於這套系統的民族。西藏人為我們口中的數字零到九命名，也為十的各個次方取了名字（我們大致上也做到了這一點，如：十、百、千、百萬等）。接著，他們把零到九這些數字名稱，與十的次方名相結合，來表示任何數字。換言之，３２４這個數字的藏族表示方法是：「三個百，二個十，和四」（three-hundreds two-tens and four），即藏語的「gsum-bryga gnyis-bcu rtsa bzhi」。
看到這裡，你的民族主義開始作祟，可能會氣憤認為英文的說法和藏語一樣有邏輯。但事實並非如此。首先，為了講起來方便，英文把數字名稱縮寫了。「二個十」（two-tens）變成「二十」（twenty）；「五和十」（five and ten）變成「十五」（fifteen）。英文數字十一（eleven）和十二（twelve）的起源，更是神祕，它們似乎和「二和十」（two-and-ten）「一和十」（one-and-ten）毫無關聯。有人說，這是因為這兩個數字異於其他數字（即與十毫無關聯），是因為它們的排序很接近十，因此「eleven」是從「（十之後）還剩下一」（one left after ten）、「twelve」是從「（十之後）還剩下二」（two left after ten）衍生而來。數到十三時，顯然是因為離十太遠，只好又把十擺進來提醒自己從哪開始起算。
此外，我們在為十的次方命名時，也偷工減料。儘管英文常用到「十」、「百」、「千」、「百萬」、「十億」，甚至「兆」等，但西藏人更進一步為「萬」（ten thousand）和「十萬」（one hundred thousand）命名。可惜說英文的我們沒費心做到這一點，不然開支票時可就容易多了。正因為如此，說英文的我們不能宣稱自己和藏人一樣有邏輯。不過，我們卻可主張自己比威爾斯人（Welsh）更明智，因為威爾斯人不用「十和八」（ten and eight），反而發明了「兩個九」（two-nines）的概念。這道理又何在呢？
◎ 三名清道夫如常工作時，發現一堆垃圾桶擋住了行人去路，必須馬上移除，但每個垃圾桶內的垃圾量不一樣多。三個人認為不該有人的工作量比較大，所以他們想平均分擔這項工作。於是他們算了算，發現共有六十個垃圾桶，其中二十個全滿，二十個半滿，其他二十個則完全是空的。請問他們該如何分配工作，才能讓每人搬運的垃圾桶數和垃圾量完全相同？
你或許好奇我們為什麼這樣數數，且在這麼小的年紀就會數數，你再次證明自己成為天才的潛力。這恰巧也是名列史上最偉大哲學家的亞里斯多德，於成年後提出的問題：「為什麼所有人，不論野蠻人或是希臘人，都是數到十，而不是其他數字？」
簡單來說，答案就是：手指頭。你的手指頭是身邊最自然的數數工具。發展至某一階段，人類不再像波多古頓族一樣，只把手指頭當作計數工具，而學會開始把它們跟數字聯想在一起。
若要詳盡回答這問題，答案就是：並非所有人都這樣數數。儘管大多數會數數的文明都採用十進位制，但也有足夠證據顯示其他民族使用不同的基底數字來進位。這聽來或許令人感到訝異。我們太慣用這些數字和數數方法，以致難以相信並非全世界都採行這套模式，但其實十進位制僅僅是我們可選用來做為數字系統的無數方法之一。假如你有八隻手指頭，而不是十隻，你或者會採用八進位制，除了鋼琴可能彈得比較不好外，你對此感到滿意的程度事實上並不亞於採用十進位的人。
這並非只是假設性情境。除了十進位制，世界上最常見的便是二十進位法，即以二十為基底的數字系統。瑪雅文明和愛斯基摩人都採用二十進位，據推測這大概是因為他們數數時手腳並用的緣故。不過愛斯基摩人脫掉鞋子幹嘛，我可就想不懂了。
◎ 聖誕節當天，你帶了滿滿一袋禮物回家。你有五個年幼的表親，見到大批禮物非搶不可。第一個表親拿走了一半又多一個禮物。你拿著剩下的禮物走不到幾步，又撞見第二個表親，他又搶走一半又多一個禮物。你都還沒站穩，第三個表親又衝了出來，拿走了你手中一半又多一個禮物。接下來撞見其他兩個表親時，也是同樣的情況。你累到狼狽不堪，終於走到客廳時，發現你丈母娘正引頸期盼收到你的禮物，於是你把手中僅存的那個禮物送給她。請問你一進門時，手上共有多少禮物？
直至今日，我們的生活中仍然遺留著二十進位的氣息。如果你在強風吹襲的英國荒野中，遇見神祕的陌生人，問他離此地最近的酒吧有多遠，他可能會告訴你：「兩份二十公里和十。」（two score kilometers and ten）他的意思是「兩個二十公里再加上十」（two lots of twenty kilometers and then more），對你我而言，就是五十。（早在《聖經》時代，人類便開始以「score」這個英文字來代表數字二十；當時據說人類的平均壽命是「三份二十年加十」，亦即七十歲的意思。）此字衍生自傳統的計數方式。每每數到二十，大家會在計數木棍上刻個較大的凹痕（score也有痕跡的意思），顧名思義。同理，假設你請法國人給你八十顆洋蔥，他先是訝異你怎會需要如此大量的法國代表蔬菜，接著會挑眉問道：「四份二十嗎？」他問你是否需要「四個二十」。上述兩個族群用的都是二十進位法。
既然十進位制源自於使用雙手手指數數，二十進位衍生自使用雙手手指和雙腳趾頭數數，也就會有幾個文明是僅用單手手指數數的，他們發展出來的也就是五進位法。為了補足你沒有的五進位觀念，讓我舉西非的夫拉族族人為例，告訴你他會怎麼數數。他的方法也是十分合情合理。
首先，他的數字一到四有特定名稱。為了簡化說明，讓我們假設這四個數字就叫做「一」、「二」、「三」、「四」。另外，他也幫五的次方（如：五、二十五、一百二十五等）取了特別的名字，我們假設這些次方分別叫做「五」（five）、「擊掌五」（high-five）、和「傑克森五」（jackson-five）好了。接下來，這位夫拉族人便可利用上述系統來表示任何數字。
舉我們稱為三百三十九的數字為例，我們為該數字這樣命名，是因為我們認為它是由三個一百、三個十，以及九個個位數所組成。但對這位夫拉族人而言，則完全不是如此。他看著這個數字，想的是：這是由兩個傑克森五、三個擊掌五、兩個五，以及四個個位數所組成，所以他就會這樣為這個數字命名。你可以檢查看看，他說得沒錯，這加起來正是三百三十九。這只不過是從另一個角度來看待同一個數字罷了。
你的數學老師很可能壓根兒從來沒跟你提起過這些。或許他都知道，只不過他把這些知識都藏在他那口破破爛爛的公事皮包裡，跟裝著醃鹹牛肉三明治和過熟橘子的特百惠牌便當盒擠在一起。不過，我所說的皆有憑有據。我們的身體構造促成了我們數數的方法。我們數數的方法，則是我們因為發明了數字，而建構出來的系統。要理解這系統，絕非易事。
◎ a) 以下這個夫拉族數字，對應的是我們的哪個數字？
「四個傑克森五、三個擊掌五、兩個五，和一」
b) 我們的這個數字，夫拉族人會怎麼說？
「四百七十三」
書寫數字
耶穌誕生之際，記錄數字最普遍的方法是採用希臘數字系統。希臘人用字母表達數字，一到九各有一個專屬字母，十到九十的每個十進位也各自有相對應的字母，一百到九百的百進位也同樣有各自的代表字母。可惜他們的字母不夠用，所以他們又啟用了舊字母，甚至還借用了幾個腓尼基字母來表示數字。
舉例來說，希臘數字系統中，α代表一，β代表二，θ代表九，ι代表十，κ代表二十，ρ代表一百，σ代表兩百。結合這些字母，就能表達最多到九百九十九的任何數字。比方說，一百一十二會寫成ριβ，二百二十九會寫成σκθ。較大的數字對希臘人來說，也不成問題。他們發明了一千（/）和一萬（Ｍ）的符號。如果要表達兩千，他們會寫成/β；如果是二萬，他們會在Ｍ上方多寫個β。
這或許聽起來很合理，但可惜的是（或者該說幸好——端視你從哪一角度看這件事）這套系統讓計算變得很不容易。我們只要處理由十個符號組成的數字組合，但希臘人卻要應付二十七個符號的搭配組合。對我們而言，二十加三十基本上與二加三是一樣的，在希臘系統裡卻非如此。代表二的符號和代表二十的符號，完全不相干。因此，希臘人大多用算盤計算，而不用筆算。
其實希臘人對計算這件事，普遍抱持傲慢的態度。哲學家和數學家對數型的興趣，遠多於算術，因為他們認為數型正是天地萬物背後的的建構要素。希臘人對此類事物太過熱衷，以致非常認真嚴謹地看待數字。
畢氏學派是希臘哲學家和數學家畢達格拉斯的追隨者，一般普遍認為是他發明了畢氏定理。但這論點並不完全正確，因為證據顯示，早在畢氏之前，古埃及人已知運用該定理來建造金字塔，中國人也用該定理來測量土地。不過，畢氏和畢氏學派確實將之發揚光大，並協助將該定理引進西方世界。
根據畢氏學派，數字一到四分別具有不同特性，各對應到建構宇宙萬物的形狀上。一是點，二是線，三是面，四是體。
畢氏學派認為十是「完美數字」，因為它是一、二、三、四的和，也就是點線面體的集合體。
他們也認為有些數字是吉祥的，有些是邪惡的。此外，單數屬陽，因為你把單數小圓點兩兩排列在一起時，最後會有一個圓點單獨突出。至於雙數屬陰，因為雙數小圓點兩兩排列時，不會有圓點突出。
對有此類數字愛好的人來說，字母系統頗好用，因為你可以找出某詞彙或名字的數值，繼而加以推論。這就是占數術。自古以來，許多文化都盛行占數術，至今仍歷久不衰，其背後原理在於認為數字能以某種特殊方法反應事實的玄妙信念。
如果你真的鑽研占數術，幾乎什麼事情都可以拿它來佐證。在這領域最受歡迎的消遣，便是計算出誰（或什麼）是「啟示錄之獸」。預言說，怪獸會在世界末日之前現身，在人間散播禍害和驚恐。顯然，如果怪獸出現在你家舉辦的派對，你最好要能認出它來，所以門徒約翰很熱心地提供了怪獸的符號，即數字六六六。
數字在中國古代風水堪輿術中，也扮演著極為重要的角色。風水師常用的主要工具，包括洛書魔方陣。傳說洛書魔方陣起源於西元前二十一世紀。皇帝夏禹某天沿著洛河散步之際，巧遇神龜，龜背上刻著神奇的標記，是個三乘三的九宮格，格子裡以中國數字符號寫著數字一到九。夏禹發現，神龜背上的印記不管是縱、橫、或是對角線上的數字，加總都是十五（由上而下、由左而右，依序是四、三、八、九、五、一、二、七、六）。
在風水堪輿中，此魔方陣可運用於興建房舍上，格中每一數字各代表某一生活層面。因此，利用上圖的數字位置，我們可說房舍的南方（由數字八、一和六主掌），關係著居住者的財富（八）、運勢（一）和權勢名利（六）。這資訊顯然很實用。如果你正密謀計畫征服世界，這下你可確切知道自己該坐在哪個方位上了。
中國人認為數字（和其他萬物般）可分陰陽。偶數屬陰，奇數屬陽。普遍而言，中國人偏好陽數多過陰數。中國人認為八是最吉祥的數字，因為它是「最陰柔」的陰數，換言之，也是最不幸的。但這想法背後的緣由在於：當你跌到谷底，接下來只會向上反彈，所以八有運勢將否極泰來的涵義。
前文已提過，如果你想指認你的鄰居是反對基督者，希臘數字再好用不過；但如果你想算出豆子的價格，這可就另當別論了。隨著羅馬帝國崛起，羅馬數字逐漸取代了希臘數字。羅馬人給數字一（Ｉ）、五（Ｖ）、十（Ｘ）、五十（Ｌ）、一百（Ｃ）、五百（Ｄ）和一千（Ｍ）創了符號。算加減法時，這些符號遠比希臘數字好用，但若是較複雜的算術，又極度不便，而且要寫大數字非常耗時。假如英國廣播公司ＢＢＣ欲於標題頁寫下一九八八年，得寫下ＭＣＭＬＸＸＸＶＩＩＩ。儘管如此，羅馬數字還是沿用了很長一段時間。十六世紀一些數學著作，還可見到羅馬數字，直到印刷書籍普及後，才真正銷聲匿跡。與此同時，由於使用羅馬數字進行複雜運算還是很麻煩，所以商人還是繼續使用算盤，等待更好工具問世。
◎ 有位小學老師為了讓班級安靜一堂課，要求學生算出一到一百的總和。可惜班上有位後來注定成為史上最偉大數學家的小朋友叫做高斯，他發現快速解題的方法，不到幾分鐘時間，就舉手說出正確答案。老師心不甘情不願地給了他一顆金星作為獎勵，接著靠玩「數字賓果」消磨完剩下的時間。請問高斯怎麼辦到的？
歐洲人陷於黑暗時期之際，世界其他角落的人在數字系統方面則見十足的進步。這進展由約七世紀時的印度領頭，率先創造了十進位值計數法，他們認為若要簡練書寫數字，就該明訂數字的書寫位置會影響其價值。因此，他們發明了「個位欄」、「十位欄」和「百位欄」等。（如果你小學時的痛苦記憶正襲擊著你，我能諒解。）
有了這樣發明，印度人就能隨意用九個符號，表示任何數字。所以，ＢＢＣ原本得用十一個符號來標示單一數字，印度人只要動用四個符號：一九八八即可。一代表「一千」，九代表「九百」，第一個八代表「八十」，第二個八代表「八個最小整數一」。
然而印度人的新發明並未讓所有問題就此迎刃而解，最大的問題在於如何表示某欄位是空的。一開始，他們只留下空白，但這會招致問題，因為空白到底代表空一格、兩格或是三格，實在很難說，可是空白大小卻又會深深影響數字的大小。例如二空白三，這可能代表二百零三、二千零三或是二萬零三，完全取決你認為有多少格是空白的。終於在九世紀，印度人發明了「○」這個符號，來代表空白的欄位。
這套十位值計數法由印度傳到中東。世人譽為代數之父的阿拉伯數學家花拉子模說明加減乘除法的著作《後印度人計數法之加減法之書》中，仍可見到其蹤影。之後，阿拉伯數學家甚至開始以十進位計數法為基礎，試圖加以衍伸以處理分數。
這套新數字系統終於在十四世紀傳到歐洲。義大利數學家費布那西跟隨從商的父親到北非旅行時，接觸阿拉伯數字系統，並於一二○二年出版《算盤之書》，列舉可能運用該新方法的應用實例。歐洲學術界對此書好評如潮，不過十進位值計數法卻遲至一四○○年代印刷機發明之後，才開始廣為流傳。
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