開始上課啦！
我們通常把數學知識當作數學，但這其實是一種誤解。
學習數學，不應該以懂得多少數學公式為目標，而是要從鍛鍊解決問題的過程中，學習所用到的思維方法。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，更能多角度開闢思維點，進行逆向思考。這樣的人在學習中很容易做到舉一反三，對所學知識活學活用，成績自然不差。 我在這本書裡精選了20個對人類數學發展史產生重要影響的數學問題，透過故事的形式，讓大家瞭解每個問題解決背後的過程、相關科學家軼事，以及這些問題對應的數學定律在人類生活中的重要影響；讓人們去感受這些科學家在數學問題上閃耀著的智慧光芒，去探究數學發展史上人類探索的脈絡；讓人們學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。
Lesson 02 早期文明裡沒有0這個數字？
0的發明是數學世界的最特殊基石
思考：0在哪些結論中是特殊的存在呢？
有了數字和進位制，就能用少數幾個符號代表無限的數目了。人類文明發展到這個階段，就有了抽象概念的能力，在此基礎上開始創造算術，進而建立起整個數學和自然科學的世界。 但是，不知你是否注意到了，所有早期文明的計數系統中，都沒有0 這個數字。這使得計數和數學演算非常不方便。例如，我們用帶有0 的阿拉伯數字做加法「10＋21」就很容易，你只要把這兩個數位寫成上下兩行，然後個位數和個位數相加，十位數和十位數相加即可。 但是，如果你列一個豎式計算「十＋ 二十一」，就很麻煩了，因為你根本對不齊。 因此，無論是計數還是運算，0 這個數字都太重要了。
0 的由來
為什麼美索不達米亞、古埃及、古希臘都沒有人想到0 這個數字呢？這是因為人類發明數位和計數的目的是有東西要記，如果沒有東西，就不需要計數了。 人類發明0 這個數字是比較晚的事情，在已知史料當中，最早關於數位0 的明確記載是在9 世紀。當然，在此之前，它很可能已經被使用了好幾百年。今天在印度中央邦的瓜廖爾堡一座小寺廟的牆上，還能看到最早的數字0。 為什麼是印度人發明了數字0 ？對此，人們通常有兩種解釋。 一是和古代印度人的計數方式有關。印度人會把石頭放在沙土上，如果把石頭都拿光，沙土上就會出現一個石頭留下的圓形印記，這個空的圓形印記逐漸演變成了數字0。 二是和印度古老的吠陀文化有關。這種解釋更被廣泛接受。 大約從西元前1500 年開始到西元前1100 年，來自中亞草原的游牧部落不斷南下進入南亞次大陸。這些游牧部落自稱「亞利安人」，亞利安人在梵語中是「征服者」的意思。亞利安人在征服印度時，將自己的文化和當地文化相融合，形成了一種新的文化——吠陀文化。
吠陀是梵語中「知識」的意思。吠陀文化中，做學問和祭祀的人身居高位，人們的生活往往圍繞著祈禱和祭祀，日常行為規範則寫在《吠陀經》裡。《吠陀經》反映了亞利安人的宇宙觀、宗教信仰和人生態度。古代印度人相信，宇宙中的一切都有一個本原的主體，即本體，這個本體在不同的經卷中被描繪為不同的神。按照《吠陀經》的說法，宇宙結構的核心是空和幻，也就是說，宇宙本是空的，而我們看到的只是幻象，萬物皆源於空。 從吠陀時代開始，印度人以虔誠對待神的方式追求宇宙的真理，但是他們探求知識的方式和許多其他文明是完全不同的。美索不達米亞、古埃及都從觀察世界開始，總結出對世界的認識，他們的幾何學和天文學就是這麼產生的。到了古希臘文明時期，亞里斯多德總結了前人科學研究的方法論，整理出一整套透過觀察世界得到知識的方法。但是古代印度人則強調向內心，而不是向外部世界尋找問題的答案。知識階層透過不斷修行，對「虛無」進行冥想，獲得對世界的認識。 虛無在印度文化中是一個開放的概念，不同於我們通常理解的「沒有」，它更像是世界萬物的起始點。後來的佛教和印度教都將虛無這個概念作為其教義的一部分。包括今天大家練習的瑜伽，也是為了激勵冥想，讓練習者清空思想和滌蕩心靈。 當今的印度神話學家德杜特•帕塔納克（DevduttPattanaik）有一次在演講中陳述了亞歷山大大帝和一位印度修行者的對話。身為世界征服者，亞歷山大看著一位赤裸的修行者，正坐在岩石上盯著天空發呆。於是就問他：「你在做什麼？」 「我在感知虛無。你在做什麼？」修行者回應。 「我在征服世界。」亞歷山大說。 他們都笑了，因為他們都覺得對方是荒廢生命的傻瓜。 對生活在希臘文明圈的亞歷山大來說，現實的世界才是真實的，擁有是很重要的事，而對那位印度修行者來講，透過探究虛無，他可以瞭解整個世界。
在印度文化中，0不僅必須存在，而且是產生其他數位的重要工具。 古代印度著名數學家和天文學家婆羅門笈多早在7世紀就總結了和0相關的基本規則，例如：
1＋0＝1 1-0＝1 1×0＝0
但是，當婆羅門笈多用0去除1的時候，就遭遇到了難題。什麼數字乘以0會等於1？印度數學家發明了一個新的數學概念：無窮大。
無窮大的概念最初來自12世紀的印度數學家婆什迦羅，他是這樣解釋0和無窮大的關係的： 如果你將一個瓜切成兩半，你就有兩塊瓜，但是每塊瓜只有原來的一半；如果你將它切成三份，就有三塊瓜；一直切下去的話就會是越來越多、越來越小的塊。最終，你會得到無窮多的塊數，但是每塊的大小就是0。 因此，婆什迦羅就得出一個結論，1除以無窮大就是0，或者說1除以0就是無窮大。 你看，在印度數學家的眼裡，0已經不僅僅代表「沒有」了，它早就是一個重要的數學工具了。
0與負數
從0出發再往前走，印度數學家就得到了負數的概念。如果我們用1去減1，就得到了0，那麼1減去2會得到什麼呢？顯然地，我們的答案會比「沒有」更少。西元628年，婆羅門笈多完成了《婆羅門修正體系》，在書中正式提出了負數的概念，以及負數四則運算的各種規則。中國人在更早的漢朝就知道了負數的存在，只是沒有將負數的各種運算規則講得很清楚。
阿拉伯數字的由來
數字0的出現是人類數學史上一次認知上的飛躍，伴隨0一同出現的還有今天大家都在使用的阿拉伯數字系統。它最大的優點就是在0的幫助下，個、十、百、千、萬的進位變得非常容易。沒有阿拉伯數字，我們今天做算術會非常麻煩。 阿拉伯數字雖然被冠以阿拉伯的名字，其實也是印度人發明的。今天，人們一般認為，阿拉伯數字系統的原型可以追溯到西元前印度發明的婆羅米文字，但是那些文字和今天的阿拉伯數字相去甚遠。西元630年，阿拉伯帝國建立，並且將勢力擴張到印度地區，阿拉伯人到了印度後，見識到印度人先進的計數方法，便將其引入。最初引入阿拉伯的印度數位並不包括0。
到西元773年，一位印度天文學家攜帶婆羅門笈多的著作來到巴格達，將其翻譯成阿拉伯文。阿拉伯數學家研究了印度的數學著作後，寫出了《印度的計算法》一書，告訴大家印度人發明的這十個數字如何使用、如何重要。那時候，阿拉伯文明比較先進，周邊的文明都向它學習，這種源於印度的計數方法便逐漸傳到了歐洲和北非。歐洲人從阿拉伯人那裡學會了這種很方便的計數方法，以訛傳訛，就叫成了「阿拉伯數字」。後來隨著文藝復興，歐洲的文明逐漸崛起，世界上其他文明又向歐洲人學習，「阿拉伯數字」的叫法也就被大家熟知了。
早期的阿拉伯數字和今天我們看到的樣子還是有差別的，經過幾百年的演變，到16世紀，才完全變成今天的樣子。
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