開始上課啦！

我們通常把數學知識當作數學，但這其實是一種誤解。

學習數學，不應該以懂得多少數學公式為目標，而是要從鍛鍊解決問題的過程中，學習所用到的思維方法。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，更能多角度開闢思維點，進行逆向思考。這樣的人在學習中很容易做到舉一反三，對所學知識活學活用，成績自然不差。 我在這本書裡精選了20個對人類數學發展史產生重要影響的數學問題，透過故事的形式，讓大家瞭解每個問題解決背後的過程、相關科學家軼事，以及這些問題對應的數學定律在人類生活中的重要影響；讓人們去感受這些科學家在數學問題上閃耀著的智慧光芒，去探究數學發展史上人類探索的脈絡；讓人們學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。

Lesson 02 早期文明裡沒有0這個數字？

0的發明是數學世界的最特殊基石

思考：0在哪些結論中是特殊的存在呢？

有了數字和進位制，就能用少數幾個符號代表無限的數目了。人類文明發展到這個階段，就有了抽象概念的能力，在此基礎上開始創造算術，進而建立起整個數學和自然科學的世界。 但是，不知你是否注意到了，所有早期文明的計數系統中，都沒有0 這個數字。這使得計數和數學演算非常不方便。例如，我們用帶有0 的阿拉伯數字做加法「10＋21」就很容易，你只要把這兩個數位寫成上下兩行，然後個位數和個位數相加，十位數和十位數相加即可。 但是，如果你列一個豎式計算「十＋ 二十一」，就很麻煩了，因為你根本對不齊。 因此，無論是計數還是運算，0 這個數字都太重要了。

0 的由來

為什麼美索不達米亞、古埃及、古希臘都沒有人想到0 這個數字呢？這是因為人類發明數位和計數的目的是有東西要記，如果沒有東西，就不需要計數了。 人類發明0 這個數字是比較晚的事情，在已知史料當中，最早關於數位0 的明確記載是在9 世紀。當然，在此之前，它很可能已經被使用了好幾百年。今天在印度中央邦的瓜廖爾堡一座小寺廟的牆上，還能看到最早的數字0。 為什麼是印度人發明了數字0 ？對此，人們通常有兩種解釋。 一是和古代印度人的計數方式有關。印度人會把石頭放在沙土上，如果把石頭都拿光，沙土上就會出現一個石頭留下的圓形印記，這個空的圓形印記逐漸演變成了數字0。 二是和印度古老的吠陀文化有關。這種解釋更被廣泛接受。 大約從西元前1500 年開始到西元前1100 年，來自中亞草原的游牧部落不斷南下進入南亞次大陸。這些游牧部落自稱「亞利安人」，亞利安人在梵語中是「征服者」的意思。亞利安人在征服印度時，將自己的文化和當地文化相融合，形成了一種新的文化——吠陀文化。

吠陀是梵語中「知識」的意思。吠陀文化中，做學問和祭祀的人身居高位，人們的生活往往圍繞著祈禱和祭祀，日常行為規範則寫在《吠陀經》裡。《吠陀經》反映了亞利安人的宇宙觀、宗教信仰和人生態度。古代印度人相信，宇宙中的一切都有一個本原的主體，即本體，這個本體在不同的經卷中被描繪為不同的神。按照《吠陀經》的說法，宇宙結構的核心是空和幻，也就是說，宇宙本是空的，而我們看到的只是幻象，萬物皆源於空。 從吠陀時代開始，印度人以虔誠對待神的方式追求宇宙的真理，但是他們探求知識的方式和許多其他文明是完全不同的。美索不達米亞、古埃及都從觀察世界開始，總結出對世界的認識，他們的幾何學和天文學就是這麼產生的。到了古希臘文明時期，亞里斯多德總結了前人科學研究的方法論，整理出一整套透過觀察世界得到知識的方法。但是古代印度人則強調向內心，而不是向外部世界尋找問題的答案。知識階層透過不斷修行，對「虛無」進行冥想，獲得對世界的認識。 虛無在印度文化中是一個開放的概念，不同於我們通常理解的「沒有」，它更像是世界萬物的起始點。後來的佛教和印度教都將虛無這個概念作為其教義的一部分。包括今天大家練習的瑜伽，也是為了激勵冥想，讓練習者清空思想和滌蕩心靈。 當今的印度神話學家德杜特•帕塔納克（DevduttPattanaik）有一次在演講中陳述了亞歷山大大帝和一位印度修行者的對話。身為世界征服者，亞歷山大看著一位赤裸的修行者，正坐在岩石上盯著天空發呆。於是就問他：「你在做什麼？」 「我在感知虛無。你在做什麼？」修行者回應。 「我在征服世界。」亞歷山大說。 他們都笑了，因為他們都覺得對方是荒廢生命的傻瓜。 對生活在希臘文明圈的亞歷山大來說，現實的世界才是真實的，擁有是很重要的事，而對那位印度修行者來講，透過探究虛無，他可以瞭解整個世界。

在印度文化中，0不僅必須存在，而且是產生其他數位的重要工具。 古代印度著名數學家和天文學家婆羅門笈多早在7世紀就總結了和0相關的基本規則，例如：

1＋0＝1　　　1-0＝1　　　1×0＝0

但是，當婆羅門笈多用0去除1的時候，就遭遇到了難題。什麼數字乘以0會等於1？印度數學家發明了一個新的數學概念：無窮大。

無窮大的概念最初來自12世紀的印度數學家婆什迦羅，他是這樣解釋0和無窮大的關係的： 如果你將一個瓜切成兩半，你就有兩塊瓜，但是每塊瓜只有原來的一半；如果你將它切成三份，就有三塊瓜；一直切下去的話就會是越來越多、越來越小的塊。最終，你會得到無窮多的塊數，但是每塊的大小就是0。 因此，婆什迦羅就得出一個結論，1除以無窮大就是0，或者說1除以0就是無窮大。 你看，在印度數學家的眼裡，0已經不僅僅代表「沒有」了，它早就是一個重要的數學工具了。

0與負數

從0出發再往前走，印度數學家就得到了負數的概念。如果我們用1去減1，就得到了0，那麼1減去2會得到什麼呢？顯然地，我們的答案會比「沒有」更少。西元628年，婆羅門笈多完成了《婆羅門修正體系》，在書中正式提出了負數的概念，以及負數四則運算的各種規則。中國人在更早的漢朝就知道了負數的存在，只是沒有將負數的各種運算規則講得很清楚。

阿拉伯數字的由來

數字0的出現是人類數學史上一次認知上的飛躍，伴隨0一同出現的還有今天大家都在使用的阿拉伯數字系統。它最大的優點就是在0的幫助下，個、十、百、千、萬的進位變得非常容易。沒有阿拉伯數字，我們今天做算術會非常麻煩。 阿拉伯數字雖然被冠以阿拉伯的名字，其實也是印度人發明的。今天，人們一般認為，阿拉伯數字系統的原型可以追溯到西元前印度發明的婆羅米文字，但是那些文字和今天的阿拉伯數字相去甚遠。西元630年，阿拉伯帝國建立，並且將勢力擴張到印度地區，阿拉伯人到了印度後，見識到印度人先進的計數方法，便將其引入。最初引入阿拉伯的印度數位並不包括0。

到西元773年，一位印度天文學家攜帶婆羅門笈多的著作來到巴格達，將其翻譯成阿拉伯文。阿拉伯數學家研究了印度的數學著作後，寫出了《印度的計算法》一書，告訴大家印度人發明的這十個數字如何使用、如何重要。那時候，阿拉伯文明比較先進，周邊的文明都向它學習，這種源於印度的計數方法便逐漸傳到了歐洲和北非。歐洲人從阿拉伯人那裡學會了這種很方便的計數方法，以訛傳訛，就叫成了「阿拉伯數字」。後來隨著文藝復興，歐洲的文明逐漸崛起，世界上其他文明又向歐洲人學習，「阿拉伯數字」的叫法也就被大家熟知了。

早期的阿拉伯數字和今天我們看到的樣子還是有差別的，經過幾百年的演變，到16世紀，才完全變成今天的樣子。

開始上課啦！

我們通常把數學知識當作數學，但這其實是一種誤解。

學習數學，不應該以懂得多少數學公式為目標，而是要從鍛鍊解決問題的過程中，學習所用到的思維方法。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，更能多角度開闢思維點，進行逆向思考。這樣的人在學習中很容易做到舉一反三，對所學知識活學活用，成績自然不差。 我在這本書裡精選了20個對人類數學發展史產生重要影響的數學問題，透過故事的形式，讓大家瞭解每個問題解決背後的過程、相關科學家軼事，以及這些問題對應的數學定律在人類生活中的重要影響；讓人們去...

目錄：
前言
Lesson 01 畢達哥拉斯裝傻不理的數
　　　　無理數問題

Lesson 02早期文明裡沒有0這個數字？
　　　　０的發明

Lesson 03嚴謹的邏輯推理V.S.直觀的經驗主義
　　　　圓的面積問題

Lesson 04 藏在經文之下的數學知識
　　　　球的體積公式

Lesson 05數學知識始於各種愛找碴的人們
　　　　芝諾悖論

Lesson 06 人們會從多樣結果中尋找一個「一般性」答案
　　　　一元二次方程式

Lesson 07 數學史上意義重大的通解公式
　　　　一元三次方程式

Lesson 08 韓信會不會點兵？
　　　　中國的餘數問題

Lesson 09 從「費馬猜想」到「費馬最後定理」的演變
　　　　費馬最後定理問題

Lesson 10 無窮小到底是不是0？
　　　　無窮小量問題

Lesson 11 如何在無限多房間的滿房旅館裡「擠出」空房？
　　　　希爾伯特旅館悖論

Lesson 12 現在解決不了的問題或許並非無解
　　　　三個古典幾何學難題
Lesson 13「所有電腦的開端都是０和１
　　　　布林代數

Lesson 14 越平常的東西反而越難以被準確定義
　　　　羅素悖論問題

Lesson 15 很多結論仍然無法以數學來做判定
　　　　哥德爾不完全性定理

Lesson 16 先確定能不能做，再決定要不要做！
　　　　希爾伯特第十個問題

Lesson 17 不完善的理論卻可能改變生活！
　　　　黎曼猜想問題

Lesson 18 大器晚成的數學怪人
　　　　孿生素數問題

Lesson 19「1＋1」是一道簡單的數學題嗎？
　　　　哥德巴赫猜想問題

Lesson 20 電腦並不能解決所有的運算問題
　　　　NP難題

結語　我們必須知道，我們必將知道！

目錄：
前言
Lesson 01 畢達哥拉斯裝傻不理的數
　　　　無理數問題

Lesson 02早期文明裡沒有0這個數字？
　　　　０的發明

Lesson 03嚴謹的邏輯推理V.S.直觀的經驗主義
　　　　圓的面積問題

Lesson 04 藏在經文之下的數學知識
　　　　球的體積公式

Lesson 05數學知識始於各種愛找碴的人們
　　　　芝諾悖論

Lesson 06 人們會從多樣結果中尋找一個「一般性」答案
　　　　一元二次方程式

Lesson 07 數學史上意義重大的通解公式
　　　　一元三次方程式

Lesson 08 韓信會不會點兵？
　　　　中國的餘數問...