需要數學的瞬間：在生活中輕鬆學習數學

名人推薦：要是我在高中就讀到這本書，也許我就不會放棄數學吧！
──崔在天　生物學家／梨花女子大學客座教授

這本書幫助讀者了解至今只有知識份子們才懂的艱澀知識，
隨著時間流逝，這些都會融入人類的文明，變成人類的常識。
──朴炯柱　數學家／亞洲大學校長

雖不敢說愛上了數學，但對數學徹底改觀，終於敢直面數學。
──李賢雨　書評家

對於今時今日必須具備統合思維的讀者們，是非常有意義的一本書。
──權大勇　高麗大學英才教育院融合科學委員

概率論的善與惡

各位是善良的人，還是邪惡的人？判斷善惡的標準是什麼？給各位諸多幫助的人就是善良的人？或者不違法的人就是善良的人？我偶爾會問學生這些問題。還有，假設倫敦海德公園今晚有10人遭到殺害，這算不算一件大事？

老師的問題看似簡單，可是很難回答。發生殺人案件當然是一件大事。但就數據而言，死亡人數比去年少，卻意味著治安有了顯著改善。

從古典倫理學來看，這個問體可算是非倫理範疇。不過就像你們回答的，不能不看事件的整體性，單憑「就算死一個人也不行！」的原則，一聽到發生殺人案件就妄下定論，覺得發生了一件驚天動地的大事。事實上，死了10個人，可以說很多，但也可以說很少。舉例來說，假如我們不考慮社會資源分配問題，為使死亡人數降到0，貿然將原先用在其他地方的資源挪用，說不定會引起更大的問題。此類倫理學範疇的問題，只有結合科學根據，才能做出正確判斷。這正是功利主義的觀點。

英國工業革命時代的思想家傑里米•邊沁（Jeremy Ben-tham）是功利主義創始人，他最出名的就是提出追求「最多數人的最大幸福」的社會制度。光憑這句話多少能嗅出定量思維的端倪吧？事實上，長久以來，人類文明史上的倫理思維一直都帶有定量屬性。邊沁受到蘇格蘭啟蒙運動奠基者之一，法蘭西斯•哈奇森（Frais Hutcheson）的「道德計算法」影響，提出「幸福計算法」。而哈奇森在其著作《論美與德性觀念的根源》中，通過「倫理議題的等量法」方程式，以數學演繹倫理問題，比如說，「道德影響力 = 慈悲心 X 能力」。即使哈奇森的論點放到現在顯得很突兀，但站在科學視角分析道德問題，在當時蔚為風氣。不僅如此，法蘭西斯•哈奇森的觀念也深刻影響了大衛•休謨（David Hume）和亞當•史密斯（Adam Smith）。

接下來，我要介紹大家一個早期文藝復興時期的有趣人物──「會計學之父」盧卡•帕西奧利（Fra Luca Bartolomeo de Pacioli）。大多數的人都不知道有會計學之父的存在。盧卡•帕西奧利生活在文藝復興鼎盛期，1447年到1517年。身為方濟會的修道僧的他，曾和李奧納多•達文西（Leonardo de Vinci）住在一起，兩人會一同研究、分享數學知識和許多點子。盧卡•帕西奧利除了對文藝復興時代的學術文化發展作出卓越的貢獻之外，他的著作《算術、幾何、比例總論》也讓他在科學史上佔有舉足輕重的地位。書名是不是很長？1494年，他的這本書出版，內容集當時的會計、算術、代數、幾何等數學知識之大成，故被後世認為是會計學的鼻祖。

現在的我們學習會計學的基本前提是，要懂基礎數學，可是，好像沒看過數學教科書提過會計學內容。

也因此，我們能從這裡窺見當時人的學術分類，會計學的複式記帳法（Double Entry Book Keeping）在這本書首次亮相。複式記帳法是經營公司時整理帳戶的方法。為了區分資產帳戶、現金帳戶、債權帳戶等各種帳戶，把進入每一個帳戶的資金紀錄在不同的帳戶，每筆交易結果分別被記錄在借方和貸方帳戶，雙方總額必須滿足「資產=資本+負債」的等式。這本書的副標題也很有意思，叫做「威尼斯商人如何創造現代文明？」。隨著文藝復興時期而誕生的全新建築風格和蓬勃發展的科學技術，勢必需要龐大的資本投資，因而比起政府，當時的產業更仰賴私有資本家，比如美第奇家族。直到今日，我們仍使用出自這本書的複式記帳法，有效幫助掌握會計、財務。

不過以數學角度來看，排除會計學、算術和幾何，這本書還有一個重要的內容，我個人認為這個內容改變了世界史的前進方向，那就是「點數分配問題」（Problem of Points）。透過簡單的例子，能幫助大家理解這個問題。

點數分配問題出自簡單的賭博遊戲。參加者A和B參加了扔銅板的遊戲，遊戲規則是，如果扔出的銅板出現正面，A得1分，反之，B得1分，先贏到決定分數的人贏得全部賭金。而雙方下了相同金額的賭金，也就是說，假設各下注一萬元，贏的那一方能賺回兩萬元。

盧卡•帕西奧利針對這個簡單的賭博遊戲，提出了重要的問題：「假如遊戲玩到一半，意外中止，則賭金如何分配？」例如，在A獲得5分和B獲得3分的狀況下，卻因意外失火或其他原因，不得已中斷賭局，且無法重新開始，試問賭金如何分配？

要是把事情想得簡單一點，既然贏的人是A，就讓A拿走全部賭金，怎麼樣？問題的關鍵是想贏得全部賭金是有條件的，條件就是「必須玩到最後」，然而，現在賭局卻被中斷了？

在科學範疇裡，解決問題固然重要，然而更重要的是，從解決問題的過程中揭示新的問題。有時相較於解決問題，通過揭示好的新問題，更有利學術的飛躍發展，而帕西奧利提出的問題就是屬於此類問題。

讓我們一起來思考帕西奧利提出的問題究竟有何難度。就像你們剛才所說，既然A贏了，那就讓A帶走全部賭金就行了，可是這樣做，可能導致有人覺得結果不公平。因為賭局不是還沒結束嗎？在此面臨的問題，是如果賭局中斷時的比分是1：0，A一樣能帶走全部賭金嗎？

聽老師這麼一說，好像真的不太公平。很難從比分1：0去判斷這場比賽誰輸誰贏。要是全部賭金真的都歸A，大概每個人都會覺得不公平。

那該怎麼做才好？為了解決這個困境，帕西奧利提出了以下的答案：如果賭局中止時的分數是5：3，就按5：3的比例分配賭金。這樣做是不是還算有道理？

如果是同分，則平分賭金。按分數比例分配似乎很合理。

可是，按16世紀中期的知名數學家尼科洛•塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia）的見解，帕西奧利是錯的。塔爾塔利亞同時指出點數分配問題比預期得還要複雜。

為什麼說按5：3比例分配是錯的？難道是因為無法整除？雖然說四捨五入或無條件捨去的確也值得爭議，但我可以告訴各位，不是這種根本性的問題。讓我來具體說明帕西奧利的方法哪裡出了問題吧？

5：3和500：300的情況好像不能相提並論。萬一目標分數是501分，那麼500：300的情況下，獲得500分的人不是就跟贏了差不多嗎？

很好的想法。按5：3的比例分配看來沒問題，根據目標分數，調整賭金分配比例好像也不錯。先撇開500：300這麼誇張的分數不談，假如目標分數是11，而比分是10：6的話，拿到10分的那一方不滿是可想而知的。比方說，賭局目標分數是100，可是賭局中斷時的比分不是5：3，而是1：0。遇到這種情況，想預測哪一方是最後贏家難如登天，若把全部賭金給先贏到1分的人，會讓人覺得很不公平。指出這一點的塔爾塔利亞聲稱賭金分配是個無解的問題。

隨著歲月流逝，人類進入科學革命時代，在科學史上舉足輕重的人物相繼誕生，如伽利略、牛頓等。有兩個人令這個問題再次浮上水面，一個是數學家暨物理學家費馬，另一個是有名的數學家暨哲學家布萊茲•帕斯卡（Blaise Pascal）。一開始，帕斯卡閉門苦思，而後1654年某一個夏日，他執筆傳信予父親的至交費馬，歷時兩個月的書信往來討論，這個問題終於被兩人成功解決。

他們是怎麼解決的？

他們認為現在的分數不重要，往後的分數會是多少才重要。說穿了，問題核心是A與B未來各有多少獲勝「機率」。5：3只是直至賭局中斷之前的比分。也就是說，帕西奧利考慮的是過去機率。而帕斯卡和費馬大膽突破常規觀點，提出新的見解，要計算的雙方未來的獲勝機率，而非過去。

機率考慮的不是過去，是未來。這麼說來，機率的概念是在那時候誕生的囉？

在現今的時代，每個國高中生都會算簡單的機率問題，不過在當時，機率是個尚待闡明的概念。你們想不想聽一聽他們的書信內容？大致內容是這樣的。若現有一賭局，而賭局規定先贏得7分的一方就贏得這局。假設現在比數是5：3，也就是說，A再得2分，或者是B再得4分，此局就宣告結束，對吧？那麼，無論如何5分以內一定會結束比賽，沒錯吧？因為A只要在未來的5次裡贏兩次，或是B贏4次就達成終局條件。讓我們觀察未來5次丟銅板的結果，並列出B可能獲勝的情況。

上圖列出了所有B獲勝的情況。總之，出現一次正面或是根本沒出現正面，B就獲勝，是吧？藉此計算出獲勝機率。以1號圖來說，最先出現的是正面，接著是反面、反面、反面和反面，每次銅板正反面出現的機率是2分之1，全部相乘就是32分之1。恰出現1次正面的情況共有6次，加總就是32分之6，也就是16分之3。

因此，A獲勝機率是1減16分之3，即16分之13。經過計算，費馬和布萊茲•帕斯卡得出A獲勝機率為16分之13，因此應該給A16分之13 2萬元 16,250元。而B獲勝機率為16分之3 2萬元 3,750元。用現代話解釋就是「A和B各自獲得賭金的期望值」。樣本空間和期望值的概念也首次在帕斯卡和費馬的書信中登場。這個新見解的重要程度，從著名數學家齊斯•德福林（Keith Devlin）用「費馬和帕斯卡的書信往來，使世界邁入現代化的那些信」當成其著作《The Unfinished Game》的副標題，可見一斑。

老師之前說，複式記帳法創造了現在的世界，我們總覺得有些誇大不實，但機率是改變世界的重大發現，這一點毋庸置疑。今時今日，人們一打開手機，無論是降雨機率，或是提供即時路況的導航系統，幾乎都會用到機率；各類運動競賽也會透過機率預測比賽結果；總統大選投票結束，人們也會馬上預測候選人勝選機率。

你們覺得若沒有機率概念，人們能否維持正常生活？機率、可能性和期望值，諸如此類，一直是17世紀優秀超卓的天才們才懂的概念，而現在，它已經滲透到人們的日常生活。甚至20世紀日益成熟的量子力學領域，把原子的模樣、位置和速度建立在機率的基礎上，而不是遵循固有屬性。如同我們已知的事實，人類是由原子構成的，對吧？因此，按現代科學觀點來看，我們全都是機率性的存在。光講到這裡，大家應該能同意機率的影響力很驚人，連帶大幅改變了人類看世界的方式。再者，由於諸多現實問題皆涉及機率，因此機率論普遍被人們所接受。17世紀帕斯卡和費馬用書信討論看似幼稚的賭博問題，最終為世界帶來翻天覆地的變化。

然而，機率論在17世紀首次出現時，人們並沒有接受它。花了很長一段時間，社會才接納了這個理論。為什麼？因為機率是針對未來作預測的思維體系，某種程度來說，是在違逆神的旨意。

概率論的善與惡

各位是善良的人，還是邪惡的人？判斷善惡的標準是什麼？給各位諸多幫助的人就是善良的人？或者不違法的人就是善良的人？我偶爾會問學生這些問題。還有，假設倫敦海德公園今晚有10人遭到殺害，這算不算一件大事？

老師的問題看似簡單，可是很難回答。發生殺人案件當然是一件大事。但就數據而言，死亡人數比去年少，卻意味著治安有了顯著改善。

從古典倫理學來看，這個問體可算是非倫理範疇。不過就像你們回答的，不能不看事件的整體性，單憑「就算死一個人也不行！」的原則，一聽到發生殺人案件就妄下定論，覺得發...

作者的話
展卷
序言

第一課　什麼是數學
第二課　改變歷史的三大數學發現
第三課　概率論的善與惡
第四課　無解也沒關係
第五課　正解，該如何證明？
第六課　宇宙的實體、模樣、位置與計算
第七課　不用數字來理解數學

結語
特別講座

作者的話
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序言

第一課　什麼是數學
第二課　改變歷史的三大數學發現
第三課　概率論的善與惡
第四課　無解也沒關係
第五課　正解，該如何證明？
第六課　宇宙的實體、模樣、位置與計算
第七課　不用數字來理解數學

結語
特別講座