小小數學博物館：101個最經典的數學提問+最...

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我看《小小數學博物館》
文／美國印地安納州普度大學數學哲學博士、台大數學系退休教授　黃敏晃
小孩對外界總是有許多疑惑，大人也不容易回答得清楚。三十年前，我們的小孩上小學時，台灣有套兒童讀物《十萬個為什麼？》代我回答了很多非數學的問題。數學方面的問題我當然親自上陣處理，所以曾經有朋友請我寫本數學方面的為什麼，但因某種原因並未進行。
這本書就是這方面的讀物，作者是德國基森的「數學博物館」的館長——阿爾貝希特‧波依許巴赫。他把許多訪客所提的數學問題中，比較單純大眾化的（專業性強的問題當然沒列入）回答，共101則，整理後出版了這本書。
數學內容討論的材料是數、量、形和關係，所以問題和回答都會有點抽象、形式。書中的數學問題依性質可分成幾種類型，舉例說明如下：
（1）學習型的，如 ＋ 為什麼是 ，而不是 ？為什麼不能除以0？為什麼要背九九乘法表？
這類問題通常在釐清問題的本質，和所牽涉數學物件的意義後，就能講清楚。
（2）存在形式的，如計算樂透中獎的神祕公式嗎？有計算出質數的公式嗎？每個方程式都有解嗎？真的有四維空間嗎？
存在性和唯一性常是數學討論的重點，因為數學家認為討論不存在的事物沒有意義，前兩個問題的答案是否定的，許多人太高估了數學的功能，以為數學總能提供公式解決難題，但這種靈丹其實並不存在。至於方程式的解和四維空間的存在，則會出乎許多讀者的意料之外。
無理數的出現（也可以說是其存在的證明）是數學上有名的故事。在畢氏定定理被證明之前，畢達哥拉斯學派是一個興盛的宗教型學派，信徒捐出所有財產，聚居在某些封閉會所，不和外人往來，會眾大多無法辨識每個人，還要互考能否用尺規作圖方式，畫出五芒星，亦即正五邊形五條對角線形成的圖形，篤信「世界萬物的測量都可由自然數透過單純的運作（如加、減、乘、除、比例等）而得到」，如琴絃在某些自然數之比的長度處，可彈出不同的樂音，就是此派的貢獻。因此，他們常用分數，但在信仰上排斥了「無理數」（非自然數之比的實數）的存在。畢氏定理被證明之後，一個正方形的對角線長是其長邊的 倍，而 是無理數，此學派便因信仰崩潰而完全瓦解。
（3）某類數學物件是否無限多的問題，如：有無限多的數字嗎？到底有多少質數？有多少分數？有多少無理數？
這裡牽涉到的無限多，是數學裡所謂的最初級的無限多，意思和自然數一樣多，數都數不完（永遠有一個數比很大很大的數多1，因此沒有最大的自然數）。譬如說，質數有無限多的證明就是靠一樣的邏輯——有限就可以完整的羅列，但全部列出來後，我們總可以找到另一個質數，故質數的數目就有無限多了。

另外，和無限有關的是，如0.9999……＝1嗎？ ＋ ＋ ＋ ＋……＝？以及阿基里斯何時能趕上烏龜？的芝諾悖論等牽涉到無限次運作的事務。
人的生命有限，現代人雖不像古人那樣，人生七十古來稀，但也很少過百歲的人瑞。不管如何，人命有限，無法作無限多次運作。因此，牽涉到無限運作的事務是要另外界定的。如：
＋ ＝
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＋ ＝
…………………………
＋ ＋ ＋ ＋……＋ ＝
即其結果越來越接近1，所以，數學裡我們界定其結果就是1。
許多人不能接受這樣的說法，他們覺得0.999……就是比1小那麼一點點，這裡需要用到一點推論來說明了：如果0.999……是一個固定的數，那麼它應該多少呢？
顯然，它是比1大的數是不對的，而任何比1小的數也不行，因為只要我們取的位數夠多，它就會比這個數大，因此它只能是1。數學的定義常常是這樣子，是人為的，因為數學物件是人造的，而非像熊貓或芒果那樣是天然的。德國數學家Dedekin說過：「數學裡除了1、2、3……等自然數的概念外，其他物件都是數學家造出來的。」
數學家造出來的東西，其意義當然是他自己界定的。譬如說， 這個形式的符號，它代表什麼樣的數呢？
我們當然不能隨便亂定，而要回歸到次方的意義： 代表3個4相乘， 代表2個4相乘， 本來是沒有需要的符號（只有1個4，根本沒有相乘的可能），但看到 、 等的界定，把 定義成成4，可以讓下面的指數算則方便運作——若a和b是自然數，則有（下式中的4可以改成其他數）
× ＝ ，( ＝
那麼， 要定義成怎麼樣的數，才能使上面的指數保持成立呢？答案是 ＝1。這樣的做法，就是數學裡的「規約觀點」（conventionsim）。讀者以後見多了，就不會覺得奇怪了。
其他問題筆者就不多談了，讀數學書時不能像小說那樣，順著劇情走，每逢難處就停下來想一想，若需要動筆計算也不要偷懶。因為數學家寫數學文章時，常覺得材料簡單，因此輕輕幾筆帶過，以為別人會跟他一樣清楚。
另外，本書的作者是德國人，書中難免帶著些許德國味道，譬如問題052：誰是德國最偉大的數學家？問題079提到的「希伯特問題」和問題055「希伯特旅館」中的希伯特，就是非常有名的德國數學家。讀者只要能夠了解這點，此書不失為很好的數學讀物。

　　　　　　 台大數學系退休教授　黃敏晃
2014年10月20日