微積分（乙）

翁秉仁

我們身邊的世界充滿變化，日出月落、星河羅布、峰谷起伏、萬紫千紅、生老病死、家國興衰，無論是時間上還是空間上，都因為各種差異而看到無盡的變化。

變化的現象是人類生存面對的真實處境與考驗，自然成為古來智哲觀察與理解世界的重要課題。變化是隨機的紊亂嗎？還是在變動的表象背後存在著不變的法則、永恆的真理或如如不動的實相。古希臘哲學家如巴門尼德斯、德謨克里特斯、柏拉圖、亞里斯多德都有一套自己對於變化的思想。 古中國人也說《易經》的「易」有三層意義：變易、簡易、不易。人類對變化的畏懼、迷惑、好奇與馴服，也造就了許多偽科學、前科學，甚至宗教這些想要克服變化的嘗試。

但是真正勘破變化的祕密，掌握變化的語言與理路，進而從變化裡掘取出莫大威能的，是三百多年前牛頓和萊布尼茲（獨立）發明的微積分，足以一貫的、清晰的、嚴格的探討變化的機轉。而且正因世界充滿各種變化的模式，微積分的發明更提供了一把揭露宇宙秘密的鑰匙。

簡單的說， 變化就是差異， 而差異就是微分；累積差異可以得到總變化， 這就是積分。原則上和人們使用簿記記錄財產的變化時的基本想法差不多。一旦你知道或假設了變化遵循的模式，就能夠依此掌握總體的變化， 甚至預測未來。例如假設「銀行的利息和當時存款總數成正比」的複利模式，你就可以用試算表驗算和預測。只是一般人描述變化的慣用方式是「離散的」，一旦企圖將上述想法運用到「連續的」情境，除了一般函數的語言之外，更需要「極限」或「無窮小」的深刻概念，這正是微積分這門課程的關注焦點。

套用「易」的三重意義，微積分理論真的是以簡易的語言、不易的理論探討了變易的現象。

於是打從牛頓用微積分結合力學與萬有引力說明克卜勒行星三大定律開始，微積分在協助人類理解大自然的道路上，就一路風起雲湧、勢如破竹， 其應用的廣度和深度都遠遠超出前人的成就。而且正由於物理學結合微積分的成功，讓渺小的人類有信心勘破大化流變下的天機，進而帶動科學和數學雙贏的全面蓬勃發展，產生這三百多年來的科學革命，影響更及於生命科學與社會科學領域，間接牽動了人類社會、經濟、政治體制的更迭。

這本書不可能涵蓋所有和微積分有關的課題，也不是要呈現微積分發展的歷史（微積分中很多概念可以回溯得更久遠），但希望能在這本教科書中， 盡可能囊括微積分基本的概念， 並且能夠多舉一些適合本書讀者的例子， 示範上述的想法，讓讀者在學習上或日後應用上可以受益。

這本微積分內容的安排，和一般微積分課本或許有些不同，底下說明箇中的源由。

1993年起，我連續教了三年微積分乙，這是非理工科的微積分，相當於現在的生命科學、醫學、農學、管理、金融等領域，每年都換英文課本，卻苦無恰當的選擇。

直接使用國外為非理工科學生所寫的應用微積分，對臺灣學生真的太過簡單，補充的教材多了，顯得學生花錢買的教科書形同浪費。若使用理工學生的教科書，又不能照本宣科，因為書中強調的許多內容與學生的背景不符，教材分量也嫌多。微甲課本幾乎本本跟磚頭一樣，又厚又重，很容易領會微乙學生面對這種教科書的惶恐。

第三年後，面對自己手上已經足夠上半年課的補充教材，終於決定直接去寫一本自己認為合適的微積分乙教材。當然這其中也有一些微積分教學上的思考，或許可以跟讀者分享。

首先， 既然是在地寫作，似乎沒有必要寫一本不是我母語的英文教科書。 微積分理論雖然放諸四海皆準，但是範例卻可以適當的和生活周遭結合。 我自己並不覺得讀微積分的英文教科書對英文語言能力會有多大的長進， 英文和數學對許多學生都是重課，兩者相結合，可能斲害了本來有數學潛力或興趣的學生。我不想讓學生有一個現成的藉口拒絕微積分。這些想法， 放到二十年後的今天，竟然顯得更有道理。

我並不覺得微積分乙等同簡單的微積分，但我的確不想寫一本困難的數學書。數學講究言之有物，事事皆有所本，它的嚴格是美德。但是嚴格並不完全等於邏輯語言，更不是硬梆梆的符號演算。只要相信數學和邏輯不同， 數學的直覺就有寬闊的容身之處，這種對直覺的把握才是學生能夠體驗數學確定、合理與美好的根源。微乙學生的世界用到的大部分是性質良好的數學概念，我想以此為基礎去探索微積分，希望可以將重點從「數學家式的喜悅」移回「科學家式的喜悅」，多討論基本概念與有趣的例子。

但是在數學理念上，我還是堅持比高中數學多走了一步。很多學生總以為學數學就是算東西，以為數學就是計算和背公式。但是數學真正厲害的地方，其實顯現在算不出來的時候。我想這是高中數學和大學數學的差別， 至少這是一種觀點。

我特別關注兩件事。平均值定理（mean value theorem）是一個不需要算出來的簡單存在性定理，讀者會發現它嵌入在全書的脈絡中，我想讓學生知道即便不算出來或算不出來都不等於無知，事實上我們能知道的還真不少，足以繼續深入思考，發展更多漂亮且重要的理論。

另一是逼近的觀點，在數學中有很多東西真的算不出來，但這不表示要放棄。有些問題的重要性，也根本逼得你不能放棄。這時我們得使用熟悉的簡單工具去「逼近」它，相當程度的解決問題。在我讀書的年代，「應用數學」似乎是個二等字眼，但是對於微乙學生的本科領域，應用是本命所在，解決問題是理所當然，所以我想在這本書中強調這個有益的面向。

這本微積分講義後來因為我忙於別的事情，竟然使用了二十年還沒有出版。這段期間，臺大微積分乙課程的長期使用，給了我很大的鼓勵。終於歷經幾次修改後，在臺大出版中心的鼓勵下決定出版了。也幸好數學和科學不同，原則上永不退流行，這些材料依然適用，只可惜有些本來想再加入的材料一直沒放，只能留待來日，還好現在的材料上課已經很足夠。

這本書的完成，得力於許多朋友的幫忙。首先是我的同事，從康明昌號召微積分教學會議開始，王金龍、王藹農、朱樺、李瑩英、張瑞吉、張海潮、楊宏章、楊維哲、楊樹文、莊正良、蔡宜洵、謝南瑞、薛克民都曾陸陸續續給我改進的意見。數學系幾位助教和助理也提供了很多協助。在我還不會中文打字時，張稚敏幫我完成初期的稿子，後來黃柏嶧、何忠益、李仲敏也陸續加入，還有許多數學系助理的熱心幫忙，原諒我無法一一列名。

另外一定要提的是，楊宏章在早期提供了一個方便的中文數學排版系統， 這應該是臺灣最早的中文 LATEX環境之一，我也使用早期的數學軟體 （matlab）和繪圖軟體（xfig）。現在，很難想像本書的前身，就是這樣呆坐在 Sun Server前慢慢排出來的。如今這些軟體和硬體都有快速的進展與變貌，這本書說起來也見證了這段電腦與網路快速發展的時代。

最後，就讀者現在看到的成書，首先要感謝兩位審稿人的鼓勵，他們提供了非常寶貴的修改意見。我以前的微積分助教李其澔畢業後仍然熱心協助我完成本書的最後排版；臺大出版中心的編輯吳育燐提供了許多專業編輯的修改意見，在此一併致謝。

時間會消逝，科技會發展，
幸好，數學不會變。

翁秉仁

我們身邊的世界充滿變化，日出月落、星河羅布、峰谷起伏、萬紫千紅、生老病死、家國興衰，無論是時間上還是空間上，都因為各種差異而看到無盡的變化。

變化的現象是人類生存面對的真實處境與考驗，自然成為古來智哲觀察與理解世界的重要課題。變化是隨機的紊亂嗎？還是在變動的表象背後存在著不變的法則、永恆的真理或如如不動的實相。古希臘哲學家如巴門尼德斯、德謨克里特斯、柏拉圖、亞里斯多德都有一套自己對於變化的思想。 古中國人也說《易經》的「易」有三層意義：變易、簡易、不易。人類對變化的畏懼、迷惑、好奇與馴...

目錄
自序
體例與使用說明

1 基本函數與極限
1.1 函數與圖形
1.2 方程式與平面曲線；隱函數
1.3 反函數
1.4 連續函數與極限
　1.4.1 連續函數
　1.4.2 數列的極限
　1.4.3 函數的極限
1.5 e與自然對數

2 微分
2.1 導函數
　2.1.1 導函數的基本性質
　2.1.2 一些基本函數的導函數
　2.1.3 連鎖法則與反函數的導數
　2.1.4 高階導數
　2.1.5 隱函數微分
2.2 平均值定理
2.3 切線與線性逼近
2.4 應用：描述函數圖形
　2.4.1 函數的特徵
　2.4.2 函數作圖
2.5 微分的應用――最佳化

3 積分
3.1 積分的觀念：黎曼和與定積分
　3.1.1 黎曼和
　3.1.2 定積分
3.2 微積分基本定理
3.3 基本積分技巧
　3.3.1 分部積分法←→萊布尼茲法則
　3.3.2 變數變換法←→連鎖法則
　3.3.3 有理函數的積分
　3.3.4 三角積分
3.4 積分的應用
　3.4.1 瑕積分
　3.4.2 幾何度量
　3.4.3 重心
　3.4.4 重訪指數與對數函數

4 函數的逼近
4.1 典型的例子：從等比級數談起
4.2 泰勒定理
　4.2.1 泰勒多項式與泰勒展式
　4.2.2 泰勒定理
4.3 常用函數的泰勒展式
　4.3.1 ex，sin x 與cos x
　4.3.2 二項式展開
4.4 泰勒定理的應用
　4.4.1 再談極值測試
　4.4.2 l’Hôpital法則
　4.4.3 解微分方程
4.5 插值法
4.6 定積分的數值逼近
　4.6.1 長方形法
　4.6.2 梯形法
　4.6.3 Simpson法
4.7 牛頓勘根法

5 多變數函數的微分
5.1 多變數函數
　5.1.1 雙變數的圖形
　5.1.2 作圖法
　5.1.3 等高線法
5.2 多變數函數的微分
　5.2.1 偏導數與偏導函數
　5.2.2 切面
　5.2.3 線性逼近
　5.2.4 變數數目≥ 3的情況
5.3 多變數函數之連鎖法則
5.4 方向導數與梯度
5.5 高階偏導數與泰勒展式
　5.5.1 高階偏導數
　5.5.2 泰勒展式
5.6 極值測試與應用
　5.6.1 應用一：最小平方法
　5.6.2 應用二：合作還是不合作
5.7 Lagrange乘子法
　5.7.1 方法
　5.7.2 應用：無差異曲線

6 多變數函數的積分
6.1 二重積分
6.2 Fubini定理
6.3 二重積分的極坐標形式
　6.3.1 極坐標
　6.3.2 極坐標形式的二重積分
6.4 二重積分之變數變換
　6.4.1 單變數變數變換之重新解釋
　6.4.2 雙變數的變數變換
　6.4.3 二重積分的變數變換
6.5 三重積分
　6.5.1 三重積分的定義
　6.5.2 三重積分的變數變換
6.6 應用：重心
　6.6.1 平面區域的重心
　6.6.2 立體區域之重心

7 數學模型與微分方程
7.1 使用指數函數的模型
　7.1.1 Malthus的人口模型
　7.1.2 放射衰變與考古斷代
　7.1.3 利息的逼近
　7.1.4 牛頓冷卻定律
　7.1.5 價格模型
　7.1.6 修正的人口模型：Logistic模型；S-曲線
　7.1.7 傳染病之擴散模型
7.2 一階微分方程
　7.2.1 總說
　7.2.2 分離變數法
　7.2.3 一階線性微分方程
7.3 一階微分方程的非確解：數值方法
　7.3.1 定性方法或觀察法
　7.3.2 泰勒級數法
　7.3.3 微分方程的數值解；歐拉法
7.4 微分方程組簡介
　7.4.1 方法
　7.4.2 重訪傳染病模型
　7.4.3 Lokta-Volterra模型

8 機率與統計
8.1 機率的複習與延伸
　8.1.1 二項分配
　8.1.2 隨機變數
　8.1.3 期望值
　8.1.4 變異數與標準差
　8.1.5 大數法則
8.2 與機率有關的瑕積分
8.3 連續型機率
8.4 Poisson分配與指數分配
　8.4.1 Poisson分配
　8.4.2 指數分配
　8.4.3 應用：可靠性
8.5 常態分配
　8.5.1 常態分配
　8.5.2 常態分配機率的計算
　8.5.3 中央極限定理
8.6 短結

A 常用積分表
B 習題簡答
C 微積分常用詞彙漢英對照表

索引

目錄
自序
體例與使用說明

1 基本函數與極限
1.1 函數與圖形
1.2 方程式與平面曲線；隱函數
1.3 反函數
1.4 連續函數與極限
　1.4.1 連續函數
　1.4.2 數列的極限
　1.4.3 函數的極限
1.5 e與自然對數

2 微分
2.1 導函數
　2.1.1 導函數的基本性質
　2.1.2 一些基本函數的導函數
　2.1.3 連鎖法則與反函數的導數
　2.1.4 高階導數
　2.1.5 隱函數微分
2.2 平均值定理
2.3 切線與線性逼近
2.4 應用：描述函數圖形
　2.4.1 函數的特徵
　2.4.2 函數作圖
2.5 微分的應用――最佳化

3 積分
3.1 積分的觀念：黎曼...