最廣泛實用的數學課︰探索公理與定義，一手...

數學是怎麼樣的學問呢？
數學成為一門學問的過程
到底數學是何種學問呢？若問是不是照字面意義解釋，是一門只與「數」有關的學問，答案當然不是。數學這門學問也研究許多「數」之外的主題，比方說圖形、函數、機率、電腦都包含在內，甚至與填色畫有關的問題也是數學的研究主題之一。筆者也未全盤了解數學的研究主題，換言之，很難以數學的研究主題定義數學究竟是何種學問。本書雖然打算針對數學的各種研究主題（的一部分）進行解說，但在進入正題之前，還是要先聊聊數學這門學問的特徵。
要了解數學的特徵，就必須先了解組成這門學問的元素。

組成數學的元素
數學準備了幾個公認正確的基本命題，而這些命題又稱為公理。比方說，歐幾里得（Euclid，西元前3 世紀左右）提出的「兩個相異的點之間，一定存在著通過這兩點的直線」的主張就是公理之一，他在著作《幾何原本》（Stoicheia）中說明了與圖形有關的數學。
數學會根據公理考察各種既念，而為了正確說明這些概念，數學的用語意思都很嚴謹。這些用語的意思就稱為「定義」。比方說，當某個自然數為質數，該質數的定義就是「除了1 與自己之外，沒有任何正因數的自然數」。
嚴謹定義這些概念之後，接著就是探索這些概念的性質。在數學的世界裡，這種可釐清概念是否正確的主張稱為命題，而定確的主張稱為定理，透過數學邏輯說明命題為何正確的敘述稱為證明。在數學的世界裡，未經證明的命題無法被視為定理，只有經過證明，該定理才具有價值。

數學的特徵
總結來說，在數學的世界裡，會根據公理定義新的概念，再證明該概念的性質，藉此讓概念成為定理，之後再定義新的概念與證明定理，而數學的世界也就是在反覆進行這一連串流程之下一步步擴展。透過這個流程深化觀察方式是數學這門學問最明顯的特徵。反之，只要能透過這套方式觀察，任何事物都可以是「數學」的研究主題。

數學的價值
數學的研究活動以增加新定理為主要任務，換言之，就是證明那些有可能正確的猜想（conjecture）。全世界的數學家都拚命從各種概念找出有趣的性質，或是想要解決那些知名的猜想。如果能成功證明那些猜想是正確的，那當然是非常有價值的創舉，更重要的是，在證明猜想的過程又會衍生新概念，讓數學的理論變得更加豐富廣袤。猜想的價值在於一個猜想的背後可能蘊藏著更寬闊的數學世界。
這些數學的元素（公理、定義、定理、猜想）也在本書中扮演了重要的角色，本書也會透過一些框架強調這些元素，還請大家先認識這些元素的差異。
數學具有哪些分類？
主要的三大領域
數學就是一門根據剛剛說明的方法研究各種主題的學問，而本書打算先介紹幾個比較大的領域，說明這些研究主題。許多人都說，數學主要分成三大領域，分別是代數學、幾何學與分析學。
「數」是數學最基本的研究主題之一。我們可針對「數」，思考下列的運算方法：
1 ＋ 1 ＝ 2、2×3 ＝ 6
代數學除了思考數的運算方式，還會思考一般元素的運算方式，而研究這類運算方式的集合（代數系統）就稱為代數學。

第1節 代數學
關於圖形的學問就稱為幾何學。一如幾何學的語源是「geometry」，幾何學起源於「測量土地」的學問，後來慢慢脫離測量土地這種實用的學問，轉型為研究理想的圖形，而這就是現代的幾何學。

第2節 幾何學
函數可用來說明數與數的相關性，而研究函數的數學就稱為分析學。以微積分作為主要研究工具的分析學也在與物理學互相影響之下持續發展。

第3節 分析學
函數可用來說明數與數的相關性，而研究函數的數學就稱為分析學。以微積分作為主要研究工具的分析學也在與物理學互相影響之下持續發展。
這就是數學的三大代表領域，也常常被稱為「純粹數學」。這些領域都有更深入、更細膩精密的研究主題與領域，也有許多領域是由這三大領域的研究主題所組成，建議大家先記住這三大代表領域只是較為廣泛的定義即可。
除了這三大領域（純粹數學），還有數學基礎論與應用數學等定義廣泛的領域。

第4節 數學基礎論
數學基礎論就是研究數學基礎的領域。目前也有許多人正在研究數學所需的邏輯與集合，所以數學基礎論可稱為「與數學有關的數學」。

第5節 應用數學
應用數學就是與日常現象或是技術進一步結合的數學。主要是將日常現象轉換成嚴謹的公式再加以研究，或是為了奠定某些技術的數學基礎而進行研究。
數學基礎論與應用數學雖然自外於數學三大領域，卻依舊是奠定數學基礎的領域，也是與其他領域相連的領域，當然也都是數學中不可或缺的領域。

數學是怎麼樣的學問呢？
數學成為一門學問的過程
到底數學是何種學問呢？若問是不是照字面意義解釋，是一門只與「數」有關的學問，答案當然不是。數學這門學問也研究許多「數」之外的主題，比方說圖形、函數、機率、電腦都包含在內，甚至與填色畫有關的問題也是數學的研究主題之一。筆者也未全盤了解數學的研究主題，換言之，很難以數學的研究主題定義數學究竟是何種學問。本書雖然打算針對數學的各種研究主題（的一部分）進行解說，但在進入正題之前，還是要先聊聊數學這門學問的特徵。
要了解數學的特徵，就必須先了解組成這門學問的...

或許有些人會覺得，數學不就只是在研究「數」嗎？數學不是已經沒什麼好研究的了嗎？
其實數學處理的領域非常多，除了數字，還包含了圖形、函數、邏輯，這些都是人類的思考結晶。由於數學不像其他自然科學那樣，是觀察現象、進行實驗與分析的學問，所以許多人不知道數學到底是研究什麼的學問也不足為奇。
學習數學、研究數學與登山其實非常類似。一開始，我們都是從加法、減法開始學習，這就像是爬山時，會先從山腳開始往上爬，等跨越各種困難爬到山頂，才能看到遼闊的美景。
爬到山腰，覺得前方困難重重時，只要先爬上去，之後再往下看，就會覺得當時的困難沒什麼。
不過，站在山腳的人很難想像站在山頂俯瞰的景色，這也正是數學的困難之處，所以有不少人在還沒見識到山頂的美景就半途而廢了。
本書就是想幫助大家解決這種在數學中遇到的困難。本書設定的主要讀者群是高中生與大學新鮮人，主在說明數學的發展樣態。我比各位在名為數學的這座山多爬了幾步，因此很想為大家畫出數學的地圖（比我多爬幾步的前輩當然也可以看看本書）。
在旅行之前，光看旅遊導覽書籍就讓人覺得很興奮對吧？同理可證，先透過這本書了解爬上數學這座山的山頂能看到何種世界，除了能讓大家在學習數學的路上更加快樂，也會更知道接下來該往哪邊走。如果本書能讓更多人對數學生出興趣，或是想要試著挑戰數學，那真是作者再開心不過的事情了。
一如許多先人一步步為我們實際測量了世界的大小並繪製了世界地圖，本書介紹的數學世界地圖也只是根據我的所見所聞所繪製，因此很可能還有我未曾見聞的領域。
數學世界地圖與世界地圖的差異之處在於，不是每個人都能正確畫出數學的世界地圖，有些人會在不同的領域畫出不同的「國界」，各領域的「觀光景點」也不盡相同，而且還有許多所有人都未曾開拓過的領域，所以就這層意義來說，數學的世界就像是「宇宙」。還請大家在了解這點之後，盡情地在我以個人見聞所繪製的數學世界地圖之中遨遊。
話不多說，就讓我為大家帶路，進入數學的世界吧。

或許有些人會覺得，數學不就只是在研究「數」嗎？數學不是已經沒什麼好研究的了嗎？
其實數學處理的領域非常多，除了數字，還包含了圖形、函數、邏輯，這些都是人類的思考結晶。由於數學不像其他自然科學那樣，是觀察現象、進行實驗與分析的學問，所以許多人不知道數學到底是研究什麼的學問也不足為奇。
學習數學、研究數學與登山其實非常類似。一開始，我們都是從加法、減法開始學習，這就像是爬山時，會先從山腳開始往上爬，等跨越各種困難爬到山頂，才能看到遼闊的美景。
爬到山腰，覺得前方困難重重時，只要先爬上去，之後再往下看...

前言
第1章 踏上旅途之前的準備
數學是怎麼樣的學問呢？
數學具有哪些分類？
數學的基本用語與概念

第2章 踏上旅程吧！
第1節 代數學
第1項 線性代數
第2項 群論
第3項 環論
第4項 體論
第5項 數論
第6項 代數幾何學
第7項 算術幾何
第8項 表現理論

第2節 幾何學
第9項 點集拓樸學
第10項 流形論
第11項 代數拓樸學
第12項 微分幾何學
第13項 微分拓樸學、低維拓樸學

第3節 分析學
第14項 微分積分學
第15項 向量微積分
第16項 微分方程式論
第17項 複變函數論
第18項 傅立葉分析
第19項 勒貝格積分論
第20項 機率論
第21項 泛函分析學
第22項 動力系統

第4節 數學基礎論
第23項 數理邏輯學
第24項 集合論
第25項 範疇論

第5節 應用數學
第26項 理論計算機科學
第27項 數值分析
第28項 離散數學
第29項 統計學
第30項 密碼學
其他的應用數學
第3章 旅程的尾聲
製作地圖吧 ～致學習數學的人～
結語

前言
第1章 踏上旅途之前的準備
數學是怎麼樣的學問呢？
數學具有哪些分類？
數學的基本用語與概念

第2章 踏上旅程吧！
第1節 代數學
第1項 線性代數
第2項 群論
第3項 環論
第4項 體論
第5項 數論
第6項 代數幾何學
第7項 算術幾何
第8項 表現理論

第2節 幾何學
第9項 點集拓樸學
第10項 流形論
第11項 代數拓樸學
第12項 微分幾何學
第13項 微分拓樸學、低維拓樸學

第3節 分析學
第14項 微分積分學
第15項 向量微積分
第16項 微分方程式論
第17項 複變函數論
第18項 傅立葉分析...