本期專訪代數組合學的先驅者 ： 坂內英一 (Eiichi Bannai) 教授, 他早先考慮傳遞置換群 $G$ 及集合 $X$, 設 $X \times X$ 分解為 $G$ 的軌道
$R_0=\{(x,x)\mid x\in X\}$, $R_1,\ldots,R_d$, 則 $R_i\ (1\le i\le d)$ 的點與圖 $(X,R_1)$ 距離為 $i$。
令 $A_i$ 為圖 $(X,R_i)$ 的鄰接矩陣, 則 $A_i$ 為 $A_1$ 的 $i$ 次多項式 $p_i(A_1)$。
此種結合方案 (association scheme) 稱為 P- 多項式結合方案, 其對偶方案稱為 Q- 多項式結合方案。
結合方案上的碼 (code) 和設計 (design) 是 $X$ 的子集。
碼理論的目標是找到最分散的集合, 而設計理論的目標是找到逼近整個集合的良好子集。
$e$ 碼 (電子糾錯碼) 定義在 P 多項式結合方案上, $t$-設計定義在 Q 多項式結合方案上。
坂內教授指出, 許多同時是 P- 多項式及 Q- 多項式結合方案的例子來自群論, 並試圖從群論角度對這種結合方案進行分類。
這是代數組合學的一個主要研究方向。
他的夢想, 是在結合方案 (代數組合) 的層面上重做有限單群的分類。
康明昌教授介紹 Emmy Noether 及 Richard Courant 的生平及工作。Emmy Noether (1882~1935), 1907 年獲 Erlangen 大學博士學位, 1915 年獲 Hilbert 及 Klein 之邀任職 Göttingen 大學, 1933 年因納粹排猶而赴美。
她飽嚐性別歧視, 無罣礙； 1907~1919年, 她對數論、 代數不變量做出基礎性貢獻, 且指陳 ： 物理系統的對稱性有其對應的守恆律。
1919~1926年, 她專注於抽象代數及環理論。
1927 年之後, 她致力於不可交換代數, 亦即中心單代數。
代數體 $K$ 上的中心單代數, 是中心為 $K$ 的有限維代數。
基本問題是 ： 如何分類 $K$ 上的中心單代數？
事實上, $K$ 上的中心單代數都同構於 $K$ 上某個中心可除代數 $D$ 上的矩陣代數 $M_n (D)$。
因此問題簡化為 ： 如何分類 $K$ 上的中心可除代數？
故此定義 Brauer 群 $Br(K)$, 它的每個元素都對應於 $K$ 上中心可除代數的同構類。
那麼要如何計算 Brauer 群？
對 $K$ 的擴張體 $L$, 我們有
$Br(L/K)\simeq H^2(\hbox{Gal}(L/K), L^\times)$,
另有 exact 序列 $0\to Br(\mathbb Q) \to \oplus Br(\mathbb Q_v)\to \mathbb Q/\mathbb Z \to 0$. 而 Brauer-Hasse-Noether 定理說 ： 中心可除代數必為循環代數。
Richard Courant (1888~1972), 1910 年獲 Göttingen 大學博士學位, 師從 Hilbert, 論文主題為 Dirichlet's principle。
一次大戰結束後, 他發表了數篇有影響力的論文 (多與 Dirichlet's principle 有關), 並合著了《數學物理方法》。
但他在 Göttingen 留下的最大印記, 是他創建的數學研究所。
Courant 致力為數學系建造一座新大樓, 並矢志創建一個研究所, 讓數學和其他科學領域有更大的互動。
1926 年開始籌劃, 獲基金會資金, 1929 年竣工, 安置數學和物理研究所在一座永久性的建築, 實現了 Felix Klein 的多年夢想。
迫於納粹排猶政策, Courant 於 1933 年離開德國, 1934 年赴紐約大學。
他再展長才, 帶來研究資金, 組建世界級的教授陣容, 打造頂尖應用數學研究所。
張鎮華教授討論等角差線問題, 評析高中教材, 講述圓錐曲線歷史緣起。
梁惠禎
2022年9月
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