引言：用數學計算運氣

我們為命運之神建造千座廟宇，卻無一座獻給理智之神。

──羅馬皇帝奧理略（Marcus Aurelius）的導師弗龍托（Marcus Cornelius Fronto）





運氣與不幸是最讓人著迷的兩種孿生力量。為什麼命運之神會眷顧某人，卻嘲弄他人呢？好運是什麼，為什麼常降臨在如此不堪的人身上？我們如何預測周遭發生的隨機事件？更進一步地，要如何掌控它們呢？

我們常以為運氣無法操之在我。早期的神祇、占星術與迷信都試圖解釋無法解釋的現象。由於女神背棄我們，村落遭逢旱災。她的小孩出生於異象之下，因此長大就瘋了。因為他在昨晚的餐宴上灑翻鹽，於是奴隸叛變並且洗劫他的莊園。今天，我們可能質疑這些理論，但至少得佩服其創造者的努力嘗試；他們在省視周遭後，拒絕相信自己的世界會是由隨機事件所造成的結果。在最根本的層次上，運氣可能仍神秘難解，但應用數學語言之後，我們可將它重新命名為「機率」，加以定義並發展出解決的方程式。如同汪洋中的水手，雖然無法控制風向，但卻已學會如何用一種可預測的方式駕馭它。我們也能駕馭並且以相當實在的方式操縱機率。早期人類的問題引發出現代的問題：我約會的對象是否想結婚？我的投資是否會賺錢？我能否從旅行平安歸來？使用機率的力量以及本書介紹的公式，你將發現這些問題的答案都可估算。

古希臘人以女神蒂克（Tyche）具體呈現運氣。稍後，羅馬人稱她為命運女神（Fortuna），她大受歡迎，因此寺廟數量遠遠超過其他神祇。開頭那句引文，大約於西元二世紀撰寫，就是弗龍托對她所受歡迎程度的譏評。我希望本書能同時做為命運與理智的寺廟。



機率的歷史早在文字歷史記載之前

機率與運氣以及對這些議題感興趣的人類，在有歷史記載之前就已存在。目前發現以獸骨製成的骰子，日期可推至新時器時代，距今六千多年。其外觀與現代的骰子極相似。換句話說，大約與農業社會最初形成的同時，人類就已經開始玩「西八啦」了。

這些早期的骰子是由獸骨製成，稱為「astragaloi」（單數為astragalus），是由羊的特殊距骨製成。它有兩個圓面及四個大小幾乎相同的正方面。早期人類把玩這類原始骰子的時間，從史前開始一直延伸到希臘與羅馬時代。玩法包括賭四種可能出現的結果組合，不考慮那兩個圓面，因為骰子也不可能擲出圓面。即使在以骨頭或木頭刻製而成的六面骰子發明後，仍有人使用astragaloi。我們可由此看出其實用性，以及古早的年代，就已經有懷舊人士存在。

古代埃及人與巴比倫人玩骰子與astragaloi，羅馬人也會。在羅馬人到來前，生活於義大利半島的神祕人種伊特魯里亞人，玩的是一種每面有五個邊的十二面體（十二個面的骰子），時間則在耶穌誕生前一千年。

根據羅馬歷史學家蘇維托尼烏斯（Suetonius，《羅馬十二帝王傳》的作者，寫於西元100年左右）表示，奧古斯都皇帝（63BC-14AD）就是位骰子迷。蘇維托尼烏斯描述皇帝喜歡的玩法。丟四顆astragaloi，先丟出「維納斯」的就是贏家。「維納斯」是每顆點數都不同的組合。 蘇維托尼烏斯形容克勞狄皇帝（10BC-54AD）極度沉迷於這種骰子玩法，甚至寫了一本有關骰子遊戲的書。克勞狄擁有一塊特製的骰盤，緊緊地安裝於馬車上，當他在羅馬附近乘坐馬車時還能玩骰子。

古中國與印度也盛行骰子遊戲。機率的歷史與學問在關於賭博的浪漫傳說中累積；其中有個特別的故事可證明這一點。西元400年之前寫就的巨著，偉大的印度史詩《摩訶婆羅多》（Mahabharata）第三部中，瑞圖帕那（Rituparna）與那拉（Nala）討論到機率與統計學，那拉當時被骰子神所附身。據說瑞圖帕那能隨機選取樹枝，計算其樹葉數量，進而估算出整顆樹的葉數（類似現代統計方法論的作法）。瑞圖帕那說：

我掌握骰子的科學，因此深諳數字之道。

這段詩句顯示瑞圖帕那具備某些機率理論知識，我們可從他將骰子與數字串連的想法看出。

西元70年耶路撒冷聖殿毀壞之後，早期的猶太學者也對機率具備類似的知識。與《摩訶婆羅多》大約同時撰寫的《猶太法典》中，可看出這項推論。根據《猶太法典》的記載顯示，機率論證大量使用於飲食規則、通姦案例中親子關係的判決、稅金分布與其他不確定因素扮演重要角色的相關議題。古猶太人的典藉也告訴我們，在耶路撒冷聖殿還存在時，教士需負擔的職責也是由機率決定：教士們以抽簽決定勞役，例如清潔、警衛職務與烹飪。根據當代研究顯示，《猶太法典》的專家似乎能使用機率的加法與乘法定律，並且能比較不同事件的機率，根據相關機率值進行判斷。

不過令人訝異的是，古希臘數學家畢達哥拉斯、歐幾里德與其他人，並未花太多時間研究機率理論。也許他們不認為機率是數學的一部份。在希臘數學文獻中提到的骰子，只是作為工具幫助年輕人學習算術，將擲出的點數累加。對於機率則不見任何討論。

在古代世界，無論是東方或西方，骰子和astragaloi都被拿來當成製造隨機事件的裝置，不僅是在機率遊戲，還用於預言。當人們在日常生活中做決定，希望能得到指引時，當軍事指揮官想知道是否該作戰，以及當國王處理國事企求神聖旨意時，他們都會諮詢神諭。神諭通常是以骰子決定神祇對這些問題的回答。於是骰子若出現「維納斯」就表示對問題的回覆為「是」，而「狗」（出現點數全為一）則表示為「否」。不過除此之外，還有許多其他的習俗規則與機率。以隨機裝置作為提供神諭之來源裝置的作法，一直持續到基督教時代。直到現代都還有記錄顯示人們會將婚姻、事業與其他問題，應用機率機制來尋求問題的解答。

我們今日所知的機率理論基本原理，是由十七世紀歐洲數學家正式研究獲得的成果。其中有伽利略（Galileo Galilei, 1564 -1642）、巴斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）、 費馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）與隸美弗（Abraham de Moivre, 1667-1754）。如同印度一般，歐洲機率理論的發展與賭博密切相關。動機是希望能在與莊家對賭時，因了解機率法則而贏錢。



寫給年輕賭鬼的信

機率的數學理論精髓在一次賭徒和數學家不尋常的合作下，於1600年代的法國出現。這位賭徒是謝瓦利埃‧德米爾（Chevalier de Mere），他希望找到能在歐洲賭場贏錢的方法。而這位數學家則是大名鼎鼎的哲學、物理學與數學大師巴斯卡。德米爾求助巴斯卡，詢問當時歐洲流行的兩種不同複雜賭博（稍後再討論）之獲勝機率。巴斯卡寫信給較年長的數學家──著名的費馬，透過他們兩人之間的魚雁往返，機率的數學原理於是誕生。這些原理在經過數個世紀的擴充後，即為本書的主題。



1 機率是什麼？

機率是人類想了解宇宙的不確定性，定義難下定義之事物的嘗試。機率是特定事件發生可能性的定量衡量指標。若我們確定某事件將發生，那就指定其機率為百分之百（100%）。如果我們確定某事件不會發生，那就指定其機率為百分之零（0%）。其他無法確定是否會發生的事件，指定的機率介於百分之零到百分之一百（或者，相當於0.00和1.00之間，這是機率嚴格的數學數值範圍）。若某事件的機率為0.5（也就是50%），那不發生的可能性也相同。機率為0.1的事件（10%），不太可能發生；而機率為0.9的事件（90%）則很有可能發生。當然，這些數字也可以用分數表示，於是0.1就成了1/10，而0.5則是1/2，依此類推。

以零到百分之百（也就是0.00和1.00）之間的數字指定機率，必須符合特定的邏輯法則和數學原理才算正確。這些原理與法則是由巴斯卡與費馬及其他人所推導出的原理。我們希望指定事件的機率正確；也就是說，經過時間的考驗，若對某事件進行多次試驗（例如，擲骰子後記錄結果），其機率應該要吻合結果。例如，我們指定骰子擲出「5」的機率為數字1/6。事實上，時間一久，公平骰子擲出的結果就有1/6會出現「5」。當早期人類在史前擲出骨骰時，他們可能就已發現所有次數中，約1/6會出現「5」。除非被長毛象追著到處跑，否則他們至少應該會注意到此現象。其他點數的情況亦然。不過我們是以其他方法導出機率理論，並非擲一百萬次骰子。機率的演進已是源遠流長。

你會發現了解機率理論非常實用。日常生活上早就應用基礎機率（是要花錢招計程車還是試試運氣乘地鐵？現在下高速公路去加油還是等看看有沒有更便宜的油價？）；不過更深入的了解，還可助你在商業、戀愛與生活的其他領域中，做出更佳決定。機率大師古德（I.J. Good）宣稱機率理論比人類還早出現。他的立論是動物具有機率的概念，掠食者在本能上能對獵物選擇哪一條脫逃路線，進行機率評估，然後往最可能的路線追下去。

本書旨在教導你關於機率的知識，協助你定義難下定義之事物，讓周遭世界變得合理，而你也能在生活中做出更好的決定。





2 就是這樣算：測量機率

我告訴你一個秘密：測量機率就和算數一樣簡單。只要計算某事件可能發生的次數，再將它除以所有可能發生的次數（當然我們計算的所有可能，發生的可能性都要相同──若某種可能性比其他更容易發生，那就必須再加計適當的權重，這部分稍後詳述）。例如，在擲公平骰子的過程中，有六種可能性相同的結果：1、2、3、4、5和6。怎麼知道呢？嗯，這是直覺，可能早期玩骨骰的人類也有相同的直覺。骰子的外型完全對稱（或至少理想狀況下是如此）；它有六個面；因此每個面出現的可能性都相同。



所有結果出現的可能性都相同的話，某種事件出現的機率，就是這種事件的結果總數與所有結果總數的比值。



例如，骰子擲出偶數的機率為何？在六個出現機會相同的數字（1、2、3、4、5、6）中，有三個偶數（2、4、6），因此答案為3/6=1/2，也就是50%。拉斯維加斯的人會說這叫做機會均等（even odds）。

現在讓我們來看紙牌遊戲。如果有副徹底洗過的牌，總共52張，那麼抽出「A」的機率為何？假設牌徹底洗過，因此從這副牌52張抽出任一張牌的機率都相同。因為在52張牌中，有四張「A」（紅心A、方塊A、梅花A與黑桃A）被選中的機會相同，其機率為4/52=1/13=0.0769 ，大約為8%。





3 隨便哪個都好：聯集定律

當我們想知道兩事件至少發生其中之一的機率時，可以應用一種定律加以計算，那就是「聯集定律」。聯集定律是這麼說的：



兩事件至少發生一個的機率，為這兩事件發生的機率總合，減去兩事件同時發生的機率。



一開始，你可能覺得唸起來拗口，不過很快地舉個例子，你就會明白這其實是很簡單的道理：我們從徹底洗過的一副牌中抽一張，它是紅心或A（或兩者皆是）的機率為何？按照上述的定律，答案為：紅心的機率＋A的機率－紅心A的機率。這麼做的理由是因為紅心A既是紅心又是A，因此必須將它的機率減去（不然就會因為重複計算而高估抽取紅心或A的機率）。





4 我倆互不相干：獨立事件

前面所描述的定理，大多相當簡單而直覺。現在我們來看比較實際的狀況。現在介紹機率理論中最重要的假設之一：隨機程序大部份不具有記憶性（memoryless）。

若骰子擲出「2」，那是否會增加下次擲出「2」的機會呢？如果這是顆沒灌鉛的公平骰子，答案就是「否」。此時我們說擲骰子的程序無記憶性。骰子不會記得它剛顯示過「2」，因此下一次擲出「2」的機會還是不變，1/6。

當程序如擲骰子一般無記憶時，連續下來的事件就被稱為彼此獨立（independent of each other）。除此之外，因時間或空間而區隔的事件，也有彼此獨立的傾向。例如，麻州選舉的結果和塔斯馬尼亞的暴雨就彼此獨立。如果我們曉得今天塔斯馬尼亞下雨，並不會增加或降低某人當選麻州州長的機會。



對獨立事件而言，同時發生的機率等於個別事件機率的乘積。換句話說，將它們兩個機率相乘之後，就會得到兩事件同時發生的機率。



按照獨立事件的聯合發生定理，連擲兩次公平骰子都出現「4」的機率為兩次個別機率的乘積。由於出現「4」的機率每次都是1/6。因此連續擲出兩個「4」的機率為 1/6×1/6=1/36。36次連續擲兩次骰子的結果中，平均會出現一次兩顆骰子皆為「4」。

你將樂見上節所提的重要乘法定律（multiplication law），在經過一種修正後，即可擴大應用於非獨立的事件。我們必須將一事件的機率，乘上在第一個事件發生的情況下，第二個事件的條件機率（conditional probability）。呃？繼續讀下列的範例，一切就會豁然開朗。



對於相依事件（dependent event），同時發生的機率等於第一事件的機率與第一事件發生下第二事件的機率乘積。



例如，假設房間內有十人，五個男人與五個女人。隨機選擇兩人，都是女人的機率為何？

解法：我們將第一人為女人的機率（5/10），乘上第二人是女人的機率，不過這時剩下的九個人中，只有四個女人可選。因此，其機率為4/9。於是：5/10×4/9 = 20/90，也就是0.22。

這類從群體中抽樣的作法，稱為不歸還式抽樣法（sampling without replacement）。若為歸還式抽樣，也就是允許兩次選擇相同的女人，那麼機率就是1/2×1/2=1/4。



以我們到現在為止所討論的少許理論，即可發展出有趣的機率應用。

若擲兩顆骰子，兩顆骰子點數和為4的機率為何？

讓我們假定骰子一黑一白。

兩個骰子可能擲出的點數之一如下：

以上面的例子，我們看到白骰子顯示兩點，而黑骰子顯示五點。現在要建立兩顆骰子的機率空間，我們稍早曾為紙牌建立過。白色骰子能擲出怎樣的點數？機率的組合如下所示。

同樣的，黑骰子也能擲出六種點數，如下圖所示。

以簡單的邏輯，可得出一對骰子能擲出的6×6 = 36種組合。所有組合，即為兩顆骰子所有可能的機率空間。

現在檢視上面的空間，並計算兩顆骰子點數總和為4的出現次數。我們發現符合的點數組合為：（1，3）、（2，2）與（3，1）。所有36種可能組合中，有3種這樣的組合，其機率為3/36=0.083，也就是約8%。

若從一副52張徹底洗過的牌中抽出一張，這張牌花色為黑桃或「大牌」（人頭或A）的機率為何？

這裡我們使用聯集定律：抽到黑桃或大牌的機率，等於黑桃的機率加上大牌的機率，減去既為黑桃又為大牌的機率。也就是：1/4+16/52-4/52=0.48。將近50%。

二十一點

我們討論的所有機率空間之概念，是用來評估機率的重要工具（統計學家稱為事件抽樣空間），不過必須要找得出這種機率空間才有用。以賭博為例，通常都能找得出來。不過舉例來說，在二十一點（Blackjack）的賭局中，這種空間不見得能找出來。特別是賭場使用好幾副牌時，賭徒很難去追蹤哪些牌曾經出現而哪些尚未出現。聰明的賭徒必須試著「算」牌，或是大略計算還剩多少大牌或小牌，從計算中得到抽出的下一張牌，是否對自己有利的大概機率。這樣的估算能讓賭徒決定在賭局進行當中，是否要求再發一張牌（hit）。例如，假設我玩牌且觀察牌面結果一段時間，現在預估要抽的那疊牌中充滿小牌（有此結論是因為目前為止，觀察到許多大牌已發出，而出現的小牌很少）。再假設我手上拿到十二點。此時要求給牌，通常是比較有利的玩法，因為能增加點數到接近二十一點的勝點，相對抽到人頭而爆掉的機率偏低。

引言：用數學計算運氣

我們為命運之神建造千座廟宇，卻無一座獻給理智之神。

──羅馬皇帝奧理略（Marcus Aurelius）的導師弗龍托（Marcus Cornelius Fronto）





運氣與不幸是最讓人著迷的兩種孿生力量。為什麼命運之神會眷顧某人，卻嘲弄他人呢？好運是什麼，為什麼常降臨在如此不堪的人身上？我們如何預測周遭發生的隨機事件？更進一步地，要如何掌控它們呢？

我們常以為運氣無法操之在我。早期的神祇、占星術與迷信都試圖解釋無法解釋的現象。由於女神背棄我們，村落遭逢旱災。她的小孩出生於異象之下，因此長大就瘋了。因為他...