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推薦序二

這是宗佑出版的第一本數學教學書「按圖索驥」的下冊—包含了第四、五、六章。我非常高興宗佑在百忙當中，能夠挑燈夜戰，把這本書寫完。也非常感謝有這個機會可以再寫一小段文字來恭賀這本書上下兩冊的完成。

這一本比上一本，在內容上難了許多。難的地方在於，這些主題逐漸脫離了我們從國中以來就比較熟悉而且具體的基礎幾何和基礎代數，以及還可推導的不等式概念，而進入了更加抽象的三角學、數列與級數、和極限與微積分等領域。

在進入需要抽象思考的概念的時候，學生愈需要視覺的輔導，尤其是在關鍵的概念轉換時刻。例如，三角學中，學生需要從較為熟悉的銳角三角形的角與邊的對應關係，轉換為以圓為中心概念的廣義角的角度與弦的對應概念。此時，學生需要對於圓內的三角函數中的正弦角(sinθ)和餘弦角(cosθ)以及其對應的邊的關係有一個重新的建構。例如，原來的 + = 的熟悉概念，會需要轉換到 θ+ θ=1（假設圓的半徑為1）。但是，這還只是第一步。接下來會發展出許多因為這個嶄新的定義而產生的各種新的關係。對於許多學生來說，這個概念的轉換，可能猶如從這個世界要轉換到另外一個世界。

根據我有時跟著實習老師到各個中學內觀課的觀察，許多中學老師會在這個概念（世界）轉換的時節，講解得相當快。會把這個轉換，當作是一個定義在講解。也就是說，把定義講完了，就可以進入計算了。但是，許多學生就會在這個「世界轉換」的節骨眼上卡關。因為這個新的世界很抽象，很可能離他所在的具體環境有些遙遠，而他在奮力要用自己的心智去掌握與熟悉這個新世界時，手上所能夠依靠的工具或憑藉可能很稀少。

這本《按圖索驥—無字的證明2》恰恰好就是要提供這樣的憑藉與依據，把這些對於高中生來說，相當抽象的概念，用圖的方式，有順序地，有脈絡地，一一地表徵出來。在老師或學生閱讀這本書的時候，可以反覆地對照與推敲，以達到不斷地思索與反芻的功效。最重要的是，宗佑依著他教學十年來的經驗，把這樣複雜的概念逐步拆解，依據學生可以理解的步驟推敲，然後依序建構。

希望透過這本書的介紹，老師同學們都有機會發展他對於這個數學新世界的了解。也能夠透過這套免費的自由軟體Geogebra的運用，在圖形與概念之間穿梭悠遊。

臺大師培中心教授

徐式寬

2016年12月

◆師大數學系退休教授 洪萬生教授◆

在數學書籍中，插圖（graphical illustration）一向不可或缺，因為它們有助於我們對於相關數學知識的理解。不過，在古希臘時代，哲學家柏拉圖卻認為它應該只是數學學習的輔助工具，而非主體。現在的數學書籍（無論是教科書或普及書籍）也非常重視插圖，不過，它們混跡於數學知識內容之中，多半還是居於客卿的角色，儘管所有的作者都不在乎柏拉圖的工具說之意義何在。

現在，無論是《無字證明》或是《按圖索驥》，插圖都被推到數學普及最前線，它們不再是配角，而是成了主角。因此，教師如何運用插圖本身，讓它們自行「說故事」，以掌握或促進數學學習的成效，是我們必須面對的嚴肅議題。以本書為例，作者將圖形適當拆解，並穿插相應的公式，充分反映了「圖說一體」的特色，值得我們細細咀嚼與品味。

◆師大數學系 許志農教授◆

一張好的圖勝過繁雜的推理過程！

蔡宗佑老師用心整理，蒐集與歸類中文版的無字證明，除了講究圖形的美觀與一致性外，也著重用精簡的文字來闡釋數學公式或定理。相信這些範例足以提供老師與學生們活用與欣賞。這本中文版的無字證明書籍的出版也可以拋磚引玉，讓國人在這方面有更豐富的資訊，特此推薦。

◆建中名師 林信安老師◆

《按圖索驥──無字的證明2》與一般的數學讀物很不同，沒有長篇大論與滿滿的數學式子。作者企圖透過一系列的圖形帶領讀者去揭開數學公式與定理之謎。除了詳細解說圖形的關係外，也巧妙運用色彩呈現出定理與公式的推導，使得圖形更能發揮詮釋數學定理與公式的證明。

教學現場中適當利用圖形呈現，會使得初學者產生熟悉而自然的感覺，閱讀《按圖索驥──無字的證明2》會給讀者「一張圖勝過千言萬語」的效果，這就是我想推薦這本書的理由！