1. 簡諧運動之美

單擺不簡單，能畫出複雜的圖案喔！

實驗影片QRC

器材：繩子、啞鈴、PVC管、梯子、原子筆、絕緣膠帶

操作過程與現象

《玩出創意：120個創新科學遊戲》一書曾介紹過「創意水彩畫」，利用懸掛為Y形的單擺，畫出漂亮的幾何圖案。本實驗也是利用單擺的擺動，但是實驗裝置比較複雜，可以畫出更精細、更漂亮複雜的圖案。實驗裝置如下：

1.參見圖一，以二條尼龍繩將啞鈴（擺錘）的左右二端懸掛在梯子上，形成單擺。

2.梯子建議至少5尺長（約1.5公尺），而啞鈴的重量，作者實驗時共使用了80磅（約37公斤）。

3.在梯子上方，繩子要綁成Y型（如圖一右上），打結的地方要儘量靠近梯子上方，讓繩子的擺長儘量長一點。

4.以膠帶將「筆套」固定在啞鈴上（如圖一右下），以便插入原子筆。筆套可以製作一支，也可以製作二支同時作畫。

(1)選取管徑略大於原子筆的PVC管，裁切一段約10公分長（如圖二下）。

(2)挑選形狀較規則的原子筆，放入PVC管中（如圖三）。手握PVC管並上下、左右來回移動，試驗原子筆是否能順暢的書寫畫線？如果畫的線斷斷續續，再換一支，務必挑選能夠順暢書寫的原子筆。

(3)為了避免原子筆在PVC管子內晃動，用絕緣膠帶纏繞原子筆以增加厚度（如圖四），並且在原子筆的上下二端分別纏繞一段（如圖二上）。纏繞時務必保持膠帶的平整，以使膠帶的厚度接近PVC管的內徑，讓原子筆可以在PVC管內上下自由移動，並且不會左右晃動。

完成以後，在啞鈴的下方放置數張紙，然後提起啞鈴再放下，只要改變提起的角度與方向，就可以畫出各種漂亮的圖案了！

為了得到乾淨、漂亮的圖案，操作時請注意：(1)提起啞鈴放開之後，一開始啞鈴會亂晃，因此在開始擺動大約一秒後，抽掉第一張紙，讓啞鈴在第二張紙上作畫，圖案會比較完整有規則性。(2)結束時不能直接抽出紙張，因為會拉出多餘的線條，必須等啞鈴靜止之後，用手小心地將原子筆往上提，再抽出紙張。

實驗結果的作品如圖五～八。圖五、圖六只用一支筆描圖，圖七、圖八則以二支筆同時描圖，更多的實驗結果圖形，請參見作者網站「科學遊戲實驗室」（http://www.ntcu.edu.tw/scigame/power/power-047.html）。

原理

本實驗的操作參考自Jonathan Lansey的個人網站（參考資料1），但是作者改良了筆套的製作以及部分裝置。實驗原理與「創意水彩畫」的「Y形單擺（Y-suspended pendulum）」相當類似，但是較為複雜。此種利用擺動與旋轉運動過程所繪製的圖形，常被稱為「諧波圖（harmonograph）」，並且與「利薩如曲線（Lissajous curves）」有關連性。

「利薩如曲線」是兩個方向互相垂直的正弦波的合成軌跡，改變下述公式（參考資料2）的振幅、角度、頻率比率等等，可以畫出不同的幾何圖案。

Worland & Moelter（2000）實驗Y形單擺的擺動軌跡，發現可以吻合利薩如曲線的公式（如圖九）。但是利薩如公式的曲線圖形，與本實驗的結果並不吻合，相對而言，本實驗的圖形更為複雜。造成差異的原因，主要是因為利薩如曲線的振幅並沒有隨時間改變，亦即振幅保持固定。但是本實驗的單擺擺動過程中，由於摩擦力、空氣阻力等等因素，使振幅隨時間而逐漸變小。另一方面，本實驗啞鈴的運動，不只是水平軸(x)、垂直軸(y)的擺動，也包括了啞鈴軸(z)的左右擺動（如圖十）。

Tutelman（2008）的網站討論了振幅衰減的影響以及電腦模擬圖形（參考資料3），修訂利薩如曲線的公式如下，其中增加了「振幅衰減常數」D；而將正弦sin改為餘弦cos只是電腦模擬的美學因素，不是數學上的必要性。公式的模擬結果（如圖十一）與本實驗的圖五、圖六頗為吻合，但是能否符合其他圖案的解釋尚不得而知。

叮嚀的話

1.本實驗的繩子綁法，影響頗大，尤其是綁在梯子最高的地方。建議綁成Y形（如圖一右上），畫出來的圖案比較有特定模式，也比較多樣、漂亮。如果繩子只是單純繞過梯子最高處，圖案會比較缺乏美感。

2.梯子越長（越高），亦即擺長越長，圖案的精細度以及層次性都可增加，建議不要使用低於5尺（約1.5公尺）的梯子。

3.啞鈴的重量是重要變數之一，因為擺錘的重量越大，單擺的「振幅衰減係數」越小（能量衰減的比率越小），就可以擺動比較久。如果擺錘太輕，很容易就停止擺動，比較畫不出美觀的圖案，建議總重量不要低於60磅（約27公斤）。但是由於重量頗大，不容易搬動，請注意安全不要被壓到，同時也要留意繩子是否太細而有斷掉的可能。

4.製作實驗裝置時，比較花時間的是「筆套」的製作。注意事項如下：

(1)購買「書寫順暢」的原子筆時，如果用手握在筆上直接書寫，並不準確，因為手會施予原子筆壓力，所以幾乎都是「書寫順暢」。因此必須以圖三的方式試驗，確認原子筆在PVC管子內自由移動時（含上下左右），也能順暢的留下筆跡。

(2)為了使原子筆吻合PVC管徑大小，必須纏繞「絕緣膠帶」（如圖四）。注意纏繞時不要用力拉扯絕緣膠帶，以免變形。尤其要注意的是：不要使用一般的透明膠帶！一方面是因為透明膠帶太薄，要繞很多圈，另一方面是不容易平整的纏繞，很容易有皺褶而不滑順。

5.本實驗很適合引導學生鑑賞「科學之美」，也能培養學生的實驗知能，在教學上建議不要專注在數學推演，指導學生觀察與討論以下問題：(1)啞鈴提起的角度、位置不一樣時，畫出來的圖案有何差別？(2)啞鈴歪斜時（圖十的z軸改變），畫出來的圖案主要特徵為何？(3)提起啞鈴後，以手推動啞鈴，推動的力道大小對於圖案有何影響呢？

1. 簡諧運動之美

單擺不簡單，能畫出複雜的圖案喔！

實驗影片QRC

器材：繩子、啞鈴、PVC管、梯子、原子筆、絕緣膠帶

操作過程與現象

《玩出創意：120個創新科學遊戲》一書曾介紹過「創意水彩畫」，利用懸掛為Y形的單擺，畫出漂亮的幾何圖案。本實驗也是利用單擺的擺動，但是實驗裝置比較複雜，可以畫出更精細、更漂亮複雜的圖案。實驗裝置如下：

1.參見圖一，以二條尼龍繩將啞鈴（擺錘）的左右二端懸掛在梯子上，形成單擺。

2.梯子建議至少5尺長（約1.5公尺），而啞鈴的重量，作者實驗時共使用了80磅（約37公斤）。

3.在梯子上方...

2009年剛出版生平第一本書《玩出創意：120個創新科學遊戲》時，出版社陳副總編問我說，能不能寫一系列的趣味科學實驗？當時覺得頂多就再寫一本吧，怎麼可能一系列？2011年第二本書《玩出創意2：48個科學魔術》出版後，獲得第36屆金鼎獎，有點意外，但是直接鼓勵了後續第三本以及本書的寫作。

這幾年期間，一直在蒐集網路與書籍的趣味科學實驗，只要看到有趣的實驗，就會找材料做實驗。例如好幾年前看到用二個單擺畫圖的實驗影片，雖然有趣，但是覺得製作太繁瑣，不易普及，於是就放著不管。後來看到有人以啞鈴當成擺錘，畫出來的圖形令人驚艷，製作不會太難，因此馬上買了重沉沉的啞鈴來實驗。嘗試了好幾次一直失敗，因為原子筆的摩擦力太大，妨礙啞鈴的擺動。好不容易想到簡易的解決方法，當啞鈴在紙上畫出美麗的幾何圖形時，驚喜難以形容，和女兒在家裡玩了好幾天，老婆還笑我說是老頑童一個。實驗時同時蒐集與閱讀文獻資料，後來寫成了本書第1項的「簡諧運動之美」。

網路上的趣味科學實驗多不勝數（作假的影片也不少），是推廣科學教育值得重視的資源之一，但是須要花費心力轉換為學生與大眾可以接受與理解的形式。例如英國的Grand Illusion網站以及南非的Toys from Trash網站，有很多有趣的科學玩具，但是並沒有說明原理或教學的應用。而YouTube或網路上的轉載，則通常只有單純的實驗影片。在撰寫本書的過程，花在文獻蒐集與閱讀的時間，遠超過進行實驗的時間。希望讀者在閱讀本書時，能動手也動腦，好好「玩」實驗，享用科學的喜「悅」。

最後感謝大橋國中王德麟老師、同事陳錦章特聘教授的審查，研究生王家美、吳映辰、許桓翊協助實驗，而出版社的支持以及家人的鼓勵更是本書能夠完成的最大動力。

2009年剛出版生平第一本書《玩出創意：120個創新科學遊戲》時，出版社陳副總編問我說，能不能寫一系列的趣味科學實驗？當時覺得頂多就再寫一本吧，怎麼可能一系列？2011年第二本書《玩出創意2：48個科學魔術》出版後，獲得第36屆金鼎獎，有點意外，但是直接鼓勵了後續第三本以及本書的寫作。

這幾年期間，一直在蒐集網路與書籍的趣味科學實驗，只要看到有趣的實驗，就會找材料做實驗。例如好幾年前看到用二個單擺畫圖的實驗影片，雖然有趣，但是覺得製作太繁瑣，不易普及，於是就放著不管。後來看到有人以啞鈴當成擺錘，畫出來的圖形令人...

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